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# System prepended metadata

title: 第 6-1 週 - 線性轉換與函數空間
tags: [線性代數]

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# 座標函數

之前提到過的[有限維度座標定理](https://hackmd.io/PkgSTowpT5iQfvqNGagJ_g?view#%E5%BA%A7%E6%A8%99%E5%AE%9A%E7%90%86)：

:::success
對一個 $V$ 的有序子集 $S$，$S$ 是基底，若且唯若，所有 $V$ 的向量可以用一組純量係數唯一表示 $S$。
:::

## 無限維的座標定理

證明方法其實跟有限維是一樣的。

但是要注意的是，無限維中，每個向量的座標只有可以是有限個非零純量。

:::info
如果要讓某個座標擁有無限非零純量的座標，則該向量空間的維度會比無限還要大
:::

## 座標函數是線性轉換

通常我們會定義座標函數的形式跟符號如：

$$
\displaylines{
\phi_{\alpha}：V\rightarrow F^{n}\\
\phi_{\alpha}\overset{\text{def}}{=}[x]_{\alpha},\ \forall x\in V
}
$$

下面證明的部分通常會省略下標 $\alpha$。

證明方法很簡單，就是先宣告兩個向量跟他們的座標，然後把他們的線性組合後的座標，轉換順序後改成兩個座標的線性組合。

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# 函數空間

之前有證明過，對任何分空子集 $S$，[函數 $\mathbb{F}(S,F)$ 是一個向量空間](https://hackmd.io/j7PlUoBZQ4aaCBbP0UxIPw?view#%E5%87%BD%E6%95%B8%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93)。

$$
(\mathbb{F}(S,F),F,\ \cdot\ )
$$

上一章講了線性轉換這種有很多很棒性質的函數，所以我們來看看線性轉換是不是個子空間。

# 線性轉換是子空間

- 第一點，$0_W$ 在裡面，也就是之前說的，零轉換是線性轉換
    - 檢查 $0_{\mathbb{F}(S,F)}$ 有沒有在裡面
        - 可以回顧上面的 md 去看甚麼是 $0_{\mathbb{F}(S,F)}$
    - 確實在裡面，因為線性轉換會把 $0_{S}$ 怒送到 $0_{F}$
    - 所以線性轉換確實含有 $0_{\mathbb{F}(S,F)}$ 這個函數
- 封閉性
    - 證明封閉性其實跟證明線性轉換很像，都是看調換順序後能不能湊成想要的樣子
    - 所以這裡證明封閉性一樣就是宣告兩個線轉向量
    - 把他們線性組合後得到的新線轉向量，「再檢查他是不是線性轉換」
    - 所以很特別，要檢查兩個性質

# 同維線轉觀察

如果對於一個線性轉換 $T\in\mathbb{L}(V,W)$，他定義域跟對應域維度相等，「並且是有限的」，則：

- $T$ 是 one-to-one
- $T$ 是 onto
- $rank(T)=dim(V)$
    - $rank(T)$ 就是 $dim(T(V))$

三個是等價的；或者說，只要一個對，另外兩個都對。

會分別需要用到三個之前提到的性質：

- [怒空僅零](https://hackmd.io/yg0t0qP1QWmjzjadqWrDsA#%E6%80%92%E7%A9%BA%E5%83%85%E9%9B%B6-amp-%E7%B7%9A%E6%80%A7%E5%B0%8D%E8%BD%89)
    - 因為僅零可以知道怒空間維度就是 0
- [維度定理](https://hackmd.io/yg0t0qP1QWmjzjadqWrDsA#%E7%B6%AD%E5%BA%A6%E5%AE%9A%E7%90%86)
    - 可以告知我們 $T(V)$ 的維度
- [維度觀察三](https://hackmd.io/PkgSTowpT5iQfvqNGagJ_g#%E7%B6%AD%E5%BA%A6%E8%A7%80%E5%AF%9F%E4%B8%89)
    - 告知我們如果子空間跟母空間維度相等，並且是有限維的情況，則子空間就是母空間

:::warning
如果是無限維的情況則不會對，老師舉了兩個例子：

$$
\displaylines{
T(x_1,x_2,...)=(x_2,x_3,...)\\
T(x_1,x_2,...)=(0,x_1,x_2,...)\\
}
$$

這兩個都是線性的，但是前者有 one-to-one，卻沒有 onto；後者有 onto 卻沒有 one-to-one。
:::

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# 線轉訂製術 / 裁縫師

既然線性轉換是個向量空間，對於 $V$ 跟 $W$ 來說，在那麼多種線性轉換裡要怎樣才可以唯一決定一個線性轉換。

答案是只要固定好某個 $V$ 的基底經過轉換的值，就可以唯一決定這個線性轉換。

因為座標定理告訴我們，每個 $V$ 的向量具有一組唯一的座標，那麼只要我們決定好基底經過轉換的值，就代表我們也唯一的表示每個 $V$ 的向量經過轉換後的值了。

此時可以發現，我們是在用座標來為轉換的值做線性組合。

:::info
因為座標定理具有無限維度的版本，所以線轉訂製術也可以用於無限維度的版本。
:::

:::warning
雖然 $V$ 的基底每個向量都不一樣，但是 $V$ 的基底經過轉換的值，不一定要全部不一樣。
:::

# 訂製觀察

前提：

- $V$ 跟 $W$ 是某個有限維度並且有相同場的向量空間。
- 令 $V$ 的維度是 $n$，$\langle \beta_1,\beta_2,...,\beta_n \rangle$ 是一組有序基底。

則可知道，對於任何 $W$ 的有序子集 $\langle y_1,y_2,...,y_n \rangle$：

1. 「存在且唯一存在」一個線性轉換 $T$
2. $T(\beta_i)=y_i$

從上一章投影的部分，就可以知道很常出現這種跟「存在」有關的觀察：

- 這種觀察通常就是要首先「由自己建構出」一個「特定形式的東西」
- 然後再去檢查我們建立出的東西有沒有符合我們要的性質
- 例如[投影觀察一](https://hackmd.io/yg0t0qP1QWmjzjadqWrDsA#%E6%8A%95%E5%BD%B1%E8%A7%80%E5%AF%9F%E4%B8%80)

## 證明

因此可以知道證明的第一步就是先定義我們的線性轉換形式如下：

如果 $[x]_{\beta}=(a_1,a_2,...,a_n)$，則：

$$
T(x)\overset{\text{def}}{=}\sum_{i=1}^{n}a_i y_i
$$




然後第一步就是要證明他是「線性轉換」，流程就跟上面所提及的一樣。

然後根據定義的形式，可以知道  $T(\beta_i)$ 確實是 $y_i$，因為基底的座標就是標準基底。

接著證明唯一性，假設有另一個線轉也滿足 $T'(\beta_i)=y_i$：

$$
\begin{align}
T'(x)&=T'\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\beta_i\right)\\
&=\sum_{i=1}^{n}a_iT'(\beta_i)\\
&=\sum_{i=1}^{n}a_iy_i\\
&=T(x)\\
\end{align}
$$



因此這個另一個線轉就是原本的線轉。

# 訂製小推

這個 corollary 很重要，算是個最終的結論。

上面訂製觀察使用的 $W$ 有序子集大小是 $n$，因為每個 $y_i$ 都相異；但是訂製術中有說轉換的值不一定要一樣，因為你可以把兩個基底都投射到相同的值之上之類的，所以可以推廣到有序子集大小小於 $n$。

也就是說，對於任何 $W$ 的有序子集 $S=\langle y_1,y_2,...,y_m \rangle$，$m\le n$：

1. 「存在且唯一存在」一個線性轉換 $T$，且 $T(\beta)=S$
2. 如果對於 $i=1,...,n$，$T(\beta_i)=T'(\beta_i)$，則 $T=T'$
    - 這是根據唯一性得到的

# 可數無窮維的訂製觀察

一樣，因為座標定理有無窮維的版本，所以訂製觀察一樣可以推廣到無窮維。

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# 合成函數

符號定義的部分。

$S_{1},S_{2},S_{3}$ 是三個集合，並且

$$
T_{12}：S_1\rightarrow S_2,\ T_{23}：S_2\rightarrow S_3\\
$$

定義 $T_{23}T_{12}$ 或 $T_{23}\circ T_{12}$ 為：

$$
\displaylines{
T_{13}：S_1\rightarrow S_3\\
T_{13}(x)=T_{23}T_{12}(x)\overset{\text{def}}{=}T_{23}(T_{12}(x))
}
$$

## 結合律

函數的合成具有結合律。

$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$ 是四個集合，並且

$$
T_{12}：S_1\rightarrow S_2,\ T_{23}：S_2\rightarrow S_3,\ T_{34}：S_3\rightarrow S_4\\
$$

可知

$$
\begin{align}
((T_{34}T_{23})T_{12})(x)&=(T_{34}T_{23})(T_{12}(x))\text{  根據}((T_{34}T_{23})T_{12})\text{ 上面的定義}\\
&=T_{34}(T_{23}(T_{12}(x)))\text{ 一樣還是根據定義}\\
&=T_{34}((T_{23}T_{12})(x))\text{ 一樣還是根據定義}\\
&=(T_{34}(T_{23}T_{12}))(x)\text{ 一樣還是根據定義}\\
\end{align}
$$

所以我們成功證明

$$
((T_{34}T_{23})T_{12})=(T_{34}(T_{23}T_{12}))
$$

## 合成保線性

接著換到我們的主角，線性轉換，所以跟上面類似的操作，給出三個線係轉換，我們檢查結合後的函數是不是還是線性轉換，就是一樣看 $T(ax+y)$ 然後看能次能拆解後再表示成 $aT(x)+T(y)$

# 反函數

定義兩個函數：

$$
T_{12}：S_1\rightarrow S_2,\ T_{21}：S_2\rightarrow S_1
$$

如果我們要說 $T_{21}$ 是 $T_{12}$ 的反函數，必須滿足兩個條件：

$$
\displaylines{
T_{21}T_{12}=I_{1}\\
T_{12}T_{21}=I_{2}\\
}
$$

其中 $I_{1}$ 代表是 $S_1$ 的恆等函數。

而 $T_{21}T_{12}=I_{1}$ 這行，表示了：

- $T_{21}$ 是 $T_{12}$ 的「左反函數」
- $T_{12}$ 是 $T_{21}$ 的「右反函數」

## 反函數

左右反函數有兩個有趣的性質：

- 「$T$ 有左反函數」若且唯若「$T$ 是 one-to-one」
- 「$T$ 有右反函數」若且唯若「$T$ 是 onto」

上面的證明方法很類似：

- 由右到左方向的證明，需要使用「建構法」
- 由左到右的證明，則是由「因為具有左/右反函數」，推導出「一對一/onto」的性質

而因此反函數就具有很特殊的性質：

1. 反函數性質
    - 「$T$ 具有反函數」若且唯若「$T$ 是雙射」
    - $T$ 具有反函數，則該反函數存在且唯一
    - $T$ 具有反函數，則 $T^{-1}$ 也具有反函數
2. 反函數保線轉
    - $T$ 是個線性轉換且具有反函數
    - 則 $T^{-1}$ 也是個線性轉換

## 同有限維

如果把反函數搭配上線轉同維觀察，會迸出甚麼新火花。

同維觀察告訴我們對線轉 $T$ 來說「一對一、onto」是等價的，而如果 $T$ 具有左反，根據同維觀察可以知道 $T$ 也具有右反。

而一旦 $T$ 同時具有左右反函數：

$$
T_{左}=T_{左}I_{W}=T_{左}TT_{右}=I_{V}T_{右}=T_{右}
$$

就可以知道這左右反函數其實是同一個人。

:::success
別忘記 $T$ 是線轉
:::

# 同構

很酷的新名詞。其實同構就是一個很特殊的函數。

如果有個函數 $T：V \rightarrow W$ 是可逆的線性轉換，那麼 $T$ 就是從其對應域到定義域的「同構」。

此時我們會說 $V$ 同構於 $W$，並記作：

$$
V \cong W
$$

換個方式說，如果 $V$ 同構於 $W$，則代表存在一個線性轉換 $T\in\mathbb{L}(V,W)$，並且他是可逆的。

## 座標函數是個同構


回顧座標函數：

$$
\displaylines{
\phi_{\alpha}：V\rightarrow F^{n}\\
\phi_{\alpha}\overset{\text{def}}{=}[x]_{\alpha},\ \forall x\in V
}
$$

上面我們有證明座標函數是個線性轉換，所以只需要再證明他是可逆的就好。

這裡我們不是用「證明座標函數是雙射」的方式證明，而是直接建構一個反函數。

$$
\displaylines{
\varphi：F^{n} \rightarrow V\\
\varphi(a_1,a_2,...,a_n)\overset{\text{def}}{=}a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+...+a_n\alpha_2
}
$$

也就是說 $\varphi$ 就是根據座標跟基底算回原本的向量。則：

$$
\displaylines{
(\phi\varphi)(a_1,a_2,...,a_n)=\phi(a_1\alpha_1,a_2\alpha_2,...,a_n\alpha_2)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_2)\\
(\varphi\phi)(a_1\alpha_1,a_2\alpha_2,...,a_n\alpha_2)=\varphi(a_1,a_2,...,a_n)=(a_1\alpha_1,a_2\alpha_2,...,a_n\alpha_2)\\
}
$$

所以我們成功的建構出一個反函數，也就表明座標函數確實是個反函數。

:::warning
建構法也是證明的一個重要技巧。
:::

# 維構觀察

對於有限維的 $V$ 跟 $W$ 兩個子空間：

「同維」若且唯若「同構」。

這是一個很重磅的觀察。

## 同構則同維

因為同構，所以可以知道有個可逆的線性轉換，再搭配以前的「[線對轉保維度](https://hackmd.io/yg0t0qP1QWmjzjadqWrDsA#%E7%B7%9A%E6%80%A7%E5%B0%8D%E8%BD%89%E4%BF%9D%E7%8D%A8%E7%AB%8B%E7%9B%B8%E4%BE%9D)」。

令 $V$ 的某個基底叫 $R$：

$$
\begin{align}
dim(V)&=|R|\\
&=|T(R)|\\
&=dim(T(V))\\
&=dim(W)\\
\end{align}
$$

前面三行是線對轉保維度的部分，最後一行是根據 onto 的性質。

:::success
別忘記可逆則雙轉。
:::

## 同維則同構

一樣令 $V$ 的某個基底叫 $R$，$W$ 的某個基底叫 $S$。

上面的訂製觀察告訴我們，對於 $S$ 來說存在一個唯一的線性轉換 $T$：

$$
T(R)=S
$$

>等號可以成立，除了訂製觀察外，還需要一個條件是 $|R|=|S|$。
>也就是要讓 $R$ 的每個人各自對應一個 $S$ 的人

而因為 $T$ 是線性轉換，可以使用之前的拿手絕活，值空間觀察：

$$
T(V)=T(span(R))=span(T(R))=span(S)=W
$$

也就是之前提過的線轉保生成集，並且由於 $T(R)$ 就是 $S$，所以可以知道 $T(V)=W$。

也就是說我們推導出了 onto，的性質。

最後再利用線轉同維觀察，可以知道同時還具有 one-to-one 的性質，所以可以推導出 $T$ 是可逆的。

因此我們知道 $T$ 就是我們要找的同構。

:::info
老師說這可以推廣到無窮維，可是同維觀察不是說無窮維回壞掉?
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