---
# System prepended metadata

title: 第五周

---

![image](https://hackmd.io/_uploads/Bk4I3fFalx.png)

**1. 簡述能態密度分布函數𝑔(𝐸)的物理意義。𝑔(𝐸)為連續或非連續函數？請說
明其原因？**

於單位能量內能量為E的能態數量稱為能態密度，以g(E)表示。
g(E)為單位體積，單位能量，動能為E的電子能態數。
g(E)將原來屬於離散的E-K關係等效為連續的g(E)函數，可將離散的求和變為連續的積分，可方便載子濃度的計算。

(字數:95)

**2. 請用 Excel 繪出 n 型半導體的能態密度分布𝑔(𝐸)、費米分布函數𝑓(𝐸)與電
子濃度分布𝑛(𝐸)於同一圖中(請自行假設合理的參數值)並簡述各分布曲線的物理意義與相互關係。**

![n_type_conduction_band_textbook_orientation](https://hackmd.io/_uploads/Bkh0Kpjaee.png)


**3. 說明波茲曼近似(即把費米分布函數分母中的1略去)的物理意義與重要性。**


若 $E - E_F \geq 3kT$
→ 波茲曼近似誤差 $$\varepsilon r \leq 5\%$
![image](https://hackmd.io/_uploads/rkerdmYaxe.png)

重要性為可大幅簡化計算，適用於大多數非簡併半導體。

(字數:31)

**4. 請畫出熱平衡下n型與p型Si半導體的能帶圖，圖中應標示費米能階$𝐸_F$與
費米電位。請簡述如何依據能帶圖評估多數載子濃度的高低。**

![image](https://hackmd.io/_uploads/SyUJyba6ee.png)

  
   若 $E_F$ 越接近導帶底 $E_C$，表示電子濃度 $n$ 越高，摻雜濃度越大。
  

   若 $E_F$ 越接近價帶頂 $E_V$，表示電洞濃度 $p$ 越高，摻雜濃度越大。
  
(字數:52)

**5. 請說明費米電位的物理意義並推導室溫下費米電位的60mV規則。**


費米電位即為熱平衡半導體之電位分布。

在任意能量電子被佔據的機率由費米分佈給出：

$$
f(E) = \frac{1}{1 + \exp\left(\frac{E - E_F}{kT}\right)}
$$
$$
\frac{n_2}{n_1} = \frac{n_t e^{\frac{V_{n_2}}{V_T}}}{n_t e^{\frac{V_{n_1}}{V_T}}} = e^{\frac{\Delta V_n}{V_T}} = 10
$$


在非簡併半導體中：

$$
E_F - E_i = kT \ln \left( \frac{n}{n_i} \right)
$$

室溫（300 K）下 $kT/q \approx 25.9mV$，當載子濃度改變10倍時，費米能階會移動：

$$
\Delta E_F = kT \ln (10) \approx 60mV
$$
因此在室溫（約 300 K）下，費米電位每變化約 60 mV，對應載子濃度變化一個十倍。

(字數:100)

**6. 解釋費米能階$𝐸_F$的物理意義並說明決定本質與雜質半導體$𝐸_F$的依據。**



 $E_F$為$0K$時出現電子的最高能階
 於$T > 0 \text{ K}$下，假如$E_F$處有能階，則該能階出現電子機率為1/2
 費米能階 $E_F$ 為半導體型態與載子濃度指標：
   n 型半導體：$E_i < E_F < (E_c - 3kT)$
   p 型半導體：$(E_v + 3kT) < E_F < E_i$
 $E_F$ 靠近 $E_c$，電子濃度愈高
 $E_F$ 靠近 $E_v$，電洞濃度愈高

(字數:99)

**7. 試以圖解法(請用半對數圖畫出)解出釋室溫下 n 型 Si 半導體(摻雜濃度為$N_D$=$10^{16}$ $cm^{-3})$的費米能階$𝐸_F$，假設導帶有效能態密度$Nc=2.8×10^{19}$ $cm^{-3}$,$n_i=10^{10}$ $cm^{-3}$**

![image](https://hackmd.io/_uploads/HJz99LaTgl.png)


$$
\begin{aligned}
E_c - E_f &= 0.02585 \times \ln \left( \frac{2.8 \times 10^{19}}{1 \times 10^{16}} \right) \\&= 0.205 \, \text{eV}
\end{aligned}
$$

(字數:0)