# 多元組符號

接下來進入矩陣的環節。

原本的 $F^{n}$ 長的樣子是平的，現在我們要讓它變成直的：

$$
e_{i}\in F^{n}=F^{n\times 1}\\
e_{i}=
\begin{pmatrix}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix}
$$

## 二階矩陣

如果 $A\in F^{m\times n}$，讓 $A$ 的第 $i$ row 第 $j$ col 的元素記作：

$$
A_{i,j}=A_{ij}\in F
$$

並且將 $A$ 的第 $j$ 個 col 的全部人，記作：

$$
A_{j}\in F^{m}
$$

>因為一個 col 有 row 個元素。

## 矩陣乘法

$A\in F^{m\times l},\ B\in F^{l\times n}$

$$
A\times B = C \in F^{m\times n}\\
C_{ij} = A_{i,1}B_{1,j}+A_{i,2}B_{2,j}+...+A_{i,l}B_{l,j}
$$

## 轉置矩陣

$$
(A\times B)^{t}=B^{t} \times A^{t}
$$

## 矩陣直行的線性組合

$A\in F^{m\times n},\ x\in F^{n}$

$$
A\times x=x_1A_1+x_2A_2+...+x_nA_n
$$

>用矩陣乘法的話就是一個 row 一個 row 的加
>但是換個方法表示就可以變成多個 $x_iA_i$ 之間的 Element-wise 加法。

如果推廣到矩陣乘法，$A\in F^{m\times l},\ B\in F^{l\times n}$

$$
C_{j}=A\times B_{j}
$$
>畫出圖來會比較好觀察

# 左乘觀察

對任何的 $T：F^{n}\rightarrow F^{m}$，「$T$ 是線性轉換」若且唯若「$T=L_A$，$A$ 是某個 $F^{m\times n}$」。

$L_A$ 意思是將 $x$ 這個 $F^{n}$ 的 tuple 左乘 $A$ 這個矩陣。

也就是說：

1. 任何一個左乘都是一個線性轉換
2. 如果 $T$ 是一個多元組間的線轉，那麼 $T$ 一定是個左乘

## 證明方向 1

$a\in F,\ x,y\in F^{n},\ A\in F^{m\times n}$

$$
\begin{align}
L_A(ax+y)&=A\times(ax+y)\\
&=\sum_{i=1}^{n}(ax_{i}+y_i)\cdot A_{i}\\
&=\left(a\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot A_{i}\right)+\left(\sum_{i=1}^{n}y_i\cdot A_{i}\right)\\
&=a\cdot A\times x+A\times y\\
&=aL_A(x)+L_A(y)\\
\end{align}
$$

因此可知 $L_A$ 確實是線性轉換。

## 證明方向 2

這裡是採用建構式證明。

- 令 $\beta$ 是 $F^{n}$ 的標準基底
- 也就是 $\{e_{1},e_{2},...,e_{n}\}$
- $A\in F^{m\times n}$，並且 $A_{j}=T(\beta_j)=T(e_j)$
- 也就是說我們建構 $T$ 的方式是根據[線轉訂製術](https://hackmd.io/gvgtEBfIQfSDb7mDkIaN_Q?view#%E8%A8%82%E8%A3%BD%E8%A7%80%E5%AF%9F)
- 我們去定義 $T$ 會把 $F^{n}$ 的標準基底投射到那些值上面

$$
A=
\begin{pmatrix}
\vdots & \vdots &&\vdots \\
T(\beta_1) & T(\beta_2) &\dots& T(\beta_n)\\
\vdots & \vdots &&\vdots \\
\end{pmatrix}
$$

- $T(\beta_j)=A_{j}=A\times \beta_j = L_A(\beta_j)$
- 因為 $\beta$ 是 $F^{n}$ 的標準基底，所以 $A_{j}=A\times \beta_j$
- 而訂製小推告訴我們，$T(\beta_j)=L_A(\beta_j)$，則 $T=L_A$。

---

# 線轉矩陣

前情：

- $V$ 跟 $W$ 是兩個有限維度且在相同純量場上
- $dim(V)=n$，$dim(W)=m$
- $V$ 的某個基底是 $\beta$，$W$ 的某個基底是 $\gamma$

對任何線轉 $T$，我們定義一個酷東西：

$$
\displaylines{
[T]^{\gamma}_{\beta}=A\in F^{m\times n}\\
A_j=[T(\beta_j)]_{\gamma}\\
A=
\begin{pmatrix}
\vdots & \vdots &&\vdots \\
[T(\beta_1)]_{\gamma} & [T(\beta_2)]_{\gamma} &\dots& [T(\beta_n)]_{\gamma}\\
\vdots & \vdots &&\vdots \\
\end{pmatrix}
}
$$

這就是線轉矩陣。

:::warning
可以發現跟上面推導左乘觀察時，只差在沒有將 $T(\beta_j)$ 取座標。
:::

也就是說：

- 我先算出 $T(\beta_j)$，他是個在 $W$ 中的向量
- 或者是先「定義」出 $T(\beta_j)$
- 然後我找出他在 $W$ 中的座標 $[T(\beta_j)]_{\gamma}$，是個 $m$-tuple
- 最後將 $V$ 的基底中的 $n$ 個向量，一一算出對應的 $m$-tuple 座標
- 把他們一個 col 一個 col 的併在一起組成 $A$

而我們可以發現：

$$
[T]_{\beta}^{\gamma}\times [\beta_j]_{\beta}=A\times e_j=A_j=[T(\beta_j)]_{\gamma}
$$

拿 $V$ 中基底的「某個向量的座標」，經過左乘線轉矩陣，會得到該向量「轉換到 $W$ 裡面的座標」。

這件事情除了基底那 $n$ 個向量會成立，所有的 $x\in V$ 也都會成立。

## 線轉矩陣定理

前情一樣是：

- $V$ 跟 $W$ 是兩個有限維度且在相同純量場上
- $dim(V)=n$，$dim(W)=m$
- $V$ 的某個基底是 $\beta$，$W$ 的某個基底是 $\gamma$

此時：

$$
[T(x)]_{\gamma}=[T]_{\beta}^{\gamma}\times [x]_{\beta}
$$

也就是說，將 $V$ 的座標左乘線轉矩陣，會等於轉換後在 $W$ 的座標。

證明其實很簡單，首先我們知道左乘跟座標兩個都是函數，所以可以改寫成：

$$
\phi_{\gamma}(T(x))=L_A(\phi_\beta(x))\text{ or}\\
(\phi_{\gamma}T)(x)=L_A(\phi_\beta(x))
$$

首先我們知道這兩個函數都是線性轉換，而合成保線性，所以可以知道合成後的函數還是線性轉換，因此我們可以利用訂製小推，只要能夠證明兩個合成後的轉換，都會把 $V$ 的基底 $\beta$ 投射到相同的值，就可以證明他們兩個是一樣的了。

$$
\begin{align}
(\phi_{\gamma}T)(\beta_{j})&=[T(\beta_{j})]_{\gamma}\\
&=A_{j}\\
&=A\times e_{j}\\
&=L_A([\beta_j]_{\beta})\\
&=(L_A\phi_{\beta})(\beta_j)\\
\end{align}
$$

:::warning
而他們會相等的原因，可以發現我們要嘛是找到 $T(\beta)$ 的值後，在把他的座標找出來，要嘛是直接建構一個獨一無二的座標來對應。

而座標具有唯一的特性，因此只要定義一個 $T(\beta_j)$ 座標，就可以唯一決定 $T(\beta_j)$ 的值是多少了，所以這其實就跟線轉訂製術做了一樣的事情。
:::

# 合轉矩陣定理

將線轉矩陣進行合成。

前情：

- $U$、$V$ 跟 $W$ 是三個有限維度且在相同純量場上
- 基底分別為 $\alpha$、$\beta$ 跟 $\gamma$
- $T_1\in \mathbb{L}(U,V),\ T_2\in \mathbb{L}(V,W)$

則我們可以推導出：

$$
[T_2T_1]_{\alpha}^{\gamma}=[T_2]_{\beta}^{\gamma} \times[T_1]^{\beta}_{\alpha}
$$

## 證明

令 $dim(V)=m,A=[T_1]^{\beta}_{\alpha},B=[T_2]_{\beta}^{\gamma},C=[T_2T_1]_{\alpha}^{\gamma}$

$$
\begin{align}
C_{j}&=[(T_2T_1)(\alpha_{j})]_{\gamma}\\
&=[T_2(T_1(\alpha_{j}))]_{\gamma}\\
&=[T_2(A_{1,j}\beta_{1}+A_{2,j}\beta_{2}+...+A_{m,j}\beta_{m})]_{\gamma}\text{ because}A_{j}=[T_1(\alpha_{j})]_{\beta}\text{ by definition}\\
&=[A_{1,j}\cdot T_2(\beta_{1})+A_{2,j}\cdot T_2(\beta_{2})+...+A_{m,j}\cdot T_2(\beta_{m}))]_{\gamma}\ \ T_2 \text{ is linear}\\
&=A_{1,j}\cdot [T_2(\beta_{1})]_{\gamma}+A_{2,j}\cdot [T_2(\beta_{2})]_{\gamma}+...+A_{m,j}\cdot [T_2(\beta_{m}))]_{\gamma}\ \ \phi_{\gamma}\text{ is linear}\\
&= A_{1,j}\cdot B_{1}+A_{2,j}\cdot B_{2} +...+A_{m,j}\cdot B_{m}\\
&= B\times A_{j}\\
\Rightarrow C = B\times A
\end{align}
$$

---

# 線轉基本定理 Fundamental Theorem of Linear Transformations

如果：

- $V$ 跟 $W$ 是兩個有限維度且在相同純量場 $F$ 上
- $dim(V)=n$，$dim(W)=m$
- $V$ 的某個基底是 $\beta$，$W$ 的某個基底是 $\gamma$

則：

$$
(\mathbb{L}(V,W),F,\cdot\ )\cong (F^{m\times n},F,\cdot\ )
$$

也就是說 $\mathbb{L}(V,W)$ 同構於 $F^{m\times n}$；那麼這個同構會是誰呢？答案之一就是剛剛的老朋友，線轉矩陣。

可以發現產生線轉矩陣的過程，確實就是將某個 $\mathbb{L}(V,W)$ 投射到一個很酷的矩陣，所以我們將這個函數記作：

$$
\displaylines{
\phi_{\beta}^{\gamma}：\mathbb{L}(V,W)\rightarrow F^{m\times n}\\
\phi_{\beta}^{\gamma}\overset{\text{def}}{=}[T]_{\beta}^{\gamma}
}
$$

接著可以根據維構定理，知道 $\mathbb{L}(V,W)$ 的跟 $F^{m\times n}$ 具有相同維度，都是 $m\times n$。
>是不是有點難以想像函數向量空間的維度究竟是何種概念

## 證明是線性的

在證明前，我們要先知道說，$\phi_{\beta}^{\gamma}$ 會得到一個矩陣，所以如果對於兩個 $T_1,T_2 \in \mathbb{L}(V,W),a\in F$ 我們想要證明：

$$
[aT_1+T_2]_{\beta}^{\gamma}=a[T_1]_{\beta}^{\gamma}+[T_2]_{\beta}^{\gamma}
$$

右手邊是矩陣的加法，是 Element wise 的加法。

可以發現只要證明 $[aT_1+T_2]_{\beta}^{\gamma}$ 的第 $j$ 個 column，等於 $a[T_1]_{\beta}^{\gamma}$ 跟 $[T_2]_{\beta}^{\gamma}$ 的第 $j$ 個 column 相加，就等同在說明整個矩陣這樣加是線性的。

令 $f_{j}：\mathbb{L}(V,W)\rightarrow F^{m}$，這就是線轉矩陣的每個 column。

$$
\displaylines{
f_{j}(T)\overset{\text{def}}{=}[T(\beta_{j})]_{\gamma}=\phi_{\gamma}(T(\beta_{j}))\\
\begin{align}
f_{j}(aT_1+T_2)&=\phi_{\gamma}((aT_1+T_2)(\beta_j))\\
&=\phi_{\gamma}(aT_1(\beta_j)+T_2(\beta_j))\text{ 標準函數加法}\\
&=a\phi_{\gamma}(T_1(\beta_j))+\phi_{\gamma}(T_2(\beta_j))\text{ 座標函數是線性的}\\
&=af_{j}(T_1)+f_{j}(T_2)\\
\end{align}
}
$$

## 證明是雙射

回顧線轉矩陣的建構方式：

$$
[T(\beta_{j})]_{\gamma}=A_j
$$

而 $T\in\mathbb{L}(V,W)$，訂製觀察告訴我們，對於任意一個 $W$ 的有序子集 $S$，存在一個唯一的線轉 $T$，可以把 $V$ 的某個基底，這裡是 $\beta$，投射到 $S$ 裡；此時只要把那些 $S$ 弄成一個直的 tuple，再用 $\gamma$ 的座標來表示，它就變成了上面的 $A$ 的每個 column。

換句話說就是對於「所有的 $A$」，可以找到線轉矩陣這樣的一個 $T$ 來投射出 $A$。

因此可知 $\phi_{\beta}^{\gamma}$ 是 onto。

而訂製觀察又告訴我們那組 $T$ 是唯一的一組 $T$，也因此 $\phi_{\beta}^{\gamma}$ 也是 one-to-one。

因此我們成功的證明 $\phi_{\beta}^{\gamma}$ 是雙射的，也就是說是可逆的。

---

# 左乘基本性質

接下來會介紹四個左乘的性質，跟上周的[投影](https://hackmd.io/yg0t0qP1QWmjzjadqWrDsA#%E6%8A%95%E5%BD%B1)部分一樣。

:::warning
在下面的例子中，要以「線性轉換」的角色看待 $L_A$，不要用左乘的角色看待他。
:::

# 基本性質一

如果 $\beta$、$\gamma$ 分別是 $F^{n}$、$F^{m}$ 的「**標準基底**」，則：

$$
\displaylines{
[L_A]_{\beta}^{\gamma} = A\\
\text{for any }A\in F^{m\times n}
}
$$

## 證明

來檢查 $[L_A]_{\beta}^{\gamma}$ 的第 $j$ 個 column，看有沒有等於 $A_j$：

$$
[L_A(\beta_j)]_{\gamma}=[A_{j}]_{\gamma}=A_{j}
$$

別忘記那兩個基底都是標準基底，只有一個位置是 1 其他都是 0。

:::warning
這告訴我們，對任意的矩陣，他的**標準線轉矩陣**就是他自己；畢竟建立線轉矩陣的過程就是去看該函數把基底投射過去後的座標，而一個矩陣左乘標準基底後，得到還是本身，而標準基底的座標也是本身。
:::

# 基本性質二

對任何 $A,B\in F^{m\times n}$

$$
L_A=L_B \Leftrightarrow A=B
$$

## 證明

有兩個方向，但是由右向左的方向基本上就是定義，不用證明。

而由左向右的方向，令 $F^{n}$、$F^{m}$ 的 **標準基底**是 $\beta$ 跟 $\gamma$，只要利用性質一：

$$
\displaylines{
A=[L_A]_{\beta}^{\gamma}=[L_B]_{\beta}^{\gamma}=B\\
}
$$

# 基本性質三

對任何 $A,B\in F^{m\times n},c\in F$。

$$
L_{cA+B}=cL_A+L_B
$$

## 證明

別忘記 $L_A$ 是個 $\mathbb{L}(F^{n},F^{m})$ 的線性轉換。下面我們定義我們的**標準線轉矩陣函數**為：

$$
\phi=\phi_{\beta}^{\gamma}\\
$$

${\beta}$ 跟 ${\gamma}$ 分別是**標準基底**。

先前我們證明 $\phi_{\beta}^{\gamma}$ 是個 $\mathbb{L}(F^{n},F^{m})$ 到 $F^{m\times n}$ 的同構，而我們定義他的反函數為 $\phi^{-1}$，並且根據可逆觀察，反函數保線性，因此可知 $\phi^{-1}$ 是線性的：

$$
\displaylines{
[L_{cA+B}]_{\beta}^{\gamma} = cA+B\text{ by 基本性質一}\\
L_{cA+B}=\phi^{-1}(cA+B)\text{ 兩邊取反函數}\\
\phi^{-1}(cA+B)=c\phi^{-1}(A)+\phi^{-1}(B)=cL_A+L_B
}
$$

# 基本性質四

對任何 $A\in F^{m\times l},B\in F^{l\times n}$。

$$
L_{A\times B}=L_AL_B
$$

注意，右邊是線性合成。

而這個是我們矩陣乘法的迷你版：

$$
\displaylines{
(A\times B)\times x=A\times (B\times x)\\
\forall x\in F^{n}
}
$$

## 證明

注意到 $L_A\in \mathbb{L}(F^{l},F^{m}),L_B\in \mathbb{L}(F^{n},F^{l})$，所以 $L_AL_B\in \mathbb{L}(F^{n},F^{m})$。

根據很上面的左乘觀察，對於 $L_AL_B$ 這樣 $\mathbb{L}(F^{n},F^{m})$ 的線性轉換，存在一個矩陣 $C\in F^{m\times n}$，$L_AL_B=L_C$

令 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 分別是 $F^{n}$、$F^{l}$、$F^{m}$ 的**標準基底**，根據基本性質一(紅)，還有很上面的合轉矩陣定理(藍)：

$$
A\times B\color{red}{=}[L_A]_{\beta}^{\gamma}[L_B]_{\alpha}^{\beta}\color{blue}{=}[L_AL_B]_{\alpha}^{\gamma}=[L_C]_{\alpha}^{\gamma}\color{red}{=}C
$$

最後根據基本性質二，可以知道：

$$
A\times B = C \Rightarrow L_{A\times B} = L_C = L_AL_B
$$

---

# 矩陣乘法結合律

對任何 $A\in F^{n_1\times n_2},B\in F^{n_2 \times n_3}, C\in F^{n_3 \times n_4}$。

$$
(A\times B) \times C = A\times (B \times C )
$$

只要使用基本性質(藍)跟函數合成的結合律即可：

$$
L_{(A\times B) \times C}\color{blue}{=}L_{A\times B}L_C\color{blue}{=}(L_AL_B)L_C\color{red}{=}L_A(L_BL_C)...
$$

接著你就知道怎麼做了。

# 一些線轉的基本性質

下面會列出一些線轉的基本性質。

令 $V_1$、$V_2$、$V_3$ 是三個有相同純量場的 $F$ 的向量空間，並且有下面四個線性轉換：

$$
\displaylines{
T_{12},T_{12}^{\prime}：V_1\rightarrow V_2\\
T_{23},T_{23}^{\prime}：V_2\rightarrow V_3\\
}
$$

## 函數分配律1

$$
T_{23}(T_{12}+T_{12}^{\prime})=T_{23}T_{12}+T_{23}T_{12}^{\prime}
$$

$$
\begin{align}
(T_{23}(T_{12}+T_{12}^{\prime}))(x)
&=T_{23}((T_{12}+T_{12}^{\prime})(x))\\
&=T_{23}(T_{12}(x)+T_{12}^{\prime}(x))\text{ 標準函數加法}\\
&=T_{23}T_{12}(x)+T_{23}T_{12}^{\prime}(x)\text{ 線性}\\
\end{align}
$$

[標準函數加法](https://hackmd.io/j7PlUoBZQ4aaCBbP0UxIPw#%E5%87%BD%E6%95%B8%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93)。

## 函數分配律2

$$
(T_{23}+T_{23}^{\prime})T_{12}=T_{23}T_{12}+T_{23}^{\prime}T_{12}
$$

$$
\begin{align}
((T_{23}+T_{23}^{\prime})T_{12})(x)
&=(T_{23}+T_{23}^{\prime})(T_{12}(x))\\
&=T_{23}(T_{12}(x))+T_{23}^{\prime}(T_{12}(x))\text{ 標準函數加法}\\
\end{align}
$$

## 函數等身律

$$
T_{12}I_{V_1}=I_{V_2}T_{12}=T_{12}
$$

$$
\displaylines{
\begin{align}
T_{12}I_{V_1}&= T_{12}\\
I_{V_2}T_{12}&=T_{12}\\
\end{align}\\
T_{12}I_{V_1}=T_{12}=I_{V_2}T_{12}
}
$$

## 函數結合律

$$
a(T_{23}T_{12})=(aT_{23})T_{12}=T_{23}(aT_{12})
$$

$$
\begin{align}
a((T_{23}T_{12})(x))
&=a(T_{23}(T_{12}(x)))\\
&=\text{1：}(aT_{23})(T_{12}(x))\text{ 函數標準乘法}\\
&=\text{2：}T_{23}(aT_{12}(x))\text{ 線性}\\
\end{align}
$$

---

# 單位方陣

$$
I_n\in F^{n\times n}\\
$$

對角線全為 $1_F$ 其他全為 $0_F$。

左邊是左乘的表記方式，右邊是上面提到的等身函數，下標代表定義域：

$$
L_{I_{n}}=I_{F^{n}}
$$

但通常會將 $I_{F^{n}}$ 簡記為 $I_{n}$

# 矩陣的一些基本性質

令 $A,A^{\prime}\in F^{m\times l},B,B^{\prime}\in F^{l\times n},a\in F$

## 矩陣分配律1

$$
A\times (B + B^{\prime}) = A\times B + A\times B^{\prime}
$$

只要把上面稍微改寫一下：

$$
\begin{align}
L_A(L_{B + B^{\prime}})
&=L_A(L_{B} + L_{B^{\prime}})\text{ 基本性質三}\\
&=L_AL_{B} + L_AL_{B^{\prime}}\text{ 函數分配律1}\\
&=L_{A\times B} + L_{A\times B^{\prime}}\text{ 基本性質四}\\
&=A\times B + A\times B^{\prime}
\end{align}
$$

## 矩陣分配律2

$$
(A + A^{\prime})\times B =A\times B + A^{\prime}\times B
$$

$$
\begin{align}
L_{A + A^{\prime}}L_{B}
&=(L_{A}+L_{A^{\prime}})L_{B}\text{ 基本性質三}\\
&=L_{A}L_{B}+L_{A^{\prime}}L_{B}\text{ 函數分配律2}\\
&=L_{A\times B}+L_{A^{\prime}\times B}\text{ 基本性質四}\\
&=A\times B + A^{\prime}\times B
\end{align}
$$

## 矩陣等身律

$A\in F^{m\times n}$

$$
I_{m}\times A=A\times I_{n} = A
$$

使用上面的...算是定義，還有上面的函數等身律：

$$
\begin{align}
I_{m}\times A &= I_{F^{m}}L_{A}=L_A\\
A\times I_{n} &= L_{A}I_{F^{n}}=L_A
\end{align}
$$

## 矩陣結合律

$$
a(A\times B)=(aA) \times B=A \times (aB)
$$

這個很明顯就是使用函數結合律。

# 反矩陣與可逆矩陣

$A\in F^{m\times n},B\in F^{n\times m}$，如果 $B$ 是 $A$ 的反矩陣，要滿足：

$$
\displaylines{
A\times B = I_{m}\\
B\times A= I_{n}\\
}
$$

如果寫成函數形式，就會變成：

$$
\displaylines{
L_A\in\mathbb{L}(F^{n},F^{m}),L_B\in\mathbb{L}(F^{m},F^{n})\\
L_AL_B=I_{m}\\
L_BL_A=I_{n}\\
}
$$

其實就是上面[反函數的定義](https://hackmd.io/gvgtEBfIQfSDb7mDkIaN_Q#%E5%8F%8D%E5%87%BD%E6%95%B81)。

## 反矩陣唯一

如果 $A\in F^{m\times n}$ 可逆，則該反矩陣唯一。

根據矩陣乘法的結合律，對於 $A$ 的兩個反矩陣 $B\in F^{n\times m}$ 跟 $C\in F^{m\times n}$：

$$
B=B\times I_{m}=B\times(A\times C)=(B\times A)\times C= I_{n} \times C = C
$$

或者寫成函數形式 $L_A\in\mathbb{L}(F^{n},F^{m}),L_B\in\mathbb{L}(F^{m},F^{n}),L_C\in\mathbb{L}(F^{m},F^{n})$：

$$
L_B=L_BI_m=L_B(L_AL_C)=(L_BL_A)L_C=I_nL_C=L_C
$$

:::warning
可以回憶之前有提到過，反函數如果存在，則唯一；證明方法可以使用上面的方法。
:::

:::success
也因此特別將該反矩陣記為 $A^{-1}$，就跟反函數做的事情一樣。
:::

## 可逆必方

如果 $A$ 可逆，則 $A$ 必定是方陣。

對於 $A\in F^{m\times n}, A^{-1}\in F^{n\times m}$，或者說函數形式的 $L_A\in\mathbb{L}(F^{n},F^{m}),L_{A^{-1}}\in\mathbb{L}(F^{m},F^{n})$，此時我們可以注意到，$L_{A^{-1}}$ 就是一個可逆的線性轉換，因此可知 $F^{n}$ 同構於 $F^{m}$，所以我們就可以根據維構定理，知道 $n=m$。

:::warning
所以可以注意到，如果是再函數的世界，可逆則同維。
:::

# 反線轉的線轉矩陣

現在我們回到矩陣 $T\in\mathbb{L}(V,W)$ 和，令 $\beta$、$\gamma$ 分別是 $V$ 跟 $W$ 的基底，則：

- 「$T$ 可逆」若且唯若「$[T]_{\beta}^{\gamma}$ 是可逆矩陣」
- 如果 $T$ 可逆，則 $[T^{-1}]^{\beta}_{\gamma}=([T]_{\beta}^{\gamma})^{-1}$

## 證明，左到右

如果 $T$ 可逆，則：

- $[T]_{\beta}^{\gamma}$ 是可逆矩陣
- $[T^{-1}]^{\beta}_{\gamma}=([T]_{\beta}^{\gamma})^{-1}$

首先，由於 $T$ 可逆，可知 $V$ 同構於 $W$，再可知 $V$ 跟 $W$ 同維，也就是說 $|\beta|=|\gamma|=n$。

此時我們來看看 $T^{-1}$ 的線轉矩陣，然後搭配合轉矩陣定理：

$$
[T^{-1}]_{\gamma}^{\beta}\times [T]^{\gamma}_{\beta}=[T^{-1}T]_{\beta}^{\beta}=[I_{V}]_{\beta}^{\beta}=I_n
$$

所以就知道 $[T^{-1}]_{\gamma}^{\beta}$ 是 $[T]^{\gamma}_{\beta}$ 唯一的反矩陣，因此可以記做：

$$
([T]^{\gamma}_{\beta})^{-1}=[T^{-1}]_{\gamma}^{\beta}
$$

## 證明，右到左

$[T]_{\beta}^{\gamma}$ 是可逆矩陣，則 $T$ 可逆。

令 $A=[T]_{\beta}^{\gamma}$，則他的可逆矩陣為 $A^{-1}$；根據線轉基本定理，矩陣同構於線轉，也就是說，找的到一個唯一的 $T^{\prime}\in\mathbb{L}(W,V)$，$[T^{\prime}]_{\gamma}^{\beta}=A^{-1}$，接著一樣使用合轉矩陣定理：

$$
[T^{\prime}T]_{\beta}^{\beta}=[T^{\prime}]_{\gamma}^{\beta}\times [T]^{\gamma}_{\beta}=A^{-1}\times A=I_{n}=[I_V]_{\beta}^{\beta}
$$

>$[T]_{\beta}^{\gamma}$ 是可逆矩陣，可知可逆必方

最後得到 $[T^{\prime}T]_{\beta}^{\beta}=[I_V]_{\beta}^{\beta}$，再使用一次線轉定理提供的唯一性，得知 $T^{\prime}T=I_V$，也就知道 $T'$ 就是那個唯一的反函數。

## 可逆左乘的反線轉

如果把上面的 $T$ 帶入 $L_A,A\in F^{m\times n}$，會得到：

- 「$L_A$ 可逆」若且唯若「$[L_A]_{\beta}^{\gamma}=A$ 是可逆矩陣」
- 如果 $L_A$ 可逆，則 $[L_A^{-1}]^{\beta}_{\gamma}=([L_A]_{\beta}^{\gamma})^{-1}=A^{-1}=[L_{A^{-1}}]^{\beta}_{\gamma}\Rightarrow L_A^{-1}=L_{A^{-1}} \text{ (兩邊取反線轉矩陣操作)}$

:::info
我覺得老師忘記補上 $\beta$ 跟 $\gamma$ 是標準基底的這個條件。
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# 矩陣乘法保可逆

如果 $A,B\in F^{n\times n}$ 可逆，則 $A\times B$ 也可逆，並且：

$$
(A\times B)^{-1}=B^{-1} \times A^{-1}
$$

## 證明

採用建構法，將原本的 $(A\times B)$ 右邊多乘東西：

$$
(A\times B)\times (B^{-1} \times A^{-1})=A\times (B\times B^{-1} )\times A^{-1}=A\times I_n \times A^{-1}=I_n
$$

這樣就可以知道 $B^{-1} \times A^{-1}$ 是 $A\times B$ 的反函數。

:::warning
老師說也可以用函數合成保雙轉，$A\times B=L_AL_B$ 的部分，來去推得保可逆。
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# 矩陣轉置保可逆

如果 $A$ 可逆，則 $A^{T}$ 也可逆。

令 $A\in F^{n\times n}, B=A^{-1}$

$$
A^T\times B^T=(B\times A)^T=(I_n)^T=I_n
$$