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tags: Mathematical modeling and optimization
title: 前言
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前言 -- 工程系統的模擬
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機械工程涉及對物理原理的精確理解與應用。歷史上，工程產品的開發主要依賴經驗知識和個人經驗，這往往需要多次反覆試驗才能達到預期的性能。

然而，隨著計算技術的進步，產品功能特性的模擬變得更加精確。隨著計算能力的提高，有限元模擬——無論是在結構分析、流體動力學還是多體動力學中——已成為產品開發的標準工具。這些模擬提供了詳細的見解，幫助工程師在幾何設計和功能配置上做出明智的決策。

近年來，大數據建模逐漸受到關注，使得能夠分析大量數據成為可能，包括日誌和圖像等資料。這類建模技術雖然計算量大且成本高——通常只有大型企業或學術機構才能承擔——但其分析結果可能帶來重大洞察。深入分析可能揭示出以往未知的因素和依賴性。然而，如果輸入數據的質量不佳，這些模型也可能變得非物理性或不現實。

當涉及到系統級別的分析時，複雜性會顯著增加。系統中的每個元件都有其自身的物理效應，這些效應共同構成整體功能。此外，元件之間還存在物理和功能上的相互作用，這進一步增加了複雜性。因此，對每個元件進行深入分析通常是不可行的。

這正是本課程的焦點所在。與其試圖詳盡解決系統的每個方面，我們更關注於捕捉每個元件的關鍵現象。根據具體情況，一些元件可以簡化為時間依賴或一維的子系統。在某些情況下，這些元件的解析解可能存在。通過連接這些子解，我們可以構建一個綜合的複雜系統模型。

這類通用模型的優勢在於它們對計算資源的要求較低。由於子系統被簡化為0/1/2維問題，相應的計算成本也大幅降低。這種建模策略非常適合當前工業中對於產品性能優化和降低成本的需求。

### 工業環境中的模擬與建模策略

上述模擬與建模策略可以總結如下：

**解析解**是數學問題中最理想的解法。解析解是直接的公式，不需要數值方法或近似方法。通常，這些公式僅在特定條件下有效，適用於相對簡單的問題，如單一物理現象。在複雜情況下，解析解非常罕見，通常僅用於部分分析。因此，理解這些解法在實際問題中的適用性至關重要。

**數據驅動的建模**與解析解方法截然相反。該方法不解物理定律方程，而是通過分析數據（通常通過線性層）來構建描述所觀察數據的模型。在統計解釋和圖像識別等領域，這種方法非常成功，因為這些領域背後沒有數學方程支配。然而，在工程領域，大量數據通常難以獲得，且測量誤差可能導致非物理性或不現實的結果。因此，專業人員的監督始終是必要的。

**數值模擬**提供了解決複雜相互作用的另一種方法。該方法從物理原理出發，通過數值方法近似解決基本方程，例如質量守恆、動量守恆和能量守恆。這一過程涉及將域離散化為無數微小的元件，這些微小元件的相互作用揭示了系統的宏觀行為。與解析解不同，數值模擬不受特定條件的限制，但可能計算成本較高。

**數值方法與解析解的混合建模**結合了數值方法和解析解的特性。該方法不是對每個元件進行離散化，而是使用控制體積和控制表面來描述子系統。通過簡化非主導維度或效應，數值方法或解析解可以近似這些子系統的主要功能。這些子系統然後互相連接，以考慮多方向相互作用。通常，需要引入經驗參數來解釋系統內外的不確定性，這些參數可以通過測量進一步校準。與數值模擬不同，這種策略要求深入理解系統背後的物理原理。如果模型中未正確實施相關物理功能，計算結果可能會完全不合理。

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整體而言，建模的方式相對應其所需的專業知識及計算資源需求可總結如下圖:

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### 本課程內容

本課程將逐步引導讀者掌握建立機械系統動態模型所需的技能與知識。

第一章複習了基本的數學工具，如微積分、微分方程和數值方法。這些工具將被應用於通過數值方法處理初值和邊值問題。

第二章再次走過機械系統的基本概念。對於剛體動力學，自由體圖(free body diagram)是分析物體的第一步。對物體進行力分析可以導出其運動和動態狀態。同樣，這一思路也適用於連續介質（如流體、能量），其中控制體積(control volume)和控制表面(control surface)的概念提供了對連續性質的基本理解。

第三章及第四章深入探討了流體力學，這是本課程的核心內容。該章節涵蓋了液壓學(hydraulics)、液體動力學(hydrodynamics)、空氣動力學(aerodynamics)和氣體動力學(gas dynamics)。我們將討論具有實際應用的選定主題，展示如何將簡單概念與數值方法結合以產生強大的工程工具。

第五章重點介紹了優化技術，這對於校準建模參數和找到最佳設計配置至關重要。我們將從基本方法（如最小二乘法）開始，逐步介紹啟發式優化技術，如遺傳算法(Genetic Algorithm)和粒子群優化(Particle Swarm Optimization)。這一章節將理論與實際應用橋接起來，確定參數後，工程模型得以完成。

掌握這四個元素後，工程師將能夠通過列出主要功能、簡化無關的維度、應用數值方法近似解，以及使用優化算法尋找最佳設計參數來分析個別系統。這些步驟對於創建工程軟件工具至關重要，這些工具甚至將可以成為中小型企業的核心技術專長。在數字化時代，一個能夠預測未來性能和潛在問題的工程模型對於保持市場競爭力至關重要。

### 關於作者

__Chi-Yao Chang, Dr.-Ing.__
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- 2022 Mar. - Now
Senior Development Engineer, Gas Metering,
Elster-Honeywell
- 2016 Oct. - 2022 Feb.
Lead Engineer, CAE, inflator core and applications
Aschaffenburg Inflator center,
Joyson Safety Systems (Former Takata)
- 2014 Feb. – 2016.Sep.
Post -Doctoral research, CFD windfarm site assessment,
Institute for Wind energy and Energy System technology,
Fraunhofer Society
- 2009 Apr. – 2014 Jan.
PhD, chair of fluid mechanics and aerodynamics ,
Technical University Darmstadt, Germany