# 轉換/函數

轉換 transformation 、函數 function 跟映射 mapping 其實都是指同一件事：

$$
T：R\rightarrow S\ \text{or}\ T\in \mathbb{F}(R,S)
$$

如果定義域跟對應域都一樣，可以簡寫為：

$$
\mathbb{F}(S,S)\ \text{or}\ \mathbb{F}(S)
$$

$\mathbb{F}(S)$ 也稱為集合 $S$ 上的「運算 operator」。

# 各種轉換

## 對轉 one-to-one / injective

$$
T(x)=T(y)\Rightarrow x=y
$$

此時 $T$ 是一個對轉/對射 injection。

## 映轉 onto / surjective

$$
\forall y\in W,\exists x\in V, T(x)=y
$$

此時 $T$ 是一個映轉/映射 surjection。

## 雙轉

$T$ 同時是對轉且映轉。

---

# 線性轉換

$V$ 跟 $W$ 是兩個有「共同純量場 $F$」的向量空間，如果某個轉換 $T:V\rightarrow W$ 是一個「線性轉換」代表：

$$
\displaylines{
\forall x,y\in V,a\in F\\
T(ax+y)=a(T(x))+T(y)
}
$$

:::info
上面有提到如果定義域跟對應域相同則稱為「運算」；如果線性轉換對應域跟定義域一樣，可以稱為「線性運算 linear operator」
:::

## 符號

通常會用下面符號表示 $T$ 是一個線性轉換：

$$
T\in \mathbb{L}(V,W)
$$

兩域相同可以簡寫為：

$$
\mathbb{L}(V,V)=\mathbb{L}(V)
$$

然後定義多元組時為了方便不會把多元組的括弧寫出來：

$$
T(x)=T((x_1,x_2,...,x_n))=T(x_1,x_2,...,x_n)
$$

## 例子

如果 $T：\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 定義為

$$
T(x_1,x_2,...,x_n)=(y_1,y_2,...,y_m)
$$

其中 $y_{i}$ 是 $(x_1,x_2,...,x_n)$ 的某個固定的線性組合，接著來證明 $T$ 是不是線性轉換。

下面先宣告一些變數：

$$
\displaylines{
u=(u_1,u_2,...,u_n),v=(v_1,v_2,...,v_n)\in\mathbb{R}^{n},a\in F\\
T(u)=(U_1,U_2,...,U_m),U_1=\sum a_{1i}u_i,\ U_2=\sum a_{2i}u_i...\\
T(v)=(V_1,V_2,...,V_m),V_1=\sum a_{1i}v_i,\ V_2=\sum a_{2i}v_i...\\
T(au+v)=T(au_1+v_1,au_2+v_2,...,au_n+v_n)=(Z_1,Z_2,...,Z_m)\\
}
$$

接著來看看：

$$
\displaylines{
Z_1=\sum a_{1i}(au_i+v_i),\ Z_2=\sum a_{2i}(au_i+v_i)...\\
\Rightarrow Z_i=\sum a_{ij}(au_j+v_j)=\sum a_{ij}au_j+a_{ij}v_j\\
\Rightarrow Z_i=a\sum a_{ij}u_j+a_{ij}v_j=aU_i+V_i\\
\Rightarrow T(au+v)=(Z_1,Z_2,...,Z_m)=(aU_1+V_1,aU_2+V_2,...,aU_m+V_m)\\
=aT(u)+T(v)
}
$$

:::info
可以看到關鍵在於線性組合採用的係數要一樣。
:::

:::warning
這樣一來，要證明轉置是線性轉換就很容易：

$$
V=\mathbb{R}^{3\times4},W=\mathbb{R}^{4\times3},f：V\rightarrow W
$$

因為轉置其實就是從 $V$ 中單純挑特定的一個元素出來，放到特定位置上，而這個動作線性組合做得到。

:::

## [零轉換](https://hackmd.io/j7PlUoBZQ4aaCBbP0UxIPw?view#%E5%87%BD%E6%95%B8%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93) zero transformation

不管是誰通通都投射到 $0W$：

$$
\forall x\in V, T_{0}(x) = 0_{W}
$$

可以發現 $T_0$ 是線性轉換：

$$
T_0(ax+y)=0_W=a0_W+0_W=aT_0(x)+T_0(y)
$$

## 恆等轉換/單位轉換 identity transformation / operator

$$
\forall x\in V, I_{V}(x) = x
$$

$$
I_V(ax+y)=ax+y=aI_V(x)+I_V(y)
$$

:::info
可以注意到因為對應域跟定義域要一樣，所以她也是一種「運算/operator」。
:::

## 把 0 怒送到 0

根據線性轉換的定義，我們可以發現有趣的事實：如果 $T$ 是線轉，則：

$$
T(0_V)=0_W
$$

因為：

$$
T(0_V)+T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+0_W\\
\Rightarrow T(0_V) = 0_W
$$

並且可以注意到，線性函數其實是型態如 $T(x)=ax$ 的函數，而不是 $T(x)=ax+b$，因為後者無法把 0 怒送到 0；後者叫做 仿射轉換 affine transformation。

---

## 限制定義域

原本：

$$
T：V\rightarrow W
$$

對於 $V$ 的子集 $U$，如果有個：

$$
T'：U\rightarrow W
$$

並且 $T'(x)=T(x)$，則稱為 $T$ 被限制在 $U$。

因為 $T'(x)$ 本質上就是 $T(x)$ ，所以可以發現線性轉換的性質還在。

$$
T\in\mathbb{L}(V,W)\Rightarrow T'(U,W)\in\mathbb{L}
$$

---

# 零域/怒域

對任何轉換 $T$，他們都有個怒域，也就是把那些會投射出 $0_W$ 的 $x\in V$ 蒐集起來：

$$
N(T)=\{x\in V\ |\ T(x)=0_W\}
$$

## 零空間/怒空間

此時如果我們給 $T$ 加上一個限制，讓她是個線轉，則會發現怒域其實是個子空間，此時的怒域又叫做 null space, kernel, 零空間,零化空間, 怒空間。

## 證明

1. $0_V$ 在裡面
- 確實，因為線性轉換會把 $0_V$ 怒送到 $0_W$
3. 封閉性
- 確實，因為裡面的成員都會投射出 0，所以稍微挪動順序就可以得到。
- $a\in F,x,y\in N(T)$
- $T(ax+y)=aT(x)+T(y)=0\Rightarrow ax+y\in N(T)$

## 怒空僅零 ↔ 線性對轉

如果 $T$ 是一個線性轉換，則「$N(T)$ 只有 0」跟「$T$ 是對轉」是等價的。
下面的前提都是 $T$ 是線轉。

## 左到右

如果怒空間只有 0，則 $T$ 是對轉。

所以我們要嘗試說明如果 $T(x)=T(y)$ 則 $x=y$。

$$
\displaylines{
if\ \ T(x)=T(y),then\ 0=-T(x)+T(y)=T(-x+y)\\
\Rightarrow -x+y\in N(T) = \{0\}\\
\Rightarrow x=y
}
$$

## 右到左

如果 $T$ 是對轉，則怒空間只有 0。

所以我們要嘗試說明如果 $T(x)=T(y)=0$，則 $x=y=0$

$$
if\ \ T(x)=T(y),then\ \ x=y
$$

上面是對射的定義，阿因為 $T$ 是線轉，所以一定會把 0 怒送到 0，也就是怒空間一定有 0 這個人。

因此可以知道怒空間只有 0。

---

# 值域

對任何轉換 $T：V\rightarrow W$，對任何 $V$ 的子集 $S$ ，$T$ 在 $S$ 上都有個值域(range of T with respect to S)：

$$
T(S)=\{T(x)\ |\ x\in S\}
$$

如果沒有特別說明 $S$ 是誰，通常就是指 $V$，此時會直接說 $T$ 的值域是 $T(V)$。

## 值空觀察

跟剛剛怒空間一樣，我們給 $T$ 加個限制，讓她是線轉，則我們會得到好用的性質：

$$
T(span(S))=span(T(S))
$$

上面的結論可以知道：

- $T(span(S))$ 是 $W$ 的「子空間」
- 因為 $T(S)\subseteq W\Rightarrow span(T(S))\subseteq W$ By 生空觀察
- $T(S)$ 生成出 $T(span(S))$
- 因為 $T(span(S))=span(T(S))$

並且可以進一步做推論：

- 線轉保子空間
- 如果 $U$ 是 $V$ 的子空間，則 $T(U)$ 是 $W$ 的子空間
- 只要把上面的結論中令 $S=U$，並且因為 $U$ 是子空間，所以 $span(U)=U$
- $T(span(U))=T(U)=span(T(U))\subseteq W$
- 線轉保生成集
- 如果 $S$ 生成出子空間 $U$，則 $T(S)$ 生成出 $T(U)$
- $T(span(S))=T(U)=span(T(S))$

## 值空觀察證明

其實就只是把它展開而已。令 $y\in T(span(S))$：

$$
\begin{align}
& y\in T(span(S))\\
&\Leftrightarrow y=T(a_1x_1+...+a_nx_n)\text{ for some }n\ge0,a_1,...,a_n\in F,x_1,...,x_n\in S\\
&\Leftrightarrow y=a_1T(x_1)+...+a_nT(x_n)\text{ for some }n\ge0,a_1,...,a_n\in F,x_1,...,x_n\in S\\
&\Leftrightarrow y\in span(T(S))
\end{align}
$$

### 值空間

從線轉保子空間可以知道，$T(V)$ 是 $W$ 的一個子空間，所以我們會叫 $T(V)$ 這個特別的子空間叫做值空間，並記做 $R(T)$。(range space of T)

### 線轉保獨立？

既然線轉保了子空間也保生成集，那他有保線獨嗎？

答案是沒有，首先來看零轉換，因為她一定把每個人投射到 $\{0_W\}$，但是 $\{0_W\}$ 是有冗員的，所以不管 $S\subseteq V$ 的 $S$ 有沒有冗員，他投射的結果都是有冗員的。

另一種構建方法是令 $T(x, y) = −x + y$ 是線轉, $S = \{(1, 2),(2, 3),(3, 4)\}$ 有冗員, 但 $T(S) = \{1\}$ 無冗員。

## 線性對轉保獨立/相依

如果 $T$ 是線性對轉，則對任何 $V$ 的子集 $S$，$S$ 獨立跟 $T(S)$ 獨立是等價的。

所以如果整合線轉保生成集，我們可以知道：

- 線對轉保基底
- 如果 $S$ 是 $V$ 的一個基底，則 $T(S)$ 是 $T(V)$ 的一個基底
- 因為基底要滿足生成且獨立
- 線對轉保維度
- 如果 $S$ 是 $U$ 的一個基底，$U$ 是 $V$ 的任意子空間。
- 既然線對轉保了基底，因為是「對轉」
- 也就是說 $S$ 有 5 個向量的話，則 $T(S)$ 也有 5 個向量
- 所以可以知道 $dim(U)=dim(T(U))$。

## 證明

因為獨立是相依的相反，並且我們又是雙向，所以這裡我們證明相依比較好證。

## 左到右

$T$ 是線對轉，如果 $S\subseteq V$ 是線性相依，則 $T(S)$ 也是線性相依。

也就是說，我們要嘗試證明出 $T(x)\in T(S),T(x)\in span(T(S)\setminus T(\{x\})))$

首先因為 $S$ 是[線性相依](https://hackmd.io/mdFxn5DWQImMX_0MvmIddA#%E7%B7%9A%E6%80%A7%E7%9B%B8%E4%BE%9D%E7%8D%A8%E7%AB%8B-linear-independent)，代表存在一個 $x\in S, x\in span(S\setminus \{x\})$，則：

$$
\begin{align}
T(x)&\in T(span(S\setminus \{x\})) \text{ 單純的函數關係}\\
&=span(T(S\setminus \{x\})) \text{ 值空間觀察}\\
&=span(T(S)\setminus T(\{x\}))) \text{ 對射的性質，一對一}\\
\end{align}
$$

所以我們確實得到 $T(x)\in span(T(S)\setminus T(\{x\})))$。

## 右到左

$T$ 是線對轉，如果 $T(S)$ 是線性相依，則 $S$ 也是線性相依。

所以現在是要證明存在一個 $x\in S, x\in span(S\setminus \{x\})$。

因為 $T(S)$ 是線性相依，所以可令 $y\in T(S),y\in span(T(S)\setminus T(\{x\})))$；而我們令 $y$ 所對應到的人叫 $x$：
>因為 $y$ 是 $T(S)$ 裡面的人，所以根據函數的性質可以知道在 $S$ 中有某個 $x,T(x)=y$
>
$$
\begin{align}
T(x)&=y\\
&\in span(T(S)\setminus T(\{x\}))\text{ }\\
&=span(T(S\setminus\{x\}))\text{ 對射性質}\\
&=T(span(S\setminus\{x\}))\text{ 值空觀察}\\
\end{align}
$$

所以最後從 $T(x)\in T(span(S\setminus\{x\}))$ 可以得知 $x\in span(S\setminus\{x\})$

---

# 維度定理

令 $T：V\rightarrow W$，如果 $T$ 是線性的，且維度「有限個」，則：

$$
dim(V)=dim(N(T))+dim(T(V))
$$

也就是說怒空間加值空間的維度等於 $V$ 的維度。

- 怒空間維度又叫做 怒階, 零階, 零化階
- 值空間維度又叫做 位階, 秩, 等級

# 證明

拿出我們的老朋友，[向量空間基本定理](https://hackmd.io/PkgSTowpT5iQfvqNGagJ_g#%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86--%E5%8F%96%E4%BB%A3%E5%AE%9A%E7%90%86-Replacement-Theorem)。

此時我們令 $V$ 的基底叫 $S$，$N(T)$ 的基底是 $Q$：

- 首先因為 $T$ 是線轉，所以 $N(T)$ 是子空間
- $Q\subseteq N(T) \subseteq V$
- 根據向量空間基本定理，可知在 $S$ 中存在一個 $R\subseteq S$
- $R\cap Q=\varnothing$
- $|R|+|Q|=|S|$
- $span(R\cup Q)=span(S)$

此時觀察 $|R|+|Q|=|S|$ 這項，這不就是 $|R|+dim(N(T))=dim(V)$ 嗎。

所以接下來只要嘗試證明 $|R|=dim(T(V))$ 就好。

## $|R|=dim(T(V))$

想要證明這個酷東西，首先你要先通靈，先讓 $T$ 限制在 $R$ 的生成集 $U=span(R)$ 上，令這個被限制的線轉叫做 $T'$：

$$
T'：U\rightarrow W
$$

可以注意到，因為 $R\subseteq S$，且 $S$ 是線性獨立，因此 $R$ 也是線性獨立。

接著思路是：

- 先證明 $|R|=|T'(R)|$
- 或者說我們要證明 $T'$ 是對射的、一對一的。
- 接著證明 $T'(R)$ 是 $T(V)$ 的一組基底
- $T'(R)=dim(T(V))$

### $T'$ 是一對一

要證明對射，因為 $T'$ 是線轉，所以可以使用之前提到「[怒空僅零](https://hackmd.io/yg0t0qP1QWmjzjadqWrDsA#%E6%80%92%E7%A9%BA%E5%83%85%E9%9B%B6-amp-%E7%B7%9A%E6%80%A7%E5%B0%8D%E8%BD%89)」。

所以我們要嘗試證明 $N(T')$ 只有 0。

對於某個 $z\in U$，且 $T'(z)=T(z)=0$，則我們知道 $z$ 也在 $N(T)$ 裡面：

$$
z\in U \cap N(T)=span(R)\cap \ span(Q)
$$

令 $Q=(x_1,...,x_n),R=(y_1,...y_m),n,m\ge0$ 所以將 $z$ 表示為兩種形式：

$$
\displaylines{
a_1x_1+...+a_nx_n=z=b_1y_1+...+b_my_m\\
\text{holds for some } a_1,...a_n,b_1,...b_m\in F
}
$$

則進行移項可以得到：

$$
0=a_1x_1+...+a_nx_n - b_1y_1-...-b_my_m
$$

上面的形式其實就是 $Q\cup R$ 的某個線性組合，而上面我們知道 $R\cap Q=\varnothing$ 且 $|R|+|Q|=|S|$，則 $|R\cup Q|=|R|+|Q|=|S|$。

並且因為最後一項 $span(R\cup Q)=span(S)$，根據[維度觀察二](https://hackmd.io/PkgSTowpT5iQfvqNGagJ_g#%E7%B6%AD%E5%BA%A6%E8%A7%80%E5%AF%9F%E4%BA%8C)，我們可以知道 $R\cup Q$ 是線性獨立的，再使用零線組觀察，可知只有當$a_1=...a_n=b_1=...=b_m=0$ 的時候，才會滿足該式子。

因此我們可以知道如果某個 $z\in U$且 $T'(z)=0$，則 $z$ 只能是 0，怒空($N(T')$)僅零。

### $T'(R)$ 是 $T(V)$ 的一組基底

由於 $R$ 是獨立的且生成出 $U$，也就是說 $R$ 是 $U$ 的一組基底；上面我們證明了 $T'$ 是對轉，所以根據線對轉保基底，$T'(R)$ 會是 $T'(U)=T'(span(R))$ 的一組基底：

$$
\begin{align}
T'(span(R))&=T(span(R))\\
&=span(T(R))\text{ 值空間觀察}\\
&=span(\{0_W\}\cup T(R))\text{ 通靈的添加這個操作}\\
&=span(T(Q)\cup T(R))\text{ 因為 Q 是怒空間的成員們}\\
&=span(T(Q \cup R))\text{ 函數基本性質}\\
&=T(span(Q \cup R))\text{ 值空間觀察}\\
&=T(span(S))\text{ 基本定理第三條}\\
&=T(V)
\end{align}
$$

因此我們知道 $T'(R)$ 是 $T'(span(R))$ 的一組基底，且 $T'(span(R))=T(V)$，換句話說 $T'(R)$ 是 $T(V)$ 的一組基底。

## 總結

首先我們藉由基本定理快速的推得 $|R|+dim(N(T))=dim(V)$，接著奇蹟般地想到將 $T$ 限制在 $R$ 的生成集 $U$ 上，記做 $T'$。

接著藉由證明 $T'$ 是一對一，證明了 $|R|=|T'(R)|$，然後從 $T'(R)$ 是 $T'(span(R))$ 的一組基底，且 $T'(span(R))=T(V)$，證明了 $T'(R)$ 是 $T(V)$ 的一組基底，最終得到 $|R|=dim(T(V))$。

至此，維度定理就完整了：

$$
dim(V)=dim(R(T))+dim(N(T))
$$

---

# 投影

定義：

- $U,V$ 是 $W$ 的子空間，且 $W=U\oplus V$
- 如果有某個「operator $T\in \mathbb{F}(W,W)$」
- a projection along $U$ on $V$
- 那麼這個 $T$ 就是一個「沿著 $U$ 投影到 $V$ 上」的投影

而一個 「沿著 $U$ 投影到 $V$ 上」 的投影 $T$ 對所有 $z\in W$：
- $z-T(z)\in U$
- $T(z)\in V$

:::warning
- $N(T)\subseteq U$
- 從第一條跟 $T(N(T))=\{0\}$ 可以推得
- $T(W)\subseteq V$
- 根據第二條得知
:::

## [直和觀察](https://hackmd.io/mdFxn5DWQImMX_0MvmIddA#%E7%9B%B4%E5%92%8C%E8%A7%80%E5%AF%9F-Obversation)

「$W=U\oplus V$」跟「$z\in W$ 可以由唯一的一組 $x\in U,y\in V$ 所表示」 是等價的。

:::info
接下來會有四種觀察，都是在 $U,V$ 是 $W$ 的子空間，且 $W=U\oplus V$ 的情況下來展開跟「$T$ 的投影」有關的內容
:::

# 投影觀察一

如果我定義一個 operator $T\in \mathbb{F}(W)$：

$$
T(z)=y
$$

並且 $x\in U,y\in V$ 是唯一表示 $z=x+y$ 的 $x,y$。

則我們可以知道：

- $T$ 是個投影
- 這是唯一的 $W$ 沿著 $U$ 在 $V$ 上的投影
- $T$ 是線性的

:::success
所以只要確認了 $U$ 跟 $V$，就**唯一確定**了沿 $U$ 上 $V$的投影 $T$，跟沿 $V$ 上 $U$的投影 $T'$，也就是說投影就僅此一家絕無分店。

因此 $z\in W$ 就可以寫為 $z=T'(z)+T(z)$
:::

## 證明

- 先證 $T$ 是個投影：

$$
\displaylines{
T(z)=y\in V\\
z-T(z)=x \in U
}
$$

根據定義 $T$ 確實是個 $W$ 的沿 $U$ 上 $V$ 的投影。

- 再證 $T$ 是唯一的：

令 $T$ 跟 $T'$ 都是 $W$ 的沿 $U$ 上 $V$ 的投影：

$$
\underbrace{T(z)-T'(z)}_{\in V}=\underbrace{-(z-T(z))+(z-T'(z))}_{\in U}
$$

上面是單純透過左邊多扣 $z$ 右邊加回 $z$ 來達成等式，而這個等式左右邊可以發現這個值同時屬於 $U$ 跟 $V$ 兩個子空間，而兩個子空間交集因為是直和所以只有 0，也就代表說：

$$
T(z)-T'(z)\in U\cap V=\{0_W\}\Rightarrow T(z)=T'(z)
$$

所以得知 $T$ 是唯一的。

- 最後證明 $T$ 是線性的

令 $a\in F,z,z'\in W$：

$$
T(az+z')=T(a(x+y)+x'+y')\\
=T(\underbrace{ax+x'}_{\in U}+\underbrace{ay+y'}_{\in V})\\
=ay+y'\\
=a(T(z))+T(z')
$$

:::warning
小結來說，就是如果我根據直和的形式定義了一個轉換，則該轉換是唯一且線性的投影
:::

# 投影觀察二

如果 $T\in \mathbb{L}(W)$，也就是說他是一個線性運算，則「$T$ 是 $W$ 的沿 $U$ 上 $V$ 的投影」跟「當 $z\in V$ 時 $T(z)=z$，$z\in U$ 時 $T(z)=0_W$」是等價的。

別忘記因為 $W=U\oplus V$，所以 $U$ 跟 $V$ 的交集就只有 $0_W$。

:::success
從上面的結果可以知道，$T$ 是線運是個先置條件，而在那條件下，如果 $T$ 是個投影：

- 因為當 $z\in V$ 時 $T(z)=z$
- 也就是說對每個 $V$ 的成員，他都會落在 $T$ 的對應域 $T(W)$ 裡面
- 所以可以知道 $V\subseteq T(W)$
- 因為當 $z\in U$ 時 $T(z)=0_W$
- 也就是說對每個 $U$ 的成員，他都會落在 $N(T)$ 裡面
- 所以可以知道 $U\subseteq N(T)$
:::

## 證明左到右

如果 「$T$ 是 $W$ 的沿 $U$ 上 $V$ 的投影」 則 「當 $z\in V$ 時 $T(z)=z$，$z\in U$ 時 $T(z)=0_W$」

因為 $T$ 是 $W$ 的沿 $U$ 上 $V$ 的投影，根據觀察一，他是個唯一的投影，也就是說它的形式一定是：

$$
\displaylines{
T(z)=y\\
z=x+y
}
$$

而由於我們的大前提 $W=U\oplus V$ 告訴我們 $U\cap V=\{0_W\}$，所以其實可以改寫成：

$$
\displaylines{
T(z)=z,\ z\in V\text{ 此時 }x = 0\\
T(z)=0,\ z\in U\text{ 此時 }y = 0\\
}
$$

並且可以發現如果 $z=0$ 也巧妙地符合上面的規定。

## 證明右到左

如果「當 $z\in V$ 時 $T(z)=z$，$z\in U$ 時 $T(z)=0_W$」則「$T$ 是 $W$ 的沿 $U$ 上 $V$ 的投影」

如果我們令 $x\in U, y\in V, z=x+y$，藉由 $T$ 是線運，可以知道：

$$
T(z)=T(x+y)=T(x)+T(y)=0+y=y
$$

再根據觀察一，可以知道這個 $T$ 符合該形式，他確實是個投影。

# 投影觀察三

如果 $T$ 是一個 $W$ 的沿 $U$ 上 $V$ 的投影：

結合投影定義的推論：

- $N(T)\subseteq U$
- $T(W)\subseteq V$

還有觀察二的推論

- $V\subseteq T(W)$
- $U\subseteq N(T)$

可以知道一個重磅的結論：

$$
\displaylines{
N(T)= U\\
T(W)= V\\
}
$$

:::warning
所以根據維度定理，可以知道：

$$
dim(W)=dim(N(T))+dim(T(W))=dim(U)+dim(V)
$$

所以我們可以把敘述改寫成如下：

只要 $T$ 是 $W$ 的沿 $U$ 上 $V$ 的投影，則他也是 $W$ 的沿 $N(T)$ 上 $T(W)$ 的投影；再根據觀察一可以知道他是唯一且線性的投影。
:::

# 投影觀察四

如果 $W$ 是個向量空間，則「$T$ 是個 $W$ 的投影」跟「$T\in\mathbb{L}(W)\text{ and }T^{2}=T$」是等價的。

$$
T^{2}(z)=T(T(z))
$$

$T^{2}=T$ 這個性質叫做「冪等 idempotence」，所以「投影」跟「冪等線運」是等價的

## 證明 左到右

如果「$T$ 是個 $W$ 的投影」則「$T\in\mathbb{L}(W)\text{ and }T^{2}=T$」。

首先因為 $T$ 是個投影，所以可以根據熱騰騰的觀察三(或者其他觀察)，可以知道：

$$
\displaylines{
z-T(z)\in U=N(T)\\
T(z)=T(z-T(z)+T(z))\\
=\underbrace{T(z-T(z))}_{0_W}+T(T(z))\text{ 線性運算}\\
=T(T(z))
}
$$

別忘記我們可以透過觀察一知道 $T$ 是線運。

## 證明 左到右

如果「$T\in\mathbb{L}(W)\text{ and }T^{2}=T$」，則「$T$ 是個 $W$ 的投影」。

我們定義 $U=N(T)$ 和 $V=T(W)$，對所有的 $z\in W$：

$$
T(z)\in T(W)=V
$$

因為 $T\in\mathbb{L}(W)\text{ and }T^{2}=T$，可知：

$$
T(z-T(z))=T(z)-T(T(z))=T(z)-T(z)=0\\
\Rightarrow z-T(z)\in N(T)=U
$$

所以最後只要確認 $W=U\oplus V$ 就好。

將 $T(z)\in V$ 跟 $z-T(z)\in U$ 結合可以得到 $W= U+V$

然後再接著證明 $U\cap V=N(T)\cap T(W)=\{0\}$。

令 $y\in N(T)\cap T(W)$。因為 $y\in T(W)$ 可以知道存在一個 $z\in W, y=T(z)$

$$
y=T(z)=T(T(z))=\underbrace{T(y)=0}_{y\in N(T)}
$$