### 高中數學概論
### 實數的運算性質與式的運算
---
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
Table of Contents
</h3>
- 實數的運算性質
- 實數數線
- 絕對值
- 分點公式
- 式的運算
- 例題練習
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
### 注意
### 本章節有重要的公式推導
### 要背公式
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
### 最後會有許多例題
### 時間允許可以寫寫看
---
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
### 實數的運算性質
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**這些國中應該學過**
**但是這很基礎 必須熟練**
<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="1" -->
**高中也常會用到這章的概念來出題**
<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="2" -->
**未來在大學的其他門課也會有類似的東西出現**
<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="3" -->
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
實數的運算性質
</h3>
|性質|範例|
|:-:|:-:|
|交換律|$a+b=b+a$, $a\times b=b\times a$|
|結合律|$a+(b+c)=(a+b)+c$ $a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$|
|分配律|$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$|
|恆等律|$a+0=0+a=a$, $a\times 1=1\times a=a$|
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**上述都是一些等式會遇到的性質**
**想當然不等式也會有性質**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
實數的大小關係與性質
</h3>
- 三一律：$\forall a,b\in \mathbb{R}$，恰有一項關係成立$a<b，a=b，a>b$
- 若$a<b$且$b<c$，則$a<c$
- 若$a<b$，則$a+c<b+c$
- 若$a<b$且$c>0$，則$ac<bc$
- 若$a<b$且$c<0$，則$ac>bc$
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**其實性質還有很多**
**只是大多都可以從現有的性質推敲出來**
---
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
### 實數數線
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**實數數系的建立**
**某種程度上就是在描述一條數線上會有的點**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**因此在此章節不會去講如何建立實數數線**
**而是會討論如何在數線上標示範圍**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
### 舉例說明
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**$x=3$ 代表一點**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**$x>3$ 代表一條沒碰到3的射線**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**$x\ge 3$ 代表一條碰到3的射線**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**$-2\le x<3$ 代表一範圍**
**通常也會寫成這樣 $[-2, 3)$**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**除了不等式之外**
**我們也很常用括號表示一段區間**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
區間的表示
</h3>
**區間左端用 [ 或 (**
**區間右端用 ] 或 )**
**[ ] 中括號代表有碰到點**
**( ) 小括號代表沒碰到點**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**$\infty$也是可以表示區間的喔**
**只是$\infty$因為絕對無法碰到**
**所以要用小括號( )喔**
---
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
### 絕對值
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**絕對值國中肯定學習過**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
絕對值
</h3>
- 對任一實數$a，|a|$代表a與原點的距離
- 如果又有另一實數$b，|a-b|$代表$a$與$b$的距離
- 任何實數取絕對值後皆為正數
---
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
### 分點公式
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**假設今天處理一個問題**
**$A(a)$與$B(b)$為數線上相異兩點**
**如果我今天知道一點$P$介於$A$與$B$之間**
**且$\bar{AP}:\bar{PB}=m:n$**
**如何求出$P$點座標$p$呢?**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**透過圖可知$P$點所在位置占$\bar{AB}$總長$\cfrac{m}{m+n}$**
**也可知道$A$與$B$區間得長度為$\bar{AB}=b-a$**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**那麼就可以求出
$\bar{AP}=(\bar{AB}\times \cfrac{m}{m+n})=(b-a)\times \cfrac{m}{m+n}$**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**之後再加上$A$點座標$a$就可以得到$p=a+(b-a)\times \cfrac{m}{m+n}$**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**整理一下式子**
**$p=a+(b-a)\times \cfrac{m}{m+n}=a+\cfrac{mb-ma}{m+n}$
$=\cfrac{ma+na}{m+n}+\cfrac{mb-ma}{m+n}=\cfrac{na+mb}{m+n}$**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**因此 $p=\cfrac{na+mb}{m+n}$**
**此公式又被稱為分點公式**
<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="1" -->
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**我在高中時不喜歡叫他分點公式**
**喜歡叫他「總長分之叉叉」**
<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="1" -->
---
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
### 式的運算
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**這Part就一堆公式啦**
**很多國中程度其實就推得出來**
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
乘法公式
</h3>
1. $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
2. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
3. $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$
4. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
5. $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
6. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
7. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
**注意正負號**
<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="1" -->
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
**其實$(a+b)^n$可以用排列組合去推導公式**
**但本章節暫且不說明**
<!-- .element: class="fragment" data-fragment-index="1" -->
---
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
例題1
</h3>
$a=\sqrt{8}+\sqrt{7}, b=\sqrt{4}+\sqrt{11}, c=\sqrt{2}+\sqrt{13}$
**求$a$, $b$, $c$的大小關係**
<font color = "#212">a>b>c</font>
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
例題2
</h3>
**數線上有多少個整數點與點$\sqrt{101}$的距離小於$5$
但與點$\sqrt{38}$的距離大於$3$?**
<font color = "#212">6</font>
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
例題3
</h3>
**設$|2x-1|=|x+3|$，求$x=?$**
<font color = "#212">4 or -2/3</font>
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
例題4
</h3>
**解不等式$|2x-1|>5$**
<font color = "#212">(x>3) or (x<-2)</font>
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
例題5
</h3>
**已知$a$與$b$為實數，且$a+b=5$，$a^2+b^2=33$**
**求$a^3+b^3+\cfrac{a}{b}+\cfrac{b}{a}$**
<font color = "#212">707/4</font>
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
例題6
</h3>
**簡化$\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$**
<font color = "#212">-4</font>
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
例題7
</h3>
**一正數$a$的小數部分為$b$，且$b$≠$0$，若$a+b^2=12$，求$b=?$**
<font color = "#212">(-1+-sqrt5)/2</font>
----
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
<h3 class="text-left">
例題8
</h3>
**數線上三點$A(-5)、B(9)、P(x)$，已知$\bar{AP}:\bar{PB}=3:4$，求$x$**
<font color = "#212">1 or -47</font>
---
<!-- .slide: data-transition="fade" -->
### 以上就是本章節的內容
{"title":"高中數學概論-實數的運算性質與式的運算","contributors":"[{\"id\":\"4f67a8cd-06ae-45dc-a8e3-62c6a41e5a37\",\"add\":6593,\"del\":344}]","description":"實數的運算性質","slideOptions":"{\"title\":\"高中數學概論-實數的運算性質與式的運算\",\"author\":\"ShanC\",\"slideOptions\":{\"transition\":\"fade\",\"theme\":\"black\"},\"tag\":\"高中數學概論\",\"type\":\"slide\"}"}