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title: 布林邏輯|第三週
tags: 數位系統與實驗
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# Switch circuit

有開關的電路
>要記的新東西

<iframe src="https://drive.google.com/file/d/1VUbXjVQsGEFzsTi3AhtBbVi7NOF3IFlV/preview" height="480"></iframe>

1 代表 switch closed
0 代表 switch open

# Duality
- 把 AND OR 互換
- 把 0 1 互換
- 變數保持不變

兩邊依舊是等價的

## 例子

$$
XY + X'Z + YZ = XY + X'Z \\\
(X + Y)(X' + Z)(Y + Z) = (X + Y)(X' + Z)
$$

:::info
Duality 要熟，因為「不直覺的」很難推出來

暫時直接背起來好像也不錯
:::

# 判斷等價

## 原始推導

就是乘開來化簡，只能用已知的性質化簡
像是 $A + A' = A$ , $A • A' = 0$ 這種

## 真值表

直接畫出真值表判斷

### 記憶用

像是多變數的話，就固定其中一個變數，並分成：

- 當該變數為 1 的情況
- 當該變數為 0 的情況

下去做討論

# 建議記起來

## Uniting

$$
XY + XY' = X\\\
(X + Y)(X + Y') = X
$$

把 X 單一化

## Absorption

$$
X + XY = X\\\
X (X + Y) = X
$$

把 Y 吸收掉

## Elimination

$$
X + X'Y = X + Y\\\
X (X' + Y) = XY
$$

把 X' 消除掉

## Consensus

$$
XY + X'Z + YZ = XY + X'Z\\\
(X + Y)(X' + Z)(Y + Z) = (X + Y)(X' + Z)
$$

把 Y 跟 Z 的結果消除

## Distributive laws

$$
X(Y + Z) = XY + XZ \\\
X + YZ = (X + Y)(X + Z)
$$

### 注意
這個方法不限於雙變數，多變數也適用

$$
(V+W+X)(V+W+Y)(V + Z)\\\
=V+(W+X)(W+Y)(Z)
$$

## Useful Theorem

$$
(X+Y)(X'+Z)=X'Y+XZ
$$

用 Consensus 可快速推導
>當然直接記起來使用起來比較方便
>

# Complement

對整個式子加 Not；通常出現於訓練迪摩根的題目

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# Multiplying Out 和 Factoring

分別對應 SOP 跟 POS
主要是利用 Distributive laws 和上面的 useful law
像是遇到有 A 跟 A' 的 SOP ，就可用 useful law 弄出乘積的形式

# Exclusive OR ⊕

- $X⊕0=X$
- $X⊕1=X'$
- $X⊕X=0$
- $X⊕X'=1$
- $X⊕Y=Y⊕X$
- 交換律
- $X⊕(Y⊕Z)=(X⊕Y)⊕Z$
- 結合律
- $X(Y⊕Z)=XY⊕XZ$
- 分配律
- $(X⊕Y)'=X'Y'⊕X'Y'$
- 代表 X 跟 Y 一定要一樣

遇到式子有 XOR 或 XNOR
直接從定義去拆會比較好做，也就是

$$
A ⊕ B = A'B + AB' \\
A ≡ B = A'B' + AB
$$

再去用上面那三個化簡

## Consensus Theorem

$$
XY + X'Z + YZ = XY + X'Z\\\
(X + Y)(X' + Z)(Y + Z) = (X + Y)(X' + Z)
$$

有時後善用 Consensus 會很方便，可以減少 SOP 或 POS 的項

而且也不止於上面公式寫的，像是下面的樣子

$$
ABD + A'BCE + BDCE = ABD + A'BCE
$$

### 最簡了嗎？

有時候選錯 target 會讓 Consensus 的結果不一樣
也就會導致不是最佳解


那怎麼辦？用 K Map；或者大不了就把每個可以用 Consensus 的情況弄出來
然後去...每一個都檢查

### Redundancy Insertion


有時當你把能夠執行 Consensus 的每個都列出來
但是卻發現都不在你的式子中，那這時就要考慮

:::warning
把可以加的加進來
:::

由於沒有一個可以用 Consensus 來消除，那此時就要嘗試反向操作
把他可以消的補回來，畢竟這樣做邏輯是等價的
然後再以補上去的為主，看有沒有其他人可以跟他配合使用 Consensus