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# System prepended metadata

title: 第 3 週 - 直和、伸張集和線性獨立集
tags: [線性代數]

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# 直和 Direct Sum

## 定義

如果我們寫：

$$
W = U \oplus V
$$

代表說要滿足下面兩個條件：

$$
\displaylines{
W=U+V\\
U\cap V=\{0_{W}\}
}
$$

一個經典的例子就是：

$$
\displaylines{
U=\{(a,2a)|a\in \mathbb{R}\}\\
V=\{(2b,b)|b\in \mathbb{R}\}\\
U+V=U\oplus V=W
}
$$

## 直和觀察 Obversation

$$
\displaylines{
W=U\oplus V \Leftrightarrow z=x+y \text{   uniquely}\\
z\in W,x\in U,y\in V
}
$$

也就是說 z 只能被唯一的一組 x 跟 y 表示。

老師的預告：

- x 就是把 z 沿著V的方向投影到 U 上頭的向量
- y 就是把 z 沿著U的方向投影到 V 上頭的向量

## 證明

### 右到左

$$
W=U\oplus V \Leftarrow z=x+y\\
$$

:::warning
這裡採用一個之前從未注意過的技巧：
想要證明 $P\rightarrow Q$，可以證明 $\sim Q \rightarrow \sim P$
看來我的邏輯白修了 orz。
:::

所以我們來證明 $\sim(W=U\oplus V)\rightarrow \sim(z=x+y\text{   uniquely})$。

:::info
(下次應該可以問老師)
我覺得因為直和是和集中的一個特殊情形，所以 $W=U+V$ 算是一個必備條件，所以在意的應該會是 $U\cap V=\{0_{W}\}$。
:::

如果 $U\cap V=\{0_{W},z\}$，也就是還多了一個 $Z$ 當中的人，那麼：

$$
z=0_{W}+z=z+0_{W}
$$

這樣就達成了 $\sim(z=x+y\text{   uniquely})$

### 左到右

$$
W=U\oplus V \Rightarrow z=x+y\\
$$

這裡則是採用相同者只會是自己的證明方式：

$$
\displaylines{
let\ z=x+y=x'+y'\in W\\
x,x'\in U,\ \ y,y'\in V\\
\Rightarrow x + (-x')=y + (-y')
}
$$

而我們根據兩個子空間各自的封閉性，得知：

$$
\displaylines{
x + (-x')\in U\\
y + (-y')\in V\\
x + (-x')=y + (-y') \Rightarrow x + (-x'),y + (-y')\in U\cap V = \{0_{W}\}
}
$$

所以就可以推導出：

$$
x = x',y = y'
$$

---

# 伸張/生成集 spanning/generating set & 線性獨立集 linearly independent set 大綱

老師的教法很有趣，劃分成兩個「任務」跟各自對應的「任務解答」：

:::success
伸張集的部分：

- 任務內容：Given a subset S of a vector space W, find the minimal subspace V of W that **contains** S.
- 任務解答：生成空間觀察。

這個部分會搭配「線性組合 linear combination 」這個概念。
:::

:::info
線性獨立集的部分：

- 任務內容: Given a subspace V of a vector space W, find a minimal subset S of W that **spans** V.
- 任務解答: 線性獨立觀察。

這個部分會搭配「線性相依/獨立 linear in/dependent」 這個概念。
>spans 這個動詞就是伸張集中的「伸張」。
:::
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# 伸張/生成集 spanning/generating set

接著開始伸張集的部分。

## 線性組合 linear combination

$$
\displaylines{
S\subseteq W,\ n\ge 0, a_{1},a_{2},...,a_{n}\in F,\ x_{1},x_{2},...,x_{n}\in S\\
\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\overset{\text{def}}{=}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}
}
$$

1. $S$ 的大小沒有限制，可以是無限大或是空集合
2.  $n$ 不可以是無限大，除非 $a$ 只有有限個非 0。
3. **當 $n=0$ 時的線性組合定義為 $0_{W}$**
    - $\sum_{i=1}^{0}a_{i}x_{i}\overset{\text{def}}{=}0_{W}$
    - 所以 $0_{W}$ 是任何 $S$ 的線性組合，包括空集合也是。
4. 上面的 $x_{i}$ 並沒有規定要相異
    - 但是跟規定必須相異的版本是等價的。

## 伸張集/生成集

對於一個向量空間 $W$ 的子集 $S$，$S$ 的「**線性組合們**」就是 $S$ 的「線性伸張 linear span」，記作：

$$
span(S)
$$

1. $S$ 生成 / 張出 span($S$)
2. $S$ 就是 span($S$) 的伸張集
3. 根據上面線性組合的定義，$0_{W}$ 是任何 span(S) 的成員
4. 所以可以推導出 $span(\emptyset)=span(0_{W})=\{0_{W}\}$
5. span(S) 是 $W$ 的子空間

### 伸張集性質

根據線性組合的定義，可以很容易推導出：

$$
S\subseteq span(S) = span(span(S))
$$

### 無限種相同的伸張集

對於一個子集 $S$，則有可能有無限種的子集 $R$，兩者的伸張集是一樣的：

$$
span(S)=span(R)
$$

畢竟你可以從 $span(S)$ 中隨便拉一個線組出來作為新的子集 $R$。

## 生成空間觀察 / 生成觀察

對於一個向量空間 $W$ 的子集 $S$，$span(S)$ 是包含 $S$ 的「最小子空間」；或者說如果 $W'$ 是某個包含 $S$ 的子空間：

$$
\text{if}\ S\subseteq W'\\
\text{then}\ span(S)\subseteq W'
$$

這個觀察很好用，因為**如果我們想知道 $span(S)\subseteq W'$ 是否成立，只要可以推導出 $S\subseteq W'$ 就好**

## 證明 $span(S)$ 是子空間

拿出上週熱騰騰的聰明判斷法：

首先證明封閉性也就是說從 span(S) 中挑出兩個向量作 ax+y 還是會回到 span(S) 裡面，這個其實很顯然，畢竟 ax+y 就是在作線性組合的動作

接著證明 $0_{W}$ 有沒有在裡面，這個也不用證明，定義就有了。

所以 $span(S)$ 確實是子空間。

##  是包含 $S$ 最小的子空間

跟上次證明 U+V 的那個過程是同一個模子刻出來的。

因為 span(S) 中的 $x$ ，都是由 $S$ 中的各個 $x_{i}$ 組成，而 $S$ 又 包含於 $W'$，所以根據 $W'$ 這個子空間的封閉性，線性組合後的 $x$ 還會在 $W'$ 裡面，因此就證明了：

$$
span(S)\subseteq W'
$$

## 有趣 Corollary

對於 $W$ 中的**兩個子空間** $U$ 跟 $V$：

- 上次我們有證明 $U+V$ 是所有包含 $U\cup V$ 中最小的子空間。
- 上面我們又證明了 $span(U\cup V)$ 是所有包含 $U\cup V$ 中最小的子空間。

所以兩個合在一起就是：

$$
U+V=span(U\cup V)
$$

## 有趣觀察

接著我們來推導出下面兩個有趣的觀察。

對於 $W$ 中的**兩個子集** $R$ 跟 $S$：

$$
\displaylines{
span(R\cap S)\subseteq span(R)\cap span(S)\\
span(R\cup S)= span(R) + span(S)\\
}
$$

## 交集部分

這個的推導比較簡單。

$$
\displaylines{
U=span(R) \Rightarrow R\subseteq U\\
V=span(S) \Rightarrow S\subseteq V\\
W'=U\cap V\\
R\cap S \subseteq U \cap V\\
\Rightarrow span(R\cap S) \subseteq U \cap V
}
$$

除了最後一個步驟用了上面的生成空間觀察，此外還用了一個「交集性質」：

$$
\displaylines{
A \subseteq C\\
B \subseteq D\\
\Rightarrow A \cap B \subseteq C \cap D
}
$$

## 聯集部分

首先轉換一下：

$$
\displaylines{
let :\\
U=span(R), V=span(S) \\
span(R\cup S)= span(R) + span(S) = U + V = span(U\cup V)\\
\Rightarrow span(R\cup S) = span(U\cup V)
}
$$

所以現在換成要證明這兩個集合是一樣的：

$$
\displaylines{
span(R\cup S) = span(U\cup V)\\
\Rightarrow span(R\cup S) \subseteq span(U\cup V)\\
\Rightarrow span(R\cup S) \supseteq span(U\cup V)\\
}
$$

首先是 $span(R\cup S) \subseteq span(U\cup V)$，一樣使用生成空間觀察，換成要證明：

$$
R\cup S \subseteq span(U\cup V)
$$

而這個只要使用「連集性質」就可以了：

$$
\displaylines{
A \subseteq C\\
B \subseteq D\\
\Rightarrow A \cup B \subseteq C \cup D
}
$$

$$
R\cup S \subseteq U \cup V \subseteq span(U\cup V)
$$

再來是 $span(U\cup V) \subseteq span(R\cup S)$，一樣用生成空間觀察轉換：

$$
U\cup V \subseteq span(R\cup S)
$$


首先我們可以觀察出：

$$
\displaylines{
U=span(R)\\
V=span(S)\\
\Rightarrow span(R) \cup span(S) \subseteq span(R\cup S)
}
$$

這裡用了「等同技巧」：

$$
A \cup A = A
$$

所以再搭配上面的「聯集性質」，可以換成證明：

$$
\displaylines{
U=span(R)\subseteq span(R\cup S)\\
V=span(S)\subseteq span(R\cup S)\\
}
$$

而這兩行可以再次使用生成空間觀察和 span 的性質就可以輕易導出。

所以合併起來就可以得到：

$$
\displaylines{
U\cup V = span(R) \cup span(S) \subseteq span(R\cup S) \cup span(R\cup S) = span(R\cup S)\\
\Rightarrow U\cup V \subseteq span(R\cup S)\\
\Rightarrow span(U\cup V) \subseteq span(R\cup S)\\
}
$$


所以統合起來就是：

$$
\displaylines{
span(U\cup V) \subseteq span(R\cup S)\\
span(R\cup S) \subseteq U\cup V\\
span(R\cup S) = span(U\cup V) = U + V = span(R) + span(S) 
}
$$

---

# 線性獨立集 linearly independent set 

接著開始線性獨立集的部分。

## 線性相依/獨立 linear in/dependent

白話地說是 $S$ 中有沒有冗員。

## 線性相依 linear dependent

對於向量空間 $W$ 中的一個子集 $S$，如果當中有一個 $x$：

$$
span(S \setminus \{x\})=span(S)
$$

則 $S$ 是 linear dependent。

1. 也就是說把 $x$ 移除不影響 $S$ 的生成空間，$x$ 是集合 $S$ 裡的一個「冗員」。
2. 如果 $S$ 裡面有 $0_{W}$，$0_{W}$ 會是永遠的冗員，並且根據定義，就算集合只有 $0_{W}$ 一個人，他也是冗員
    - 因為空集合的生成空間還是 $\{0_{W}\}$
3. 根據第 2 點可以推導出：
    - $\{x\}\text{ is linearly dependent} \Leftrightarrow x=0_{W}$

## 線性獨立 linear independent

就是線性相依取 NOT；或者說線性不相依；或者說 $S$ 中沒有冗員。

## 線性獨立觀察

**在向量空間 $W$ 中，對於任何數量有限的子集 $S$，一定存在一個 $S$ 的子集 $R$ 是線性獨立的。**

1. 如果 $S$ 的大小是無限大其實也是對的，只是不能用下面的證明方法，要用集合論的選擇公理才可以證明
2. $R$ 的任何子集 $Q$ 的生成空間一定比 $R$ 的生成空間小：
    - $span(Q)\subset span(R)$
3. $R$ 未必是唯一的，例如 $S=\{(1,1),(2,2)\}$ 是個 $\mathbb{R}^{2}$ 的線性相依集，具有兩種線性獨立的子集 $R_{1}=\{(1,1)\},R_{2}=\{(2,2)\}$

## 證明

如果 $S$ 是線性獨立，則 $R$ 就是 $S$ 本身。

如果 $S$ 是線性相依，根據定義：

$$
\displaylines{
\exists x\in S\\
span(S\setminus \{x\})=span(S)
}
$$

因為 $S$ 是「**有限的**」，所以我們可以一直拔掉這種 $x$，而一直拔最後一定可以知道最小一定是變成空集合，而空集合是 linearly independent，畢竟他沒有人可以拔了。

所以我們就證明完了。

:::info
上面的一直拔到變空集合的情形就是當 $S=\{0_{W}\}$ 的時候，$S$ 可以拔到變成空集合。
:::
:::success
這個推導是建立在 $S$ 是有限的。
:::

## 冗員觀察

如果真的要用定義去檢查 $S$ 是不是線性獨立的，就是要檢查全部的 $x$ 拔掉後的伸張空間有沒有跟原本的一樣。

但是這樣對於很多成員的集合很麻煩，所以我們需要一個「好用的觀察 Obversation」。

$$
\displaylines{
\text{If }x\in S\\
span(S)=span(S\setminus \{x\})\Leftrightarrow x\in span(S\setminus \{x\})
}
$$

也就是說，「$x$ 是 $S$ 的冗員」跟「$x$ 是 $S\setminus \{x\}$ 的線性組合」是等價的。

## 證明左到右

$$
\displaylines{
\text{If }x\in S\\
span(S)=span(S\setminus \{x\})\Rightarrow x\in span(S\setminus \{x\})
}
$$

這個很簡單，一路向右推導就好：

$$
x\in S \subseteq span(S)=span(S\setminus \{x\})
$$


## 證明右到左

再來另一個方向：

$$
\displaylines{
\text{If }x\in S\\
span(S)=span(S\setminus \{x\})\Leftarrow x\in span(S\setminus \{x\})
}
$$

由於要推導出 $span(S)=span(S\setminus \{x\})$，所以跟上面一樣要推導兩個方向的包含等於：

$$
\displaylines{
span(S) \subseteq span(S\setminus \{x\})\\
span(S\setminus \{x\}) \subseteq span(S)\\
}
$$

### $span(S\setminus \{x\}) \subseteq span(S)$

這個比較好證明，先使用生成空間觀察轉換成證明下面的式子

$$
S\setminus \{x\} \subseteq span(S)
$$

跟上面一樣屬於一路推導的類型：

$$
S\setminus \{x\} \subseteq S \subseteq span(S)
$$

### $span(S) \subseteq span(S\setminus \{x\})$

一樣先使用生成空間觀察轉換：

$$
S \subseteq span(S\setminus \{x\})
$$

這裡要用到上面提到過的「聯集性質」跟等同技巧：

$$
\displaylines{
S \subseteq span(S\setminus \{x\})=span(S\setminus \{x\}) \cup span(S\setminus \{x\})\\
S\setminus \{x\} \cup \{x\}=S \subseteq span(S\setminus \{x\}) \cup span(S\setminus \{x\})\\
\Rightarrow S\setminus \{x\} \subseteq span(S\setminus \{x\})\\
and\ \{x\}\subseteq span(S\setminus \{x\})
}
$$

- $S\setminus \{x\} \subseteq span(S\setminus \{x\})$ 這行是生成空間的基本性質。
- $\{x\}\subseteq span(S\setminus \{x\})$ 這個就是題目給的條件 $x\in span(S\setminus \{x\})$

所以我們就成功的推導出：

$$
\displaylines{
S \subseteq span(S\setminus \{x\})\\
span(S)\subseteq span(S\setminus \{x\})
}
$$

### 統合

所以整合上面兩個結論：

$$
\displaylines{
span(S\setminus \{x\}) \subseteq span(S)\\
span(S) \subseteq span(S\setminus \{x\})\\
\Rightarrow span(S) = span(S\setminus \{x\})
}
$$

:::warning
寫了這麼長串的證明，我們最終得到的結論是：
$$
\displaylines{
\text{If }x\in S\\
span(S)=span(S\setminus \{x\})\Leftrightarrow x\in span(S\setminus \{x\})
}
$$
這個是待會很好用的「冗員觀察」。
:::

---

## 好用的冗員觀察1

$$
\displaylines{
R\subseteq S\\
如果R是線性相依，則S也是線性相依\\
如果S是線性獨立，則R也是線性獨立\\
}
$$

上面的兩句話是等價的，$P\rightarrow Q \equiv \sim Q\rightarrow \sim P$。

所以要證明的話只需要證明其中一種就好。

### 線性相依

$$
如果R是線性相依，則S也是線性相依
$$

這個比較好證明，因為可以使用「冗員觀察」。

使用冗員觀察可以知道：

$$
R\text{ is linearly dependent} \Rightarrow \exists x \in R, x\in span(R\setminus \{x\})
$$

而如果我要推導出 S 中有冗員，代表要推導出：

$$
\exists x \in S, x\in span(S\setminus \{x\})
$$

所以首先，我們手頭上已知：

$$
\exists x \in R, x\in span(R\setminus \{x\})
$$

由於根據定義：

$$
\displaylines{
R\subseteq S -(1)\\
\Rightarrow R\setminus \{x\} \subseteq S\setminus \{x\}-(2)
}
$$

從第 1 點可以知道 $x$ 同時也在 $S$ 裡面；而如果想要推導出 $x\in span(S\setminus \{x\})$，根據手頭上另一個已知條件 $x\in span(R\setminus \{x\})$，代表我們必須要推導出：

$$
span(R\setminus \{x\}) \subseteq span(S\setminus \{x\})
$$

這就是生成空間觀察發揮作用的好地方，所以轉換成：

$$
R\setminus \{x\} \subseteq span(S\setminus \{x\})
$$

而這個就可以使用上面的第 2 點了：

$$
R\setminus \{x\} \subseteq S\setminus \{x\} \subseteq span(S\setminus \{x\})
$$

所以我們確實推導出來了：

$$
\displaylines{
\exists x \in R, x\in span(R\setminus \{x\})\\
\Rightarrow \exists x \in S, x\in span(S\setminus \{x\})\\
\Rightarrow S\text{ is linearly dependent}
}
$$

## 好用的冗員觀察2

$$
\displaylines{
\text{If }x\in W\setminus R, R\subseteq W\text{ and R is linearly independent}\\
\text{then }\\
x\in span(R)\Leftrightarrow R\cup \{x\} \text{ is linearly dependent}
}
$$

首先我們可以稍微轉換一下問題，令 $S=R\cup\{x\}$：

$$
x\in span(S \setminus \{x\})\Leftrightarrow S \text{ is linearly dependent}
$$

## 左到右

$$
x\in span(S \setminus \{x\})\Rightarrow S \text{ is linearly dependent}
$$

這個東西就是冗員觀察在講的東西，直接秒殺。

## 右到左

$$
x\in span(S \setminus \{x\})\Leftarrow S \text{ is linearly dependent}
$$

這時要小心，雖然這看起來好像符合冗員觀察的描述，但是不可以忘記，$S$ 是線性獨立的敘述是：

$$
\displaylines{
\text{If }y\in S\\
span(S) = span(S \setminus \{y\})
}
$$

當初線性相依的定義中 $x$ 是「某個」在 $S$ 裡面的成員，而這裡的題目 $x$ 是某個在 $W\setminus R$ 裡面，但是被特別拉進去的「一個特定人士」。

為了避免混淆所以改採用 $y$ 這個符號。

因此雖然 $x$ 也在 S 裡面，但是它是特定的那個人，而線性相依的定義中只有說 $y$ 是 $S$ 中的「某個人」，不一定就會是 $x$。
但是好家在，我們還是可以推導出 $x$ 也會是滿足線性相依的其中一個 $y$ 。

### 情況1 $y=x$

根據冗員觀察，可以知道：

$$
span(S) = span(S \setminus \{y\}) \Rightarrow y\in span(S \setminus \{y\})
$$

而因為 $y=x$ 所以就直接帶入秒殺：

$$
y\in span(S \setminus \{y\})=x\in span(S \setminus \{x\})
$$

### 情況2 $y\ne x$

一樣根據冗員觀察：

$$
span(S) = span(S \setminus \{y\}) \Rightarrow y\in span(S \setminus \{y\})
$$

根據線性組合的定義，可以寫出：

$$
y=\underbrace{ax}_{\{x\}}+\underbrace{\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}}_{S \setminus \{x\} \setminus \{y\}}
$$
>n 可以是 0 喔

當中 $\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$ 是 $R\setminus \{y\}$ 的線性組合部分(別忘記 $S=R\ \cup\ \{x\}$)。

我們可以知道，$a$ 絕對不會等於 $0$，因為一旦 $a=0$，就會變成：

$$
y=\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}
$$

這樣就是在在說：

$$
y\in span(S\setminus \{x\},\{y\})=span(R\setminus \{y\})
$$

根據冗員觀察，R 會是線性相依的，跟當初 R 是線性獨立矛盾，所以 $a\ne 0$。

總之確保這件事情後，可以安心的使用消去率去移項：

$$
\displaylines{
y=ax+\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\\
\Rightarrow x = a^{-1}y+\sum_{i=1}^{n}a^{-1}(-a_{i})x_{i}\\
\Rightarrow x\in span(S \setminus \{x\})=span(R)
}
$$

## 統整

所以證明了一長串，我們成功證明：

$$
\displaylines{
\text{If }x\in W\setminus R, R\subseteq W\text{ and R is linearly independent}\\
\text{then }\\
x\in span(R)\Leftrightarrow R\cup \{x\} \text{ is linearly dependent}
}
$$

:::warning
這個推導告訴我們，對於 R 這個線性獨立的子集，以及一個在 R 外面的 x，「x 是 R 的線性組合」跟「R U {x} 是線性相依」是等價的。
:::

---

# 無趣/無聊線組 trival linear combination

$$
\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}
$$

如果這是一個 無聊線組 trival linear combination，那麼有以下可能：

- $n=0$
- $a_{i}=0_{F},\text{for all }1\le i\le n$
- $x_{1},...,x_{n}$ 至少有兩個一樣/ are not distinct

只要滿足這三個其中一個，就算是無聊線組。

1. 可以輕易的發現 $0_{W}$ 會是任何 $S$ 的無聊線組。

## 有趣/有聊線組 nontrival linear combination

算是無聊線組的相反面。

$$
\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}
$$

如果這是一個 有聊線組 nontrival linear combination，那麼有以下可能：

- $n\ge 1$
- $a_{i}\ne 0_{F},\text{for some }1\le i\le n$
- $x_{1},...,x_{n}$ 都不一樣 are distinct

滿足這三個，就算是有聊線組。

1. 要求 $x_{1},...,x_{n}$ 都不一樣是為了避免相同的 $x_{i}$ 導致線組湊出 $0_{W}$
2. 只要 $0_{W}\in S$，那麼 $0_{W}$ 就會是 $S$ 的其中一個有趣線組。
    - 也就是 $S$ 的其他人的 $a$ 都是 $0_{F}$，$0_{W}$ 的 $a\ne 0_{F}$
    - 那麼線性組合就還是 $0_{W}$

## 零線組觀察

又來了一個好用的「觀察」。

$$
0_{W}\text{ is a nontrivial linear combination of }S\Leftrightarrow S\text{ is linearly dependent}
$$

1. 在零線組觀察的基礎上，在解題時使用線性方城組 systems of linear equations 來判斷線性獨立會很方便
2. 因為如果 $0_{W}$ 是有聊線組，代表 $S$ 中的每一個向量的線性組合不唯一


## 證明

稍微轉換一下：

$$
\exists x\in S, x\in span(S\setminus \{x\})\Leftrightarrow 0_{W}\text{ is a nontrivial linear combination of }S
$$

## 左到右

很簡單，根據定義就可以知道：

$$
x\in span(S\setminus \{x\})\\
\Rightarrow x=\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}
$$

其中 $n\ge 0$，並且 $x_{1},...,x_{n}\in S\setminus \{x\}\ distinctly$；所以一樣使用削去率進行移項：

$$
0_{W}=(-1_{F})x+\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}
$$

上面這個式子說明了 $0_{W}$ 是 $S\setminus \{x\}\cup \{x\}=S$ 的線性組合，所以來檢查他是不是 nontrival：

- $n$ 有沒有大於 1
    - 有，因為把 $x$ 移過去後，雖然 $\sum$ 的 $n\ge 0$，但是加上 $x$ 這個人之後就變成了 $n\ge 1$。
- $a_{i}\ne 0_{F},\text{for some }1\le i\le n$
    - 有，就是 $x$ 本人的 $a$
- $x_{1},...,x_{n}$ 都不一樣 are distinct
    - 有。

所以可以知道 $0_{W}$ 是一個 $S$ 的有聊線組 nontrival linear combination。

### 右到左

一樣根據定義，$0_{W}$ 是一個 $S$ 的有聊線組，所以：

$$
0_{W}=\sum_{j=1}^{m}b_{j}y_{j}
$$

其中 $m\ge 1$，並且 $y_{1},...,y_{j}\in S$ 都不一樣。

接著關鍵的一步，我們至少讓 $b_{1}\ne 0_{F}$，所以可以使用削去率移項：

$$
y_{1}=\sum_{j=2}^{m}(-b_{1})^{-1}b_{j}y_{j}
$$

其中 $y_{2},...,y_{j}\in S\setminus \{y_{1}\}$。

所以我們確實可以知道：

$$
y_{1}\in span(S\setminus \{y_{1}\})
$$

這樣讓 $x=y_{1}$，就可以得到我們的證明了。

## 統整

所以證明了這麼多，我們得到的結論是：

$$
0_{W}\text{ is a nontrivial linear combination of }S\Leftrightarrow S\text{ is linearly dependent}
$$

:::warning
翻成中文來說，「0 是 S 的有聊線組」跟「S 線性不獨立」是等價的。
:::

---

# 大統整

我們完成了兩個任務：

- 給一個子集，找到包含他的最小子空間
    - 搭配的是「生成/伸張」的這個概念
    - 並且使用了「生成空間觀察」這個好用的觀察
    - 還推導出了「有趣觀察」
- 給一個子空間，找到一個可以生成出他的最小子集
    - 搭配的是「線性獨立/線性組合」的這個概念
    - 並且使用了「線性獨立觀察」跟「冗員觀察」這兩個好用的觀察
    - 還推導出「零線組觀察」另一個好用的觀察
