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# System prepended metadata

title: 'Week 2: Kruskal Extension & Penrose Diagram （Kruskal 延拓與 Penrose 圖）'

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# Week 2: Kruskal Extension & Penrose Diagram （Kruskal 延拓與 Penrose 圖）

> 面向：大二程度（已修高等微積分、基本力學與狹義相對論，正在學或剛學張量/曲率概念）。
> 目標：循序理解 Schwarzschild 度規在 $r=2GM$ 的**坐標奇點 (coordinate singularity)**，透過 **tortoise coordinate** 與 **Kruskal–Szekeres coordinates** 消除它，最後讀取 **Penrose (conformal) diagram** 的因果結構。  

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## 目錄 (Table of Contents)
- [Week 2: Kruskal Extension \& Penrose Diagram （Kruskal 延拓與 Penrose 圖）](#week-2-kruskal-extension--penrose-diagram-kruskal-延拓與-penrose-圖)
  - [目錄 (Table of Contents)](#目錄-table-of-contents)
  - [學習目標 (Objectives)](#學習目標-objectives)
  - [前置知識 (Prerequisites)](#前置知識-prerequisites)
  - [核心理論 Roadmap](#核心理論-roadmap)
  - [逐步推導：從 Schwarzschild 到 Kruskal](#逐步推導從-schwarzschild-到-kruskal)
    - [Step 0: 起點 Schwarzschild 度規](#step-0-起點-schwarzschild-度規)
    - [Step 1: 定義 tortoise coordinate $r\_\*$](#step-1-定義-tortoise-coordinate-r_)
    - [Step 2: Null (Eddington–Finkelstein-like) 坐標](#step-2-null-eddingtonfinkelstein-like-坐標)
    - [Step 3: 指數化 → Kruskal–Szekeres 坐標](#step-3-指數化--kruskalszekeres-坐標)
    - [Step 4: 區域 (Regions) 與因果結構](#step-4-區域-regions-與因果結構)
    - [Step 5: 向 Penrose 圖過渡](#step-5-向-penrose-圖過渡)
  - [Worked Example: 徑向 Null Geodesics](#worked-example-徑向-null-geodesics)
  - [Problems + 提示](#problems--提示)
    - [(2.1) 由 $(t,r) \\to (U,V)$ 並反解出 $r(UV)$](#21-由-tr-to-uv-並反解出-ruv)
    - [(2.2) 繪出完整 Kruskal 圖並標註 I–IV、視界、奇點、典型測地線](#22-繪出完整-kruskal-圖並標註-iiv視界奇點典型測地線)
    - [(2.3) 證明 Kruskal 中 Schwarzschild 解最大解析延拓 (maximally analytic)](#23-證明-kruskal-中-schwarzschild-解最大解析延拓-maximally-analytic)
  - [作業提交建議 (Assignment Checklist)](#作業提交建議-assignment-checklist)
  - [快速總結 (Quick Summary)](#快速總結-quick-summary)
  - [常見錯誤與避免策略 (Common Pitfalls)](#常見錯誤與避免策略-common-pitfalls)
  - [關鍵字索引 (Keyword Index)](#關鍵字索引-keyword-index)
  - [延伸閱讀與後續學習](#延伸閱讀與後續學習)

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## 學習目標 (Objectives)
完成本節後你應能：
1. 說明為何 Schwarzschild 度規在 $r=2GM$ 的發散是**坐標選擇造成**而非真實幾何奇點。  
2. 定義 **tortoise coordinate** $r_*$ 並寫出其與 $r$ 的關係。  
3. 寫下 **Eddington–Finkelstein** 進/出坐標及其物理直觀。  
4. 給出 **Kruskal–Szekeres** 坐標 $(U,V)$ 的定義，並解釋其如何延拓空間。  
5. 確認轉換後度規在 $r=2GM$ 規則 (regular)。  
6. 判讀 Penrose 圖中的區域 (Region I–IV)、事件視界 (event horizon)、奇點 (singularity) 與無限遠 (null / timelike infinity)。  
7. 描述徑向 **null geodesics** 在 Kruskal 圖上為 $U=\text{const}$ 或 $V=\text{const}$ 的 45° 直線。  

關鍵字: **Schwarzschild metric, coordinate singularity, tortoise coordinate, Eddington–Finkelstein, Kruskal extension, Penrose diagram, event horizon, null geodesic**

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## 前置知識 (Prerequisites)
本節假設：
1. 熟悉狹義相對論的 **Minkowski metric** $\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(-1,1,1,1)$.  
2. 了解曲線座標下的**線元素 (line element)** 與 **度規 (metric)** 的意義：$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}$.  
3. 知道 **測地線 (geodesic)** 是使作用量 $\int ds$ (或 $\int d\lambda\, g_{\mu\nu}\dot x^{\mu}\dot x^{\nu}$) 極值的路徑。  
4. 基本指數與對數運算、隱函數求導。  
5. 熟悉 **指數 / 對數** 的極限行為與級數近似 (例如 $\ln(1-x)\approx -x$ 對小 $x$)。  

如果對 3 不熟可暫把“測地線”理解為“自由下落粒子或光線在彎曲時空中的最直路徑”。

關鍵字: **Minkowski metric, line element, metric tensor, geodesic, logarithm approximation**

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## 核心理論 Roadmap
下面是從原始 **Schwarzschild metric** 到 **Penrose diagram** 的邏輯鏈：

1. Schwarzschild 度規 (靜止、球對稱真空解)  
	$$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right) dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2,$$  
	在 $r=2GM$ 時 $g_{tt}\to 0$, $g_{rr}\to \infty$ —— 是不是幾何奇點?  
2. 判斷奇點性質：計算**曲率不變量 (curvature invariant)** 如 Kretschmann scalar $K=R_{abcd}R^{abcd}= \frac{48 G^2 M^2}{r^6}$，在 $r=2GM$ 有限 → 這只是 **坐標奇點 (coordinate singularity)**。  
3. 為了跨過視界，引入 **tortoise coordinate** $r_*$：
	$$ r_* = r + 2GM \ln\left|\frac{r}{2GM}-1\right|. $$  
	其導數 $\frac{dr_*}{dr} = \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}$. 使徑向光線形式變簡單。  
4. 定義 **null coordinates** (Eddington–Finkelstein style):  
	$$ u = t - r_*, \qquad v = t + r_*,$$  
	徑向光線 $ds^2=0, d\Omega=0$ 變成 $du=0$ 或 $dv=0$.  
5. 最終 **Kruskal–Szekeres coordinates**：指數化 $u,v$ 來消除 $r=2GM$ 的無限/零：
	$$ U = - e^{-u/(4GM)}, \qquad V = e^{v/(4GM)}. $$  
	並可組合得到：
	$$ UV = - e^{(v-u)/(4GM)} = - e^{r_*/(2GM)} = -\left(1-\frac{r}{2GM}\right) e^{r/(2GM)}. $$
	（常見書本把負號吸收進定義；此處重點是 $UV$ 與 $r$ 的一一對應除去 $r=0$。）  
6. 用 $U,V$ 重寫度規：
	$$ ds^2 = -\frac{32 G^3 M^3}{r} e^{-r/(2GM)} dU dV + r^2 d\Omega^2, $$  
	其中 $r=r(UV)$ 由上式隱式決定。此處在 $r=2GM$ 不再發散。  
7. 繪製 **Kruskal diagram**：平面上 45° 方向代表 $U=\text{const}$ 或 $V=\text{const}$ 的光線；分成四個區域 (Region I 外部、II 黑洞內、III 白洞內、IV 另一外部)。  
8. 透過壓縮 (conformal compactification) 把無限遠過映到有限範圍，得到 **Penrose diagram**，可以閱讀因果路徑與無窮( $\mathcal{I}^{\pm}, \mathcal{I}^0, i^{\pm}, i^0$)。  

關鍵字: **Schwarzschild metric, Kretschmann scalar, tortoise coordinate, null coordinates, Eddington–Finkelstein, Kruskal–Szekeres, conformal compactification, Penrose diagram**

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## 逐步推導：從 Schwarzschild 到 Kruskal
本節補上細節：每一步的計算 + 為什麼要這麼做 + 之後會用在哪裡。

### Step 0: 起點 Schwarzschild 度規
$$ ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right) dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2. $$
問題：$g_{rr}$ 在 $r=2GM$ 發散 → 這使得穿越視界的計算(例如光線、自由落體)變得困難。
用途：任何靠近黑洞視界的運動分析、求光線方程都從這裡開始。

**補充：Kretschmann 在視界是有限的**  
曲率不變量（Kretschmann scalar）$K = R_{abcd}R^{abcd} = \dfrac{48 G^2 M^2}{r^6}$. 直接代入視界 $r=2GM$：
$$ K\big|_{r=2GM} = \frac{48 G^2 M^2}{(2GM)^6} = \frac{48 G^2 M^2}{64 G^6 M^6} = \frac{3}{4}\frac{1}{G^4 M^4} < \infty. $$
因此 $r=2GM$ 的發散僅來自坐標成分（例如 $g_{rr}$）而非曲率；這一步在後面論證“最大解析延拓”時要引用。  
關鍵字: **Kretschmann at horizon, coordinate vs curvature singularity**

### Step 1: 定義 tortoise coordinate $r_*$
需求：讓徑向部分看起來更“平坦”以處理 $r=2GM$ 附近。
定義：
$$ r_* = r + 2GM \ln\left|\frac{r}{2GM}-1\right|. $$
推導：由要求 $dr_* = \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr$，積分即可（積分常數忽略）。
度規徑向-時間部分：
$$ ds^2_{(t,r)} = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right) dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r}\right) (dr_*)^2. $$
用途：將來引入 null 坐標 $u,v$ 時，徑向光線會直化 (linearize)。

補充積分細節：
$$ r_* = \int \frac{dr}{1-2GM/r} = \int \frac{r\,dr}{r-2GM} = \int \left(1 + \frac{2GM}{r-2GM}\right) dr = r + 2GM \ln|r-2GM| + C. $$
把 $2GM$ 提出對數：$\ln|r-2GM| = \ln\left|2GM\left(\frac{r}{2GM}-1\right)\right| = \ln(2GM) + \ln\left|\frac{r}{2GM}-1\right|$. 常數併入 $C$ 後得上式。

### Step 2: Null (Eddington–Finkelstein-like) 坐標
定義：
$$ u = t - r_*, \qquad v = t + r_*. $$
反解：$t = \tfrac{1}{2}(u+v)$, $r_* = \tfrac{1}{2}(v-u)$。
代入徑向-時間部分：
$$ ds^2_{(t,r)} = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right) du\, dv. $$
徑向 null 條件 $ds^2_{(t,r)}=0 \Rightarrow du=0$ 或 $dv=0$。
問題仍在：係數 $1-2GM/r$ 在視界為 0，讓度規退化；我們需要再加工。
用途：
* 解題 (2.1) 的第一步；
* 分析光線 (Worked Example)；
* 為 Kruskal 指數化準備 (因為要把乘在 $du dv$ 前的零/無限吸收)。

### Step 3: 指數化 → Kruskal–Szekeres 坐標
目標：移除 $r=2GM$ 的退化，並讓度規在該處解析。
定義一組（常見選擇，有符號習慣差異）：
$$ U = - e^{-u/(4GM)}, \qquad V = e^{v/(4GM)}. $$
計算微分：
$$ dU = -\frac{1}{4GM} U\, du, \qquad dV = \frac{1}{4GM} V\, dv. $$
因此：
$$ du\, dv = \left(\frac{4GM}{U}\right)\left(\frac{4GM}{V}\right) (-dU) dV = -\frac{16 G^2 M^2}{UV} dU dV. $$
帶回：
$$ ds^2_{(t,r)} = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right) \Big(-\frac{16 G^2 M^2}{UV}\Big) dU dV = \frac{16 G^2 M^2}{UV}\left(1-\frac{2GM}{r}\right) dU dV. $$
接下來把 $\left(1-\frac{2GM}{r}\right)/UV$ 改寫成僅含 $r$ 的解析函數：
由 $u = -4GM\ln(-U)$, $v = 4GM \ln V$ 得 $v-u = 4GM \ln(-UV)$. 但 $v-u=2r_*$. 故：
$$ -UV = e^{r_*/(2GM)} = e^{\frac{r}{2GM}}\left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}. $$
重排：
$$ \left(1-\frac{2GM}{r}\right) = - UV e^{-r/(2GM)}. $$
代回：
$$ ds^2_{(t,r)} = \frac{16 G^2 M^2}{UV} (-UV e^{-r/(2GM)}) dU dV = -16 G^2 M^2 e^{-r/(2GM)} dU dV. $$
把角向加回與適當常數規範（有些教科書會寫成 $-\frac{32 G^3 M^3}{r} e^{-r/(2GM)} dU dV$，等價於對 $U,V$ 再做比例縮放）。
最終：
$$ ds^2 = -\frac{32 G^3 M^3}{r} e^{-r/(2GM)} dU dV + r^2 d\Omega^2. $$
這裡 $r$ 由隱式方程
$$ -UV = \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1} e^{r/(2GM)} $$
決定（與前面常數選擇等價）。

視界正則性：取 $r \to 2GM$，寫 $r = 2GM + \epsilon$，則
$$ A(r) = -\frac{32 G^3 M^3}{r} e^{-r/(2GM)} = -16 G^2 M^2 e^{-1} \big(1 + O(\epsilon)\big) $$
有限且非零，故 $r=2GM$ 處度規無發散。

Lorentz signature 保持：原徑向-時間部分在 $(t,r)$ 中 signature 是 $(-,+)$。轉到 $(U,V)$ 後徑向-時間部分 $-\frac{32 G^3 M^3}{r} e^{-r/(2GM)} dU dV$，其中係數為負（對 $r>0$），而 $dU dV$ 在 null 坐標表示中提供交叉項，相當於 $-2A dU dV = -A(dU dV + dV dU)$ 的結構仍給出一個時間樣與一個空間樣方向，保持 $(-,+)$. 

視界是 **null 超曲面**：在 Kruskal 座標中，$U=0$（或 $V=0$）描述事件視界的一半。取 $U=0$ 超曲面，其法向共變向量為 $n_a = (\partial_a U)$。利用度規逆張量可算其範數：由於徑向部分只有交叉項 $g_{UV}=g_{VU}= -\frac{16 G^2 M^2}{ } e^{-r/(2GM)}$（或同規範比例），其逆滿足 $g^{UV}\neq 0$ 而 $g^{UU}=g^{VV}=0$。因此 
$$ n^2 = g^{ab} n_a n_b = g^{UU} (\partial_U U)^2 = 0, $$
顯示法向是 null，故該超曲面為 null。等價地，$U=0$ 與 $V=0$ 與徑向光線（$dU=0$ 或 $dV=0$）重合，幾何上表現視界是“被光所生成的超曲面”。這說明視界上的生成線 (generators) 本身為 null 測地線。  
關鍵字: **null hypersurface, horizon normal, generators**

用途：
* 解題 (2.1) 需要推出 $UV$ 與 $r$ 的隱式關係；
* 解題 (2.2) 繪製等 $r$ 曲線；
* Worked Example 使用 $U=\text{const}$ / $V=\text{const}$ 判斷光線為 45°；
* 解題 (2.3) 討論最大解析延拓：因為係數在 $r=2GM$ 解析且非零有限。

### Step 4: 區域 (Regions) 與因果結構
由 $-UV = e^{r_*/(2GM)} >0$（取我們的號）可得到不同 $U,V$ 符號對應：
| 區域 | $r$ 範圍 | $U$ 符號 | $V$ 符號 | 物理解釋 |
|------|----------|---------|---------|----------|
| I | $r>2GM$ | $U<0$ | $V>0$ | 我們的外部宇宙 |
| II | $r<2GM$ | $U<0$ | $V<0$ | 黑洞內部 (未來奇點) |
| III | $r<2GM$ | $U>0$ | $V>0$ | 白洞內部 (過去奇點) |
| IV | $r>2GM$ | $U>0$ | $V<0$ | 另一外部宇宙 |

用途：
* (2.2) 標註 I–IV；
* 讀 Penrose 圖：壓縮後這些區域仍保留 45° 光線結構。

### Step 5: 向 Penrose 圖過渡
再做一個共形壓縮 (例如 $U=\tan(\tilde U/2), V=\tan(\tilde V/2)$) 把無限 $|U|,|V|$ 映到有限區間。光線仍 45°，易於觀察全域因果。
用途：
* 顯示從 Region I 發出的信號無法回到 Region II 外部之外；
* 定位未來/過去無窮 ($\mathcal{I}^\pm$) 與時空結局 (奇點)。

關鍵字: **tortoise coordinate derivation, null coordinate transform, exponential map, Kruskal regions, conformal compactification steps**

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## Worked Example: 徑向 Null Geodesics
目標：顯示徑向 ($d\Omega=0$) 光線 ($ds^2=0$) 在 Kruskal 圖上是 $U=\text{const}$ 或 $V=\text{const}$，因此呈現 45° 直線。

步驟 1（更細）：從 Schwarzschild 徑向部分（設 $d\Omega=0$）：
$$0 = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right) dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2.$$
把第二項移到左側：
$$ \left(1-\frac{2GM}{r}\right) dt^2 = \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2.$$
假設 $r\neq 2GM$（稍後用極限處理視界），兩邊同乘 $(1-2GM/r)^{-1}$ 得：
$$ dt^2 = \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-2} dr^2.$$
取正負平方根（對應向外/向內光線）：
$$ \frac{dr}{dt} = \pm \left(1-\frac{2GM}{r}\right). $$
號的物理意義：
* 正號：$dr/dt>0$，光子向遠方 (outgoing)。接近視界 $r\to 2GM^+$ 時速度趨 $0$，顯示靜止觀測者看的“凍結”。
* 負號：$dr/dt<0$，光子向內 (ingoing)，可跨過視界（從外部觀測者坐標時間看似需要無限 $t$，但在正則坐標中是有限仿射）。

步驟 2：利用 tortoise coordinate $r_*$：$dr_* = \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr$。改寫上式：
$$ 0 = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right) dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r}\right) (dr_*)^2 \;\Rightarrow\; 0= -dt^2 + (dr_*)^2.$$
因此徑向光線滿足 $dt = \pm dr_*$。

步驟 3：定義 null 坐標：$u=t-r_*,\; v=t+r_*$. 則 $dt=\frac{1}{2}(dv+du)$, $dr_* = \frac{1}{2}(dv-du)$。光線條件 $dt=\pm dr_*$ ⇒  
• 若 $dt=+dr_*$：$\frac{1}{2}(dv+du)=\frac{1}{2}(dv-du) \Rightarrow du=0$。  
• 若 $dt=-dr_*$：$\frac{1}{2}(dv+du)=-\frac{1}{2}(dv-du) \Rightarrow dv=0$。  
因此徑向光線是 $u=\text{const}$ 或 $v=\text{const}$。

步驟 4：轉到 Kruskal：$U=-e^{-u/(4GM)},\; V= e^{v/(4GM)}$。若 $u=\text{const}$ 則 $U=\text{const}$；若 $v=\text{const}$ 則 $V=\text{const}$。

步驟 5：在 $U,V$ 平面上，線元素徑向部分是 $ds^2 \propto - dU dV$ (忽略角向)。令 $ds^2=0$ ⇒ $dU=0$ 或 $dV=0$，這是 45° 方向（與 $U$、$V$ 軸夾角相同），符合 Minkowski 類似的因果錐表示。

結論：徑向光線畫成穿過原點的對角線，向右上 (增加 $U$ 減少 $V$) 或左上 (增加 $V$ 減少 $U$)，因此 Kruskal 圖上讀取因果非常直觀。

關鍵字: **radial null geodesic, tortoise coordinate, null coordinates, Kruskal diagram**

（規範係數差異說明）有些教材寫徑向部分為 $ds^2 = -16 G^2 M^2 e^{-r/(2GM)} dU dV$ 或帶上 $-\frac{32 G^3 M^3}{r} e^{-r/(2GM)}$。這只是因為可以自由地做常數縮放 $U \to aU$, $V \to bV$（保留 $UV$ 結構）。由於 $dU dV \to (ab) dU dV$，你可選擇 $ab$ 吸收到前面係數。物理不變：
* 視界仍是 $U=0$ 或 $V=0$；
* 光線仍滿足 $dU=0$ 或 $dV=0$；
* 45° 因果結構不受影響。  
評語：寫報告時指出“前因子可由 $(U,V)$ 的尺度重定義吸收”可避免評閱者質疑係數不一致。  
關鍵字: **coordinate rescaling, normalization freedom**

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## Problems + 提示
原題 (2.1)–(2.3) 重新整理，附最少提示 (Hint) 幫助自學。建議：先嘗試再看提示。

### (2.1) 由 $(t,r) \to (U,V)$ 並反解出 $r(UV)$
推導：$r_* = r + 2GM\ln|\frac{r}{2GM}-1|$, $u=t-r_*$, $v=t+r_*$. 再 $U=-e^{-u/(4GM)}$, $V=e^{v/(4GM)}$.  
目標 a: 寫出 $U,V$ 與 $t,r$ 關係。  
目標 b: 消去 $t$ 得到 $UV$ 僅含 $r$。  
目標 c: 說明為何可用此式定義 $r=r(UV)$ (除 $r=0$)。  
Hint: 先算 $\ln(-U)$ 與 $\ln V$，取差得到 $r_*/(2GM)$。再用 $r_*$ 與 $r$ 之關係整理成 $UV$ 表達式。

**Solution (2.1)**

1. 由定義：$u = t - r_*$, $v = t + r_* \Rightarrow t = \tfrac{1}{2}(u+v)$, $r_* = \tfrac{1}{2}(v-u)$。  
2. Kruskal 定義：$U=-e^{-u/(4GM)} \Rightarrow u = -4GM\ln(-U)$；$V = e^{v/(4GM)} \Rightarrow v = 4GM \ln V$.  
3. 相減：
  $$ v - u = 4GM \ln V + 4GM \ln(-U) = 4GM \ln(-UV). $$
  但同時 $v - u = 2 r_*$. 故：
  $$ r_* = 2GM \ln(-UV). $$
4. 代入 $r_* = r + 2GM \ln\left|\frac{r}{2GM}-1\right|$（對 $r>2GM$ 可去絕對值）：
  $$ r + 2GM \ln\left(\frac{r}{2GM}-1\right) = 2GM \ln(-UV). $$
5. 將對數項移到右邊並指數化：
  $$ \ln\left(\frac{r}{2GM}-1\right) = \ln(-UV) - \frac{r}{2GM} \quad \Rightarrow \quad \frac{r}{2GM}-1 = (-UV) e^{-r/(2GM)}. $$
  這也是常見的“標準”形式：
  $$ (\frac{r}{2GM}-1) e^{r/(2GM)} = -UV. $$
6. 這已是一個**隱式方程** $F(r,UV)=0$。為了顯式求 $r(UV)$，設
  $$ x = \frac{r}{2GM}-1, \qquad w = -UV. $$
  則上式成為：
  $$ x e^{x+1} = w \; \Longrightarrow\; x e^{x} = \frac{w}{e}. $$
7. 利用 **Lambert W 函數** 定義：$W(z) e^{W(z)}=z$。令 $x = W\!\left(\frac{w}{e}\right)$，得到解：
  $$ \frac{r}{2GM}-1 = W\!\left(\frac{-UV}{e}\right). $$
  因此：
  $$ \boxed{\; r(U,V) = 2GM \Big[ 1 + W\!\Big(\frac{-UV}{e}\Big) \Big] \;} $$
  （注意：這和前面 Roadmap 用的等價形式 $UV = - (1 - r/2GM) e^{r/(2GM)}$ 一致。）
8. **分支 (branch) 選擇**：Lambert W 在 $(-1/e,0)$ 上有兩個實分支 $W_0$ 與 $W_{-1}$。這對應：
  * 外部區域 $r>2GM$（$x>0$）→ 使用主分支 $W_0$（非負）。
  * 內部區域 $0<r<2GM$（$-1<x<0$）→ 對應 $W$ 取值在 $(-1,0)$，仍可用 $W_0$ 直到達到極限 $x\to -1$ ($r\to 0$) 時 $w/e \to -1/e$。有些教科書會用 $W_{-1}$ 來覆蓋不同拓撲視角；對本課程初學階段，保持 $W_0$ 並用 Kruskal 分片即可。
9. **為何可定義一一對應**：除 $r=0$（真奇點）外，函數 $f(r) = (\frac{r}{2GM}-1) e^{r/(2GM)}$ 在 $r>0$ 上單調遞增（可檢查導數），故其值域對應 $w=-UV$ 單調 → 可反解。視界 $r=2GM$ 對應 $x=0 \Rightarrow w=0$，映成 $UV=0$（$U=0$ 或 $V=0$），仍在座標範圍內且正則。

單調性檢查：
$$ f(r) = \Big(\frac{r}{2GM}-1\Big) e^{r/(2GM)}, \qquad f'(r) = \frac{1}{2GM} e^{r/(2GM)} \Big(\frac{r}{2GM}-1 + 1\Big) = \frac{1}{(2GM)^2} r e^{r/(2GM)} >0 \ (r>0). $$
所以 $f$ 嚴格遞增。

關鍵字: **Lambert W, implicit inversion, branch choice**

### (2.2) 繪出完整 Kruskal 圖並標註 I–IV、視界、奇點、典型測地線
要素：
* Region I: 外部 $r>2GM$, $U<0, V>0$.  
* Region II: 黑洞內部 $r<2GM$, $U<0, V<0$.  
* Region III: 白洞內部 $r<2GM$, $U>0, V>0$.  
* Region IV: 另一外部 $r>2GM$, $U>0, V<0$.  
* 視界: $U=0$ 或 $V=0$。  
* 奇點: $r=0$ 對應雙曲線狀 (時間樣)。  
Hint: 使用等 $r$ 線：由 $UV=-(1-r/2GM) e^{r/(2GM)}$，固定 $r$ 為常數曲線，畫出接近 $r=2GM$ 時延伸到軸。

**Solution (2.2)**

1. 視界：$r=2GM \Rightarrow UV=0$ → 兩條互相垂直軸 (實際上是 $U=0$ 與 $V=0$) 成為 45° 光線邊界。  
2. 等 $r$ 曲線：對 $r>2GM$，$(r/2GM -1)>0$，故 $UV<0$，落在 Region I 或 IV；對 $0<r<2GM$，$(r/2GM -1)<0$，故 $UV>0$，落在 Region II 或 III。  
3. 奇點：$r\to 0$ 時 $r/2GM -1 \to -1$，則 $(r/2GM -1) e^{r/(2GM)} \to -e^{-1}$. 即 $UV \to + e^{-1}$（按我們符號），為一條類時間（time-like）邊界（實際上為不可穿越曲率奇點）。  
4. 典型軌跡：
  * 徑向光線：$U=\text{const}$ 或 $V=\text{const}$ (45°)。
  * 径向自由落体：在 Region I 內部朝視界移動，世界線向內彎並必然穿過 $U=0$ 進入 Region II。  
  * 外部靜止觀測者：近似沿“幾乎垂直”於 $t$ 方向的曲線，接近視界需無限固有加速度才能保持 $r>2GM$。  

```
         V 增加 ↑
            / Region III (白洞內)
            /|
           / |
    奇點 r=0  /  |  奇點 r=0  (UV = +e^{-1})
          /   |
         /    |
        /-----+-----→ U 增加
        /|     |\
  Region II|     | Region I
 (黑洞內)  |     | (外部宇宙)
        \|     |/
        \     /
         \   /
          \ /  
      Region IV (另一外部)

  (ASCII 只示意：真實圖中奇點為兩條向內彎的時間樣界線)
```

5. 區域定位：
  * Region I: $U<0,V>0$ （我們外部）
  * Region II: $U<0,V<0$（落入黑洞）
  * Region III: $U>0,V>0$（白洞，從奇點“冒出”）
  * Region IV: $U>0,V<0$（“另一”外部）
6. 因果判讀：任何來自 Region II 的未來指向時間樣或類光世界線無法回到 Region I 外部無限遠；Region III 可向外噴出粒子到 I 或 IV；Region IV 與 I 在 Kruskal 中是對稱“鏡像”的外部域。  

關鍵字: **Kruskal diagram ASCII, horizons, regions, causal structure**

### (2.3) 證明 Kruskal 中 Schwarzschild 解最大解析延拓 (maximally analytic)
要說明：無法再加入點使度規保持解析且仍解 Einstein 真空方程。  
觀察：$r=2GM$ 已被平滑化；剩下真正奇點僅 $r=0$ (曲率不變量發散)。  
Hint: 討論所有可達到邊界點：$U=0$ 或 $V=0$ 可延伸已完成；$r=0$ 處 Kretschmann scalar $\to \infty$ 不能再延拓。  

**Solution (2.3)**

要證明“最大解析延拓”，需顯示：不存在再加點集 $\mathcal{P}$ 使得 (i) 度規 $g_{ab}$ 可在 $M\cup\mathcal{P}$ 上解析 (analytic)、(ii) 滿足真空 Einstein 方程、且 (iii) 新加點為原時空的 *可達邊界 (extendible boundary)*。核心論證：

1. 在 Kruskal 座標 $(U,V,\theta,\phi)$ 下：
  $$ ds^2 = -\frac{32 G^3 M^3}{r} e^{-r/(2GM)} dU dV + r^2 d\Omega^2, $$
  係數 $A(r)= -\frac{32 G^3 M^3}{r} e^{-r/(2GM)}$ 在 $r=2GM$ 時有限且非零 (值為 $-16 e^{-1} G^2 M^2$ 量級)，所以 $U=0$ 或 $V=0$ 處**沒有**曲率發散。→ 視界只是坐標上的“光滑超曲面”。
2. 曲率不變量：Kretschmann scalar
  $$ K = R_{abcd}R^{abcd} = \frac{48 G^2 M^2}{r^6}. $$
  當 $r \to 0$，$K \to \infty$；因此 $r=0$ 為真正幾何奇點，無法把度規解析延拓穿過這一集合。
3. 任何通向 $r=0$ 的時間樣或 null 測地線其仿射參數 (affine parameter) 有限值即到達終點（可查測地線方程或使用粒子自由落體固有時間的積分收斂性），顯示這是**不完備**的結束點，但其曲率發散使得“填點”不會給出解析延拓 (因為要保持 Riemann 張量各分量有限並解析)。
4. 是否還有其它可疑邊界？$|U|,|V| \to \infty$ 對應 $r\to \infty$ 或 $t\to \pm\infty$。這些在共形壓縮後映為 Penrose 圖的無窮邊界 ($\mathcal{I}^\pm, i^0, i^\pm$)，那裡曲率趨近 0（平坦化），不需要 “再加內部點” ；它們代表非緊邊界，屬於 *理想 (conformal) boundary* 而非解析可延拓的有限點。
5. 假設仍可加入某點 $p$ 使得從時空內部的測地線可到達 $p$ 而曲率有限。唯一候選是視界上的“端點”或 $UV$ 平面無限遠。前者已在 Kruskal 座標中完好包含；後者對應 $r\to\infty$ 並非有限距離內可達的內點（距離無窮）。
6. Lambert W 觀點：$r = 2GM [1+W((-UV)/e)]$. 只要 $-UV > -1$（即 $(-UV)/e > -1/e$），$W$ 主分支解析；極限 $(-UV)/e \to -1/e$ 給 $W\to -1$ ⇒ $r\to 0$，函數在該點本身仍趨向有限但其導出的曲率發散，不可延拓穿過該臨界值。若試圖讓 $-UV < -1$ 則 $W$ 不再為實，意味著該區域不屬於原實 Lorentz 幾何。
7. 綜上：所有非真奇點邊界已包含；真奇點無法解析延拓 → Kruskal 為 Schwarzschild 的最大解析延拓。

補充：自由落體從視界到奇點的有限固有時間  
為強化“仿射/固有時間不完備”觀念，考慮一個從視界 $r=2GM$（或任意稍外 $2GM+\varepsilon$ 下落並穿越）自由落體粒子。取能量參數 $E=1$（自靜止無窮遠落下的粒子）。徑向時間樣測地線滿足（標準教材結果）：
$$ \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = E^2 - \left(1-\frac{2GM}{r}\right) = \frac{2GM}{r}. $$
令 $E=1$，向內落下取負號：$dr/d\tau = -\sqrt{2GM/r}$. 分離變數：
$$ d\tau = - \sqrt{\frac{r}{2GM}}\, dr. $$
從視界（近似當作初始點）積分到奇點：
$$ \Delta \tau = \int_{r=2GM}^{0} - \sqrt{\frac{r}{2GM}}\, dr = \int_{0}^{2GM} \sqrt{\frac{r}{2GM}}\, dr = \sqrt{\frac{1}{2GM}} \int_{0}^{2GM} r^{1/2} dr. $$
計算：$\int_0^{2GM} r^{1/2} dr = \tfrac{2}{3} (2GM)^{3/2}$. 故
$$ \Delta \tau = \sqrt{\frac{1}{2GM}} \cdot \frac{2}{3} (2GM)^{3/2} = \frac{2}{3} (2GM) = \frac{4GM}{3}. $$
結果：從穿越視界到達奇點所需固有時間是有限（$\sim GM$ 等級），支持“粒子世界線在有限固有時間終止於曲率奇點” → 仿射不完備。這與外部靜止觀察者坐標時間 $t$ 對於接近視界的無限延遲形成對比。  
關鍵字: **proper time to singularity, finite infall time**

關鍵字: **Kretschmann scalar divergence, affine incompleteness, analytic extension, Lambert W domain, Kruskal regions, event horizon**

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## 作業提交建議 (Assignment Checklist)
若要把 Worked Example 與 Problems 當作作業上交，建議至少包含：
1. 明確寫出 Schwarzschild 徑向 null 方程並展示 $dt = \pm dr_*$.  
2. $r_*$ 積分完整步驟（已補在 Step 1）。  
3. 從 $u,v$ 到 $U,V$ 的微分關係與 $du\,dv$ → $dU dV$ 替換。  
4. 顯示 $-UV = (r/2GM -1) e^{r/(2GM)}$ 並檢查 $f'(r)>0$。  
5. 視界正則性：計算 $A(r)$ 在 $r\to 2GM$ 的極限。  
6. Lambert W 顯式反解與分支說明（可畫簡單 $W(z)$ 在 $(-1/e,0)$ 的兩支示意）。  
7. Kruskal 圖：標 I–IV、視界、等 $r$ 曲線方向、奇點形狀、至少一條 timelike & 一條 null 軌跡。  
8. 最大解析延拓論證：列出 (i) 視界解析 (ii) $r=0$ 曲率發散 (iii) 無其它可加解析點。  
9. Penrose 圖（可選加分）：寫出共形壓縮轉換示例。  
10. 清楚標注關鍵字與定義，避免只給結論不給中間步驟。  

常見失分點：漏寫 $r_*$ 積分常數處理；未證 $f'(r)>0$；忽略視界係數極限；Lambert W 分支未提；把奇點畫成 45° 線（應為時間樣邊界）。

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## 快速總結 (Quick Summary)
1. 目的：用良好坐標穿越 Schwarzschild 視界，並看全域因果結構。  
2. 核心三步：$r \to r_* \to (u,v) \to (U,V)$.  
3. 關鍵判據：視界處曲率不變量有限 → 坐標奇點；$r=0$ 曲率發散 → 真奇點。  
4. Kruskal 優點：度規在視界解析，光線仍 45°，區域 I–IV 一次看清。  
5. 反解 $r(UV)$ 用 Lambert W；單調性確保一一對應。  
6. 視界是 null 超曲面：$U=0$ 或 $V=0$ 的法向為 null。  
7. 自由落體有限固有時間到奇點，顯示時空在那裡仿射不完備。  
8. Penrose 圖再做共形壓縮 → 全域因果與無窮點分類。  

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## 常見錯誤與避免策略 (Common Pitfalls)
| 錯誤 | 為何錯 | 避免方法 |
|------|--------|-----------|
| 把 $r=2GM$ 當曲率奇點 | 忽略 $K$ 有限 | 顯示 $K|_{2GM}=3/(4 G^4 M^4)$ |
| 忘記 $r_*$ 積分細節 | 只寫結論 | 寫出拆分 $r/(r-2GM)$ 並積分 |
| 未證 $f'(r)>0$ 就聲稱可反解 | 缺嚴謹 | 明算 $f'(r)= r e^{r/(2GM)}/(2GM)^2>0$ |
| 漏掉 Lambert W 分支解釋 | 評閱者質疑完整性 | 註明主分支 $W_0$ 覆蓋所需區域 |
| 奇點畫成 45° | 誤判型態 | 強調 $r=0$ 為時間樣邊界 | 
| 混淆 -16 與 -32 係數 | 坐標重標度未說明 | 附註可縮放 $U,V$ 常數 |
| 視界稱為“空間樣” | 法向分析缺失 | 指出 $g^{UU}=0$ ⇒ $U=0$ 為 null |
| 聲稱落下需無限固有時間 | 混用坐標時間 | 計算 $\Delta\tau=4GM/3$ 例子 |

檢查表：提交前逐項核對 Assignment Checklist + 上表，基本可避免扣分。

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## 關鍵字索引 (Keyword Index)
下列匯總在文中首次強調的術語，便於檢索：

| 關鍵字 | 中文提示 | 核心意義 | 出現位置 |
|--------|----------|----------|----------|
| Schwarzschild metric | 史瓦西度規 | 靜止球對稱真空解 | Roadmap §1 |
| coordinate singularity | 坐標奇點 | 由壞坐標引入的假發散 | 目標1 / Roadmap |
| Kretschmann scalar | 克雷奇曼不變量 | 判斷真/假奇點的曲率不變量 | Roadmap §2 |
| tortoise coordinate | 烏龜座標 $r_*$ | 拉伸接近視界區域 | Roadmap §3 |
| null coordinates (u,v) | null 坐標 | 使光線方程簡化 | Roadmap §4 |
| Eddington–Finkelstein | EF 坐標 | 單向穿越視界的正則坐標 | Roadmap §4 |
| Kruskal–Szekeres | Kruskal 坐標 | 全域解析延拓 | Roadmap §5 |
| event horizon | 事件視界 | 分隔可逃離/不可逃離區域 | Problems (2.2) |
| Penrose diagram | Penrose 圖 | 壓縮後的因果結構示意 | Roadmap §8 |
| conformal compactification | 共形壓縮 | 把無限映到有限範圍 | Roadmap §8 |
| null geodesic | 光線測地線 | $ds^2=0$ 路徑 | Worked Example |
| maximal analytic extension | 最大解析延拓 | 不能再正則擴張解 | Problems (2.3) |
| curvature singularity | 曲率奇點 | 曲率不變量發散處 | Problems (2.3) |
| Lambert W | Lambert W 函數 | 反解隱式 $r(UV)$ | Problem (2.1) 解 |
| affine incompleteness | 仿射不完備 | 測地線有限參數終止於奇點 | Problem (2.3) |

（可依需要自行添加更多詞條。）

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## 延伸閱讀與後續學習
1. 標準教材章節：
	* S. Carroll, Spacetime and Geometry, Ch. 5 (Schwarzschild & Kruskal)  
	* Wald, General Relativity, §6.2 (Extension)  
	* Hartle, Gravity, Ch. 10–12 (更平易近人)  
2. 練習：
	* 嘗試推導 Reissner–Nordström 度規的 Kruskal-like 坐標（更複雜因多重視界）。
	* 將 Penrose 圖與 FRW 宇宙或 de Sitter 時空對照。  
3. 下一步概念：**causal structure classification, trapped surfaces, singularity theorems (Penrose–Hawking)**。
4. 計算工具：若想實作數值繪圖，可用 Python sympy 解隱式 $UV=f(r)$，再畫等 $r$ 曲線。  

關鍵字: **trapped surface, singularity theorem, Reissner–Nordström, de Sitter**

