## 問1
> 離散数列 $s_1 = \{1, -3, 2, 1\},\ s_2 = \{1, -2, 1, 0\}$ について以下の問いに答えよ

### (a) $s_1$ の自己相関関数

:::spoiler 解答
$$
C_{s_1 s_1} = \{1, -1, -7, 15, -7, -1, 1\}
$$
:::

### (b) $s_1$ と $s_2$ の相互相関関数

:::spoiler 解答
$$
C_{s_1 s_2} = \{0, 1, -5, 9, -6, 0, 1\}
$$
:::

### \(c\) $s_1$ と $s_2$ の畳み込み

:::spoiler 解答
$$
s_1 * s_2 = \{1, -5, 9, -6, 0, 1, 0\}
$$
:::

## 問2

> 畳み込み演算は計算機上で実行する際に計算量が膨大となる。
> 畳み込み演算を高速化するための計算手順を説明せよ。

:::spoiler 解答
時間信号の畳み込み結果のスペクトルと各時間信号のスペクトル同士の積が等しくなることを利用して、2つの信号にそれぞれDFTを行い、それらの積に対してIDFTを行うことで畳み込み演算の結果が得られる。
:::

## 問3

> 相関関数の導出は計算機上で実行する際に計算量が膨大となる。
> 相関関数の導出を高速化するための計算手法を説明せよ。
> ただし、関連する定理の名前とその内容について述べること。

:::spoiler 解答
定理：ウィーナー・ヒンチンの定理
内容：ある信号のパワースペクトルと信号の自己相関関数のフーリエ変換が一致する

ある信号のパワースペクトルを求めた後、IDFTを行うことで信号の相関関数を求めることが出来る。
:::

## 問4

> ディジタル信号とアナログ信号の違いについて説明せよ。

:::spoiler 解答
アナログ信号は物質やシステムの状態を長さや角度などの連続的に変化する物理量で示されたものであるのに対し、ディジタル信号はコンピュータ上で扱えないアナログ信号を0と1のみの2進数を用いて離散的に記録し、コンピュータ上で扱えるようにしたもの。
:::

## 問5

> サンプリング周波数 $30\ [\textrm{Hz}]$ の離散時間信号 $x(n) = \{1, -1, -1, 1\}$ について以下の問いに答えよ。

### (a) 先頭の値 $x(0)$ の時刻を $0$ 秒としたとき、最後の値 $x(3)$ の時刻は何秒か答えよ

:::spoiler 解答
$$
\textrm{Time} = \frac{1}{30} \times 3 = 0.1\ [\textrm{s}]
$$
:::

### (b) 複素スペクトルを求めよ

:::spoiler 解答
- 複素フーリエ変換
- $\displaystyle X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j \frac{2 \pi k n}{N}}$
- $N = 4$
- $X(0)$ についての複素フーリエ変換

$$
X(0) = \sum_{n=0}^{3} x(n) \cdot e^{-j \frac{2 \pi \cdot 0 \cdot n}{4}} = \sum_{n=0}^{3} x(n)
$$

$$
X(0) = 1 + (-1) + (-1) + 1 = 0
$$

- $X(1)$ についての複素フーリエ変換

$$
X(1) = \sum_{n=0}^{3} x(n) e^{-j \frac{2 \pi \cdot 1 \cdot n}{4}} = \sum_{n=0}^{3} x(n) e^{-j \frac{n \pi}{2}}
$$

$$
X(1) = 1 + (-1) \cdot (-j) + (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot j = 2 + 2j
$$

- $X(2)$ についての複素フーリエ変換

$$
X(2) = \sum_{n=0}^{3} x(n) e^{-j \frac{2 \pi \cdot 2 \cdot n}{4}} = \sum_{n=0}^{3} x(n) e^{-j n \pi}
$$

$$
X(2) = 1 + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0
$$

- $X(3)$ についての複素フーリエ変換

$$
X(3) = \sum_{n=0}^{3} x(n) e^{-j \frac{2 \pi \cdot 3 \cdot n}{4}} = \sum_{n=0}^{3} x(n) e^{-j \frac{3 n \pi}{2}}
$$

$$
X(3) = 1 + (-1) \cdot j + (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot (-j) = 2 - 2j
$$

したがって、複素スペクトルは $X(k) = \{0,\ 2+2j,\ 0,\ 2-2j\}$
:::

### \(c\) 振幅スペクトルを求めよ

:::spoiler 解答
$$
\begin{align}
|X(k)| &= \sqrt{\textrm{Re}[X(k)]^2 + \textrm{Im}[X(k)]^2} \\
&= \{0,\ 2\sqrt{2},\ 0,\ 2\sqrt{2} \}
\end{align}
$$
:::

### (d) パワースペクトルを求めよ

:::spoiler 解答
$$
|X(k)|^2 = \{0,\, 8,\, 0,\, 8\}
$$
:::

### (e) パワースペクトルをデシベル表記にする過程を述べよ

$$
\begin{align}
[\textrm{dB}] &= 10 \log_{10} |X(k)|^2 \\
&= \{ -\infty,\ 9.03,\ -\infty,\ 9.03\}
\end{align}
$$

## 問6

> 距離センサとAD変換器を有するマイコンを用いて対象物との距離を測定し記録することを考える。
> センサからの距離データは電圧として送信され、AD変換器によってサンプリング周波数 $10\ [\textrm{Hz}]$、量子化ビット数が $32\ [\textrm{bit}]$ で離散化される。
> 離散化された距離データを10分間ファイルに記録したとき、このファイルの容量 $[\textrm{kByte}]$ を計算によって求めよ。
> ただし $1\ [\textrm{Byte}] = 8 [\textrm{bit}]$ とし、ファイルにはセンサの出力結果である数値のみが記録されるものとする。

$$
\begin{align}
\textrm{Total} &= 10\ [\textrm{Hz}] \times 32\ [\textrm{bit}] \times 10\ [\textrm{min}] \times 60\ [\textrm{s}] \\
&= 192000\ [\textrm{bit}] \\
&= 24000\ [\textrm{Byte}] \\
&= 24\ [\textrm{kByte}]
\end{align}
$$

<!--

$$
\begin{align}

\end{align}
$$

-->