数値解析前期中間過去問解答

# 数値解析前期中間過去問解答 ###### tags: `数値解析` ## 解答 ### 問1 数値解析における注意事項として以下の2つの問題について説明しなさい（10） **（ア）** 整数の桁あふれ数値演算を行った結果、該当数値が表現できる数値範囲の最大値を超えてしまうこと。 **（イ）** 桁落ちの問題浮動小数点の演算で、計算結果の有効桁が少なくなることによる誤差で、ほぼ等しい値の減算を行うと起きる。 ### 問2 C言語の `double` 型はビット列を3つの部分に分けて構成されている。先頭ビットから順に3つの部分の名前を示し、有限ビット数で情報表現が行われる問題点について簡単に示しなさい。（10） - 符号部 - 指数部 - 仮数部有限ビット数で情報表現をする上で、仮数部が有限ビット数なので、精度の制約があり、表現可能な範囲を超えると桁あふれを起こす可能性がある。 ### 問3 次の計算式は $|y| \ll |x|$ の時に桁落ちが発生する。桁落ちを防ぐための変形を行いなさい。（10） $$ \begin{align} \sqrt{x + y} - \sqrt{x} &= \frac{(\sqrt{x + y} - \sqrt{x})(\sqrt{x + y} + \sqrt{x})}{\sqrt{x + y} + \sqrt{x}} \\ &= \frac{x + y + \sqrt{x(x + y)} - \sqrt{x(x + y)} - x}{\sqrt{x + y} + \sqrt{x}} \\ &= \frac{y}{\sqrt{x + y} + \sqrt{x}} \end{align} $$ ### 問4 次の連立一次方程式をガウスの消去法で解きなさい。（20） $$ \left\{ \begin{array}{rrrcl} 2x_1 &+ 4x_2 &+ 6x_3 &= & 28 \\ x_1 &- x_2 &+ 5x_3 &= & 7 \\ 4x_1 &+x_2 &-2x_3 &= & 21 \end{array} \right. $$ $$ \begin{align} \left( \left. \begin{array}{ccc} 2 & 4 & 6 \\ 1 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & -2 \end{array} \ \right|\ \begin{array}{c} 28 \\ 7 \\ 21 \end{array} \right) &\rightarrow \left( \left. \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ 4 & 1 & -2 \end{array} \ \right|\ \begin{array}{c} 7 \\ 28 \\ 21 \end{array} \right) \\ &\rightarrow \left( \left. \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 5 \\ 0 & 6 & -4 \\ 0 & 5 & -22 \end{array} \ \right|\ \begin{array}{c} 7 \\ 14 \\ -7 \end{array} \right) \\ &\rightarrow \left( \left. \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 18 \\ 0 & 5 & -22 \end{array} \ \right|\ \begin{array}{c} 7 \\ 21 \\ -7 \end{array} \right) \\ &\rightarrow \left( \left. \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 18 \\ 0 & 0 & -112 \end{array} \ \right|\ \begin{array}{c} 7 \\ 21 \\ -112 \end{array} \right) \\ &\rightarrow \left( \left. \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 18 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \ \right|\ \begin{array}{c} 7 \\ 21 \\ 1 \end{array} \right) \end{align} $$ 以上より $x_3$ は $$ x_3 = 1 $$ 次に $x_2$ を求めると $$ x_2 + 18 \cdot 1 = 21 \\ \therefore\ x_2 = 3 $$ 次に $x_1$ を求めると $$ x_1 + (-1) \cdot 3 + 5 \cdot 1 = 7 \\ \therefore\ x_1 = 5 $$ 以上より $x_1 = 5,\ x_2 = 3,\ x_3 = 1$ ### 問5 連立一次方程式をガウスの消去法で解けない場合の例を1つ示しなさい。 $$ \begin{align} \left\{ \begin{array}{rrcl} x_1 + 2 x_2 = 10 \\ 2 x_1 + 4 x_2 = 19 \end{array} \right. \end{align} $$ この連立一次方程式にガウスの消去法を適用すると、最終的に $$ 0 x_1 + 0 x_2 = 1 $$ という矛盾した式が現れるので、ガウスの消去法を用いて解くことは不可能である。 ### 問6 次の行列の固有値を求めなさい。 $$ A = \left[ \begin{array}{ccc} 5 & 4 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 7 \end{array} \right] $$ $|A - \lambda I$ を計算すると $$ \begin{align} |A - \lambda I| &= \left| \begin{array}{ccc} 5 - \lambda & 4 & 1 \\ 4 & 5 - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 7 - \lambda \end{array} \right| \\ &= (5 - \lambda)(5 - \lambda)(7 - \lambda) + 4 + 4 - (5 - \lambda) - (5 - \lambda) -16 (7 - \lambda) \\ &= -\lambda^3 +17 \lambda^2 -77 \lambda +61 \end{align} $$ $-\lambda^3 +17 \lambda^2 -77 \lambda +61 = 0$ を解くと $$ \lambda_1 = 1,\ \lambda_2 = 8 + \sqrt{3},\ \lambda_3 = 8 - \sqrt{3} $$ したがって固有値は $1,\ 8 \pm \sqrt{3}$ の3つになる。 ### 問7 得られた実験データ $x_i\ (i = 1, 2, 3, \cdots, n)$ について平均値と標準偏差と平均値の標準偏差を求める式を示しなさい。（10） #### 平均 $\bar{x}$ $$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$ #### 標準偏差 $\sigma_x$ $$ \sigma_x = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 } $$ #### 平均値の標準偏差 $\sigma_{\bar{x}}$ $$ \sigma_{\bar{x}} = \sqrt{ \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 } $$ ### 問8 実験データ $(x_i, y_i), i = (1, 2, 3, \cdots, n)$ が関数 $y = f(x)$ で近似的に表されるとする。 **（ア）** この時に実験データを関数に近似する方法としての最小二乗法について簡単に説明しなさい。（10）推定する回帰直線に対し、差の2乗和が最も小さくするようにする手法。 **（イ）** 和を $S$、直線を $y = ax + b$ と定めると $$ \begin{align} S &= \sum_{i=1}^n \{ y_i - (ax + b) \}^2 \\ &= \sum_{i=1}^n (y_i^2 -a x_i y_i -b y_i -a x_i y_i +a^2 x_i^2 +ab x_i -b y_i +ab x_i + b^2) \\ &= \sum_{i=1}^n (a^2 x_i^2 + y_i^2 + b^2 +2ab x_i -2b y_i -2a x_i y_i) \end{align} $$ 残差平方和を最小にする係数を求めるには、それぞれの係数 $a, b$ で偏微分すれば良いので、 $$ \frac{\partial S}{\partial a} = -2 \sum_{i=1}^n x_i \{ y_i - (ax_i + b) \} = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial b} = -2 \sum_{i=1}^n \{ y_i - (ax_i + b) \} = 0 $$ 以上より以下の連立方程式を得られる。 $$ a \sum_{i=1}^n x_i + nb = \sum_{i=1}^n y_i \\ a \sum_{i=1}^n x_i^2 + b \sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n x_i y_i $$ $$ \begin{align} \left[ \begin{array}{cc} \sum_{i=1}^n x_i & n \\ \sum_{i=1}^n x_i^2 & \sum_{i=1}^nx_i \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \sum_{i=1}^n y_i \\ \sum_{i=1}^n x_i y_i \end{array} \right] \\ \left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right] = \cfrac{1}{ \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2 - n \sum_{i=1}^n x_i} \left[ \begin{array}{cc} \sum_{i=1}^n x_i & -n \\ - \sum_{i=1}^n x_i^2 & \sum_{i=1}^n x_i \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \sum_{i=1}^n y_i \\ \sum_{i=1}^n x_i y_i \end{array} \right] \end{align} $$ 以上より $a,\ b$ は $$ a = \cfrac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \cdot \sum_{i=1}^n y_i - n \sum_{i=1}^n x_i y_i }{ \displaystyle \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2 - n \sum_{i=1}^n x_i } \\ b = \cfrac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \cdot \sum_{i=1}^n x_i y_i - \sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot \sum_{i=1}^n y_i }{ \displaystyle \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2 - n \sum_{i=1}^n x_i } $$