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# System prepended metadata

title: 第 1 週 - 群和體
tags: [線性代數]

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# 群 group

四個規則：

- Closedness (封閉)
- Associativity (結合)
- Identity element (單位元素)
- Inverse element (反元素)

## 可交換群 Abelian / commutative group

符合下面規則的群：

- Commutativity (交換):

>經典不可交換的群就是「所有可逆矩陣」的「乘法」
>會要求可逆是為了反元素的條件

## 條件的強烈

Identity element 的定義是：

$$
\exists e\in G,\forall a\in G,\ e\diamond a=a\diamond e = a
$$

可以看到是 $\exists$ 在先， $\forall$ 在後，也就是說是對於「一個 e」，「全部的 a」都滿足。

如果換成：

$$
\forall a\in G,\exists e\in G,\ e\diamond a=a\diamond e = a
$$

會變成對於「全部的 a」，存在「某一個 e」，也就是說每個人的 e 可能會不一樣；也就是說對 e 要求的強度變弱了。

Inverse element 就是相反的敘述，也就是說我們對於反元素不要求全都一樣，只要求存在就好。

## Cancellation Law 消去律

對於一個群，滿足左右消去律：

$$
\displaylines{
x\diamond z=y\diamond z\Rightarrow x=y\\
z\diamond x=z\diamond y\Rightarrow x=y
}
$$

可以由結合律、反元素跟單位元素推得。

當然，你也可以[很簡單的推得](https://math.stackexchange.com/questions/4278203/how-to-prove-a-b-implies-ca-cb-and-ac-bc)：

$$
\displaylines{
x=y\Rightarrow x\diamond z=y\diamond z \\
x=y\Rightarrow z\diamond x=z\diamond y
}
$$

>這好像沒有一個有名的名稱，就叫他擴增律好了

:::warning
要注意，可以發現只要操作滿足群的性質，削去律是個很好用的工具；相對的，如果不滿足群的定義，就千萬不可以使用削去律。

最經典的例子就是實數的乘法，會因為 $0$ 的存在而破壞群的性質，因此實數要構成群，必須要去掉 $0$ 這個搗蛋鬼。

$$
10\ne20,\ \ 0\cdot10 = 0\cdot 20=0
$$

:::

## 反元素跟單位元素的唯一性

$$
\displaylines{
\exists ! e\in G,\forall x\in G,xe=ex=x\\
\forall x\in G,\exists ! y\in G,xy=yx=e
}
$$

$\boldsymbol{\exists !}$ 是「**存在唯一**」的意思。

藉由假設第二個反/單位元素存在，然後用其定義即可推得。

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## 暫定符號

為了方便說明「場 Field」，下面有些暫訂的符號：

- Addition Group 加法群 $(G,+)$
    - 其中其單位元素和 $x$ 的反元素分別記做 $0_{G},\ -x$
- Multiplication Group 乘法群 $(G,\cdot)$
    - 其中其單位元素和 $x$ 的反元素分別記做 $1_{G},\ x^{-1}$

# 體 Field

對於一個 Field：

$$
(F,+,\cdot)
$$

要滿足：

- $(F,+)$ 是 Abelian group
- $0_{F}\cdot a=a\cdot 0_{F}=0_{F},\ \ \forall a\in F$
- 把 $0_{F}$ 拔掉構建出 $G=F\ \setminus \{0_{F}\}$，則 $(G,\cdot)$ 是 Abelian group
- 乘法對加法的分配律：
    - $$\displaylines{a(b+c)=ab+ac\\(a+b)c=ac+bc}$$

:::info
依舊要記住，會出現加號跟乘號，還有 0 等等記號，只是為了方便區分出 $(F,+,\cdot)$ 中的兩種在 F 上的操作
:::

## Corollary

對於一個群 G，可以很輕易的推導出：

$$
\displaylines{
x\diamond y=y\diamond x=e\\
if\ x=e,then\ y=e
}
$$

也就是說單位元素的反元素是自己。

以及

$$
if\ |G|=1,\text{the only x is }e
$$

也就是說如果群只有一個人，則必定剩下的是單位元素。

:::warning
此時回顧 Field 的第 2 個看似很奇怪的條件：

$$
0_{F}\cdot a=a\cdot 0_{F}=0_{F},\forall a\in F
$$

可以發現，$0_{F}$ 如果在加法群中，是個很正常的存在：

$$
\forall a\in F,\ 0_{F}+a=a+0_{F}=a
$$

但是他會成為破壞乘法群反元素條件的存在：

- 當 $0_{F}$ 遇到他在乘法群的反元素 $a$ 時，則從第 2 條可推得 $0_{F}$ 是乘法群的單位元素
- 但是如果 $0_{F}$ 是單位元素，則應該是滿足 $0_{F}\cdot a=a\cdot 0_{F}=a,\forall a\in F$
- 除非 $F$ 只有 $0_{F}$ 一個人，否則會造成矛盾，讓 $(F,\cdot)$ 不是群

這也是為甚麼 $G$ 要挖掉 $0_{F}$ 的原因；也因此可以知道 Field 至少要有兩個成員
:::

## Field 的基礎性質

1. $-(-a)=a$
3. $(-a)b=a(-b)=-(ab)$
4. $(-a)(-b)=ab$

上面三個請善用群的單位元素、體的分配律，進行推導。
>或是下一篇解答：)

:::info
推導的時候，如果是用反證法就可以用直接假設
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## $0_{F}$ 跟 $1_{G}$ 的唯一性

因為 $0_{F}$ 的範圍就是整個 $F$，所以他就是整個 Field 中唯一的 $0_{F}$。

$1_{G}$ 因為範圍挖掉了 $0_{F}$，所以對於 $G$ 來說 
$1_{G}$ 確實是唯一的 $1_{G}$；所以只需要判斷$0_{F}$ 是否可以作為 $1_{G}$。

但是上面就有說，$0_{F}$ 就是破壞 group 性質的搗蛋鬼，他不會是 $1_{G}$；所以我們可以輕鬆的知道 $1_{G}$ 就是 Field 的唯一的 $1_{G}$。
