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title: 応用物理Ⅲ　提出課題3
tags: [応用物理Ⅲ]

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# 応用物理Ⅲ　提出課題3
## T4-24 下山 歩

###### tags: `応用物理Ⅲ`

## 解答

### (1) $\psi = \cfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin x$

$$
\begin{align}
    \langle x \rangle &= \int_{-\pi}^{\pi} \psi^{*} x \psi\ dx \\
    &= \int_{-\pi}^{\pi} \left( \cfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin x \times x \times \cfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin x \right) dx \\
    &= \cfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin^2 x \ dx
\end{align}
$$

ここで、 $x \sin^2 x$ は奇関数であり、 $-\pi$ から $\pi$ まで積分するので、結果は $0$ となる。

$$
\langle x \rangle = 0
$$

### (2) $\psi = \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{inx}$

$$
\begin{align}
    \langle x \rangle &= \int_{-\pi}^{\pi} \psi^{*} x \psi \ dx \\
    &= \int_{-\pi}^{\pi} \left( \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-inx} \times x \times \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{inx} \right) dx \\
    &= \cfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \ dx
\end{align}
$$

ここで、 $x$ は奇関数であり、 $-\pi$ から $\pi$ まで積分するので、結果は $0$ となる。

$$
\langle x \rangle = 0
$$

### (3) $\psi = \pm \sqrt{\cfrac{3}{2 \pi^3}} x$

$$
\begin{align}
    \langle x \rangle &= \int_{-\pi}^{\pi} \psi^{*} x \psi \ dx \\
    &= \int_{-\pi}^{\pi} \left( \sqrt{\cfrac{3}{2 \pi^3}} x \times x \times \sqrt{\cfrac{3}{2 \pi^3}} x \right) dx \\
    &= \cfrac{3}{2 \pi^3} \int_{-\pi}^{\pi} x^3 \ dx
\end{align}
$$

ここで、 $x^3$ は奇関数であり、 $-\pi$ から $\pi$ まで積分するので、結果は $0$ となる。

$$
\langle x \rangle = 0
$$