# ディジタル信号処理 11/13

## 今日の内容

### 解析（的）信号
- 複素関数論でいう「解析（的）関数」と対応する概念
- 信号における **瞬時振幅** と **瞬時位相** を同時に表現できる
- 音の特性を抽出できる

### 解析信号の作り方
1. 対象とする時間信号 $h(n)$ をフーリエ変換する
2. フーリエ変換した結果 $H(k)$ を片側スペクトル（$\hat{H}(k)$）にする
3. 片側スペクトル $\hat{H}(k)$ を逆フーリエ変換する

### 片側スペクトルに
- 負の周波数がない状態に

$$
\begin{align}
\hat{H}(k) &= H(k) & (k = 0,\ N/2) \\
\hat{H}(k) &= 2H(k) & (0 < k < N/2) \\
\hat{H}(k) &= 0 & (N/2 < k \leq N-1)
\end{align}
$$

### 解析信号の特性
- コーシー・リーマン（Cauchy-Riemann）の関係を満たす関数：解析関数
- その複素関数が正則（微分可能）であるための条件
- 信号処理において $\hat{h}(n)$ を ++解析的信号++ という
- $\hat{h}(n) = \hat{h}_r(n) + j\hat{h}_i(n)$ において $\hat{h}_r(n)$ から $\hat{h}_i(n)$ を求められる（逆も）
- $\hat{h}_r(n) \leftrightarrows \hat{h}_i(n)$ の変換を ==**Hilbert（ヒルベルト）変換**== という

### 振幅変調信号
- 情報を表す変調信号×搬送波
- 変調信号は波形上では包絡線
- 搬送波：高い周波数、変調信号：低い周波数

$$
s(t) = \{ \underbrace{ 1 + m \cdot \cos(2 \pi f_m t) }_{変調信号} \times \underbrace{ A_c \cos(2 \pi f_c t) }_{搬送波} \}
$$

### 包絡線と搬送波

$$
\hat{h}(n) = \hat{h}_r(n) + j\hat{h}_i(n) = | \hat{h}(n) | e^{j \phi(n)}
$$

ここで、$\phi(n)$ は瞬時位相

- ==$\hat{h}(n)$：**Hilbert exvelope、包絡線**==
- ==$\cos(\phi(n))$：**Hilbert carrier、搬送波**==

### まとめ
- 解析的信号
- 時間信号を片側スペクトル＆IDFTで得られる
- ヒルベルト変換によっても得られる
- コーシー・リーマンの関係式を満たす
- 振幅変調の例
- 絶対値から包絡線、瞬時位相から搬送波を得られる
- 包絡線と搬送波で元信号が再構成できる

<!--

$$
\begin{align}
\end{align}
$$

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