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title: 光電效應書面

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# 光電效應書面

## 摘要（非投影片）
以汞燈與五種濾光片（365/405/436/546/577 nm）在光電管上量測截止電壓 Us，繪製 Us–f 圖並線性擬合以求普朗克常數。得到

- 斜率 m = 3.9788 × 10⁻¹⁵ V·s（即 h/e）
- 截距 c = −1.4742 V
- 普朗克常數 h_exp = 6.374 × 10⁻³⁴ J·s，較公認值 6.626 × 10⁻³⁴ J·s 的百分誤差 ≈ 3.80%
- 合量能階 A + eφ = 1.4742 eV；閾頻 f₀ ≈ 3.71 × 10¹⁴ Hz（λ₀ ≈ 809 nm）

在固定波長 365 nm 下改變光圈，飽和電流隨光強度增大而增大、截止電壓近乎不變，與光量子理論一致。

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### **一、 實驗目的**（投影片 P.3）
1.  透過實驗操作，深入了解光電效應（Photoelectric Effect）的物理現象與其重要特性。
2.  測量不同頻率單色光對應的截止電壓（Stopping Potential），利用實驗數據繪製關係圖，從而計算出普朗克常數（Planck's constant, $h$）的實驗值，並與理論值進行比較。

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### **二、 實驗原理**（投影片 P.4–5）

光電效應是指當光照射在特定物質（通常是金屬）表面時，會使其表面的電子被激發而逸出的現象，這些逸出的電子被稱為光電子。根據愛因斯坦於1905年提出的光量子假說，可以完美解釋此現象：

1.  **光量子化**：光是由不連續的能量粒子「光子」（Photon）所組成，每一光子的能量 $E$ 與其頻率 $f$ 成正比：
    $$ E = hf $$
    其中 $h$ 即為普朗克常數。

2.  **功函數 (Work Function)**：電子束縛在金屬內部，欲使其脫離金屬表面，至少需要給予的能量稱為該金屬的功函數（Work Function），以 $A$ 表示。

3.  **能量守恆**：當能量為 $hf$ 的光子被電子完全吸收後，若能量足以克服功函數，電子便會逸出。逸出的光電子所具有的最大初動能 $K_{max}$ 滿足能量守恆關係式：
    $$ K_{max} = hf - A $$

**截止電壓與接觸電位差**

為了測量光電子的最大動能，我們在光電管的陰極與陽極之間施加一反向電壓 $U$。當此電壓足以使動能最大的光電子恰好無法到達陽極時，光電流會降至零，此時的反向電壓稱為**截止電壓 $U_s$**。此時電場對電子所做的功恰等於電子的最大動能：
$$ eU_s = K_{max} $$
其中 $e$ 為基本電荷 ($1.602 \times 10^{-19}$ C)。

然而，在實際儀器中，光電管的陰極（光子發射極）與陽極（電子收集極）通常由不同材料製成，由於兩者費米能階（Fermi Level）不同，會產生一內建的**接觸電位差（Contact Potential, $\phi$）**。因此，電子實際感受到的總電位差為外部電壓與接觸電位差之和。修正後的能量方程式變為：
$$ eU_s + e\phi = hf - A $$
整理後可得，截止電壓 $U_s$ 與入射光頻率 $f$ 存在以下線性關係：
$$ U_s = \left( \frac{h}{e} \right)f - \left( \frac{A + e\phi}{e} \right) $$
此方程式具有 $y = mx + c$ 的形式，其中：
*   縱軸 ($y$) 為截止電壓 $U_s$
*   橫軸 ($x$) 為光頻率 $f$
*   **斜率 ($m$) 為 $\frac{h}{e}$**
*   Y軸截距 ($c$) 為 $-\frac{A + e\phi}{e}$

因此，只要在實驗中測得一系列不同頻率 $f$ 所對應的截止電壓 $U_s$，並繪製 $U_s-f$ 關係圖，即可透過線性迴歸求得直線斜率 $m$，進而計算出普朗克常數的實驗值：$h_{exp} = m \times e$。

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### **三、 實驗儀器**（投影片 P.6）
1.  高壓汞蒸氣燈箱（含電源供應器）
2.  濾光片組 (中心波長: 365 nm, 405 nm, 436 nm, 546 nm, 577 nm)
3.  可變光圈孔徑組 (2mm, 4mm, 8mm)
4.  光電管實驗儀 (AP-8209，內含光電管、高靈敏度電流計、可調電壓供應器)
5.  基座與遮光罩

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### **四、 實驗步驟**（投影片 P.6）

1.  **儀器架設與預熱**：將汞燈、濾光片、光圈及光電管依序安裝於基座上，並蓋上遮光罩。開啟汞燈電源，預熱約 20 分鐘使其光源輸出穩定。
2.  **電流計歸零**：在完全遮光的情況下，將電流計檔位切換至靈敏檔位，並調整「Current Calibration」旋鈕使讀數為零，以校正暗電流。
3.  **探討光強度影響**：
    a. 選用 365nm 濾光片，並將光圈設為最小的 2mm。
    b. 調整電壓供應器，由 -2V 至 +30V 之間，每隔一定電壓（如 1~2V）記錄一次光電流 $I$。
    c. 依序更換光圈為 4mm 與 8mm，重複步驟 3b。
4.  **探討光頻率影響**：
    a. 固定光圈大小（例如 8mm）。
    b. 依序使用 365nm, 405nm, 436nm, 546nm, 577nm 的濾光片進行實驗。
    c. 對於每種濾光片，仔細調整反向電壓（約 -2V ~ 0V 區間），找到使光電流恰好為零的電壓，此即為該頻率對應的截止電壓 $U_s$，並記錄之。
5.  **數據整理與分析**：
    a. 將測得的波長 $\lambda$ 換算成頻率 $f$ ($f=c/\lambda$)。
    b. 繪製各組 I-V 關係圖。
    c. 繪製 $U_s$ 對 $f$ 的關係圖，並進行線性迴歸分析，求出斜率。
    d. 根據斜率計算普朗克常數 $h$ 的實驗值，並計算百分誤差。

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### 結果速覽（重要數值｜非投影片，供老師快速閱覽）
- 線性關係：$U_s = (3.9788 \times 10^{-15})\,f - 1.4742$（$U_s$：V，$f$：Hz）
- $h_{exp} = 6.374 \times 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$，相對誤差約 3.80%
- 截距對應合量能階：$A + e\phi = 1.4742\,\mathrm{eV}$
- 閾頻/閾波長：$f_0 = -c/m \approx 3.71\times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$，$\lambda_0 \approx 809\,\mathrm{nm}$

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### **五、 實驗數據與結果**（投影片 P.7–10）

#### **5.1 光強度對光電流之影響 (固定波長 $\lambda = 365$ nm，投影片 P.7)**

| 電壓 U (V) | 電流 I (x10⁻¹⁰ A) (Φ=2mm) | 電流 I (x10⁻¹⁰ A) (Φ=4mm) | 電流 I (x10⁻¹⁰ A) (Φ=8mm) |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| -1 | 0 | 1 | 5 |
| 1 | 1 | 7 | 30 |
| 4 | 2 | 15 | 51 |
| 7 | 5 | 24 | 98 |
| 11 | 9 | 46 | 190 |
| 15 | 14 | 57 | 233 |
| 20 | 21 | 74 | 299 |
| 25 | 24 | 78 | 318 |
| 30 | 23 | 85 | 346 |

*(註：此處數據根據您提供的 `365nm I-U(V)(8mm)` 截圖整理而成，電流單位經調整以符合圖表趨勢。)*

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#### **5.2 不同光頻率之 I-V 數據 (固定光圈，投影片 P.8)**

| 電壓 U (V) | I (365nm) | I (405nm) | I (436nm) | I (546nm) | I (577nm) |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| -1 | 13 | 4 | 2 | 1 | 0 |
| 4 | 289 | 107 | 128 | 26 | 17 |
| 9 | 582 | 205 | 228 | 42 | 28 |
| 14 | 774 | 268 | 304 | 53 | 34 |
| 19 | 918 | 310 | 356 | 59 | 38 |
| 24 | 1025 | 342 | 393 | 65 | 41 |
| 29 | 1099 | 365 | 427 | 68 | 44 |

*(註：此處數據根據您提供的 `I-V` 圖表截圖整理而成，電流單位為儀器讀數。)*

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#### **5.3 截止電壓與頻率關係數據**（投影片 P.9–10）

光速 $c = 2.998 \times 10^8 \text{ m/s}$。頻率 $f = c / \lambda$。

| 光譜線 | 波長 $\lambda$ (nm) | 頻率 $f$ ($10^{14}$ Hz) | 截止電壓 $U_s$ (V) |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 紫外 | 365 | 8.214 | -1.818 |
| 紫 | 405 | 7.402 | -1.502 |
| 藍 | 436 | 6.876 | -1.185 |
| 綠 | 546 | 5.491 | -0.717 |
| 黃 | 577 | 5.196 | -0.617 |

*(註：此處數據根據您提供的 `stopping potential` 圖表截圖整理而成。)*

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### **六、 數據分析與討論**（投影片 P.7–11）

#### **6.1 光強度與飽和電流、截止電壓之關係分析（投影片 P.7）**

根據實驗數據 5.1，我們繪製出在固定波長 (365nm) 下，不同光圈孔徑（代表不同光強度）的 I-V 關係圖：

**(請在此處貼上您 Excel 檔案中的「飽和電壓 I-U 圖」)**
*圖一：固定波長 (365nm) 下，三種不同光圈孔徑 (光強度) 的 I-V 曲線圖。*

**分析與討論：**
1.  **飽和電流 (Saturation Current)**：從圖一可以明顯看出，當正向電壓足夠大時，光電流趨於一個穩定的最大值，即飽和電流。光圈孔徑越大（Φ=8mm > 4mm > 2mm），代表單位時間內到達陰極的光子數越多，激發出的光電子也越多，因此飽和電流也越大。此結果驗證了**飽和光電流強度與入射光強度成正比**的理論。
2.  **截止電壓 (Stopping Potential)**：觀察圖一中三條曲線與橫軸的交點（或起始點），可以發現它們的截止電壓幾乎是相同的（約在 -1.8V 附近）。這表明，**光電子的最大初動能僅與入射光的頻率有關，而與其強度無關**。這是傳統電磁波理論無法解釋的，卻是愛因斯坦光量子理論的關鍵證據之一。

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#### **6.2 光頻率與截止電壓之關係分析（投影片 P.8）**

根據實驗數據 5.2，我們繪製出在固定光強度下，不同波長（頻率）光的 I-V 關係圖：

**(請在此處貼上您 Excel 檔案中的「I-V」多色光圖)**
*圖二：固定光強度下，五種不同波長 (頻率) 的 I-V 曲線圖。*

**分析與討論：**
從圖二可以看出，入射光的波長越短（頻率越高），I-V 曲線與橫軸的交點就越往左側偏移，代表其截止電壓的絕對值 $|U_s|$ 越大。例如，365nm (紫外光) 的 $|U_s|$ 明顯大於 577nm (黃光) 的 $|U_s|$。這意味著**入射光頻率越高，其光子能量 $hf$ 越大，從而逸出的光電子最大初動能 $K_{max}$ 也越大**，需要施加更大的反向電壓才能使其停止。此結果完全符合光電方程式 $K_{max} = hf - A$。

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#### **6.3 普朗克常數 (Planck's Constant) 之計算（投影片 P.9–10）**

為了計算普朗克常數，我們將數據 5.3 中的截止電壓 $U_s$ 作為縱軸，對應的光頻率 $f$ 作為橫軸，繪製關係圖並進行線性迴歸分析。

**(請在此處貼上您 Excel 檔案中的「stopping potential」圖)**
*圖三：截止電壓 $U_s$ 對光頻率 $f$ 的關係圖及線性迴歸結果。*

**計算過程：**
1.  **線性迴歸**：根據圖三的數據點，利用最小平方法進行線性擬合，得到的回歸直線方程式為：
    $$ y = (3.9788 \times 10^{-15})x - 1.4742 $$
    對應於物理模型 $U_s = \left( \frac{h}{e} \right)f - \left( \frac{A + e\phi}{e} \right)$，我們可以得到：
    *   **斜率 $m = \frac{h}{e} = 3.9788 \times 10^{-15} \text{ V}\cdot\text{s}$**
    *   **截距 $c = -1.4742 \text{ V}$**

2.  **計算普朗克常數實驗值 ($h_{exp}$)**：
    $$ h_{exp} = m \times e $$
    $$ h_{exp} = (3.9788 \times 10^{-15} \text{ V}\cdot\text{s}) \times (1.602 \times 10^{-19} \text{ C}) $$
    $$ h_{exp} = 6.374 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} $$

3.  **計算百分誤差**：
    普朗克常數的公認理論值為 $h_{theo} = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$。
    $$ \text{百分誤差} = \left| \frac{h_{exp} - h_{theo}}{h_{theo}} \right| \times 100\% $$
    $$ \text{百分誤差} = \left| \frac{6.374 - 6.626}{6.626} \right| \times 100\% \approx 3.80\% $$

本實驗測得的普朗克常數為 $6.374 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$，與理論值的相對誤差為 3.80%，此結果在合理的實驗誤差範圍內。

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#### **6.4 誤差來源探討（投影片 P.11）**

實驗結果的誤差可能來自以下幾個方面：

1.  **系統誤差**：
    *   **濾光片的非單色性**：實驗使用的濾光片並非理想的單頻濾光器，它允許一個中心波長附近的小範圍頻帶通過。由於截止電壓是由該頻帶中能量最高（頻率最高）的光子決定的，而我們計算時採用的是中心頻率，這會導致頻率的系統性低估，進而影響斜率的準確性。
    *   **儀器校準**：電壓計和電流計本身可能存在固有的校準偏差。

2.  **隨機誤差**：
    *   **截止電壓的判讀**：這是本實驗最大的誤差來源。由於存在暗電流、熱電子發射或儀器噪聲，光電流很難完全降至絕對零。觀測者在判斷電流計讀數歸零時存在主觀性和視覺誤差，這會直接影響每個 $U_s$ 數據點的準確性。
    *   **光源不穩定**：高壓汞燈的輸出光強可能隨時間有微小波動，影響電流讀數的穩定性，尤其在測量截止電壓的臨界點時。
    *   **環境雜散光**：如果遮光罩密閉不嚴，實驗室環境中的雜散光可能會進入光電管，形成背景電流，干擾對截止電壓的精確測量。

3.  **其他物理因素**：
    *   **陰極表面狀態**：光電管陰極表面的氧化、污染或不均勻性會影響其功函數，可能導致 I-V 曲線在截止點附近變得不夠陡峭，增加了判讀的困難度。

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#### 6.5 合量能階、閾頻與功函數的關係（投影片 P.9–10 的延伸說明）
由迴歸式 $U_s = mf + c$ 可得：

- 合量能階：$A + e\phi = -e\,c = 1.4742\,\mathrm{eV}$。
- 閾頻（$U_s=0$）：$f_0 = -c/m \approx 3.71\times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$；等效閾波長 $\lambda_0 = c/f_0 \approx 809\,\mathrm{nm}$。

說明：$A$ 為陰極功函數，$\phi$ 為接觸電位差。僅以斜率求 $h$ 時，$\phi$ 不影響結果；若欲求 $A$，需額外獲取 $\phi$ 或透過多種電極組合的截距分離兩者。

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#### **6.6 接觸電位差 (Contact Potential) 的必要性探討（投影片 P.11）**

**結論：** 在本實驗中，為了**完整解釋物理現象**並**正確計算功函數**，考慮接觸電位差是**絕對必要**的。但若**只求普朗克常數**，其影響可以被忽略。

**詳細說明：**
1.  **對物理模型的完整性**：接觸電位差 $\phi$ 是由於陰、陽兩極使用不同金屬，其費米能階不同而產生的內建電場。這是真實存在的物理效應。忽略它會使得我們的物理模型 $eU_s = hf - A$ 不完整，無法解釋為何 $U_s-f$ 圖的截距不直接對應於功函數 $-A/e$。
2.  **對普朗克常數 ($h$) 計算的影響**：
    在我們的線性關係式 $U_s = \left( \frac{h}{e} \right)f - \frac{A + e\phi}{e}$ 中，普朗克常數 $h$ 是由**斜率** $m = h/e$ 決定的。接觸電位差 $\phi$ 和功函數 $A$ 都被包含在**截距項**中。只要在整個實驗過程中，溫度、材料等條件保持穩定，$\phi$ 和 $A$ 就可視為常數。因此，$\phi$ 的存在只是將整條直線向下平移了一個固定的量，**並不會改變直線的斜率**。這就是為什麼即使不考慮 $\phi$，我們依然能透過斜率準確計算出 $h$ 的值。
3.  **對功函數 ($A$) 計算的影響**：
    如果我們想利用 Y 軸截距 $c$ 來計算陰極材料的功函數 $A$，那麼**必須考慮**接觸電位差。由我們的數據可知，截距 $c = -1.4742 \text{ V}$。如果忽略 $\phi$，我們會錯誤地得到 $A = -e \times c = 1.4742 \text{ eV}$。而正確的關係是 $A + e\phi = -e \times c = 1.4742 \text{ eV}$。若無陽極材料的功函數資訊來估算 $\phi$，我們是無法單獨求出陰極功函數 $A$ 的。

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### **七、 結論**（投影片 P.12）

1.  本實驗成功地驗證了光電效應的幾個關鍵特性：
    *   飽和光電流與入射光強度成正比。
    *   光電子的最大動能（由截止電壓反映）與光強度無關，僅隨入射光頻率的增加而線性增加。
    *   存在一個截止頻率，低於此頻率的光無法產生光電效應。
2.  透過繪製截止電壓對頻率的關係圖，我們得到一個良好的線性關係，其斜率證實了 $U_s \propto f$。
3.  由實驗數據計算出的普朗克常數為 $h_{exp} = 6.374 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$，與公認值 $6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$ 的相對誤差為 3.80%。
4.  實驗結果在誤差允許的範圍內與理論預測相符，有力地支持了愛因斯坦的光量子理論。

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### **八、 參考資料**（報告用／非投影片）

1.  [請填寫你的實驗講義來源，例如：國立 XX 大學物理系，近代物理實驗講義]
2.  [請填寫你參考的教科書，例如：Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2018). *Fundamentals of Physics*.]

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## 九、 不確定度與統計（建議）
為使 $h$ 的報告更完整，建議計算迴歸斜率的不確定度，並傳播到 $h$：

1. 使用 Excel 的 LINEST 或趨勢線詳細輸出，取得斜率標準差 $\sigma_m$ 與決定係數 $R^2$。
2. 誤差傳播：$\sigma_h = e\,\sigma_m$，相對不確定度 $\sigma_h/h_{exp} = \sigma_m/m$。
3. 推薦報告格式：$h = (6.37 \pm 0.XX) \times 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$，並附 $R^2$ 與擬合殘差圖。
4. 若暫無 LINEST，亦可用兩點界限法粗估：以高/低頻兩端點的上下誤差條連線求得 $m_{max}, m_{min}$，取 $\Delta m \approx (m_{max}-m_{min})/2$ 作為 $\sigma_m$ 近似。

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## 十、 改進與延伸建議
- 在 $-2\sim 0$ V 區間以更細步距（例如 0.05 V）掃描，並以內插法求 $I=0$ 的 $U_s$。
- 使用狹帶干涉濾光片或單色儀，降低中心頻率偏差造成的系統誤差。
- 每次更換濾光片皆記錄暗電流並扣除背景，並保持遮光完整。
- 若可更換已知功函數的陽極/陰極材料，藉由多組截距分離 $A$ 與 $\phi$。
- 增加頻率取樣點、繪製殘差圖，檢查是否存在非線性或異常點。

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## 附錄 A：計算重現（單位與轉換）
1. 頻率：$f = c/\lambda$；表格若以 nm，請先乘 $10^{-9}$ 轉為米。
2. 斜率單位換算：若橫軸以 $10^{12}$ Hz，圖上顯示的斜率 $m_{plot}$ 單位為 V/(10¹² Hz)；換回 SI 單位時 $m = m_{plot} \times 10^{-12}$ V·s。
3. 普朗克常數：$h = m\,e$。
4. 合量能階：$A + e\phi = -e\,c$；以 eV 表示時，取截距（V）的正值即可。
5. 閾頻/閾波長：$f_0 = -c/m$，$\lambda_0 = c/f_0$。

## 附錄 B：Excel 公式提示（示例）
- 將 A 欄輸入 $\lambda$(nm)，B 欄頻率 $f$(Hz)：`=2.99792458E8/(A2*1E-9)`。
- 插入散佈圖（X=頻率，Y=截止電壓），加入趨勢線並勾選顯示公式與 R²。
- 使用 `LINEST` 取得斜率與其標準差：選取 2×2 區域，輸入 `=LINEST(Y範圍, X範圍, TRUE, TRUE)`。