# 応用物理　提出課題　演習問題4.1

## T4-24　下山　歩

###### tags: `応用物理Ⅲ`

## 解答
### (1) $\psi(x) = \sin x$

$$
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi} \psi^{*} \psi dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \sin x \sin x dx \\
&= \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx \\
&= \int_{-\pi}^{\pi} \cfrac{1 - \cos 2x}{2} dx \\
&= \cfrac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}(1 - \cos 2x)dx \\
&= \cfrac{1}{2} \left[ x - \cfrac{1}{2} \sin 2x \right]_{-\pi}^{\pi} \\
&= \cfrac{1}{2} \left( \pi - 0 - (-\pi - 0) \right) \\
&= \pi
\end{align}
$$

よって、規格化すると
$$
\psi(x) = \cfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin x
$$

### (2) $\psi(x) = e^{inx}$
$$
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi} \psi^{*} \psi dx &= \int_{-\pi}^{\pi} e^{inx} \cdot e^{-inx} dx \\
&= \int_{-\pi}^{\pi} 1\ dx \\
&= \left[ x \right]_{-\pi}^{\pi} \\
&= 2 \pi
\end{align}
$$

よって、規格化すると
$$
\psi(x) = \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{inx}
$$

### (3)
$$
\begin{array}{ll}
\psi(x) = x & (\textrm{for} \hspace{3mm} x \geq 0) \\
\psi(x) = -x & (\textrm{for} \hspace{3mm} x < 0)
\end{array}
$$

$x \geq 0$ の場合でも $x < 0$ の場合でも $\psi^{*}\psi = x^2$ となるので、

$$
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi} \psi^{*} \psi dx &= \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx \\
&= \left[ \cfrac{1}{3} x^3 \right]_{-\pi}^{\pi} \\
&= \cfrac{1}{3}(\pi^3 - (- \pi^3)) \\
&= \cfrac{2 \pi^3}{3}
\end{align}
$$

よって、規格化すると
$$
\psi(x) = \pm \sqrt{ \cfrac{3}{2 \pi^3} } x
$$

### Graph