# 制御工学　1/19　第12回

###### tags: `制御工学Ⅰ`

## 今日の内容「システムの応答特性」

### 過渡特性・定常特性
応答 $y(t)$ はすぐに一定値になることなく、振動しながら収束

#### ==定常特性==
- システムの応答 $y(t)$ が十分時間が経過した後に一定値付近に収束するか否か
- 収束時にはどんな値に収束するか、システムに備わる特性

#### ==過渡特性==
- システムの初期値 $y(0)$ から定常地に至る過程の波形のシステム特性

#### ==定常値 $y_{\infty}$==
- $t \rightarrow \infty$ での $y(t)$ の極限値で与えられる
- ステップ入力に対する応答 $y(t)$ が最終的に収束する値
- 一般的に $1$ とはならない
- 発散することもある

#### ==立ち上がり時間 $t_r$==
- システムの**速応性**を評価する指標
- 応答 $y(t)$ は定常値$y_{\infty}$ の $10\%$ から $90\%$ に達するまでの時間
- $t_r$ は応答 $y(t)$ が初期値 $0$ から定常値 $y_{\infty}$ に向かう傾きを与える

#### ==遅れ時間 $t_d$==
- 応答 $y(t)$ が初期値 $0$ から定常値 $y_{\infty}$ の $50\%$ に達するまでの時間（立ち上がり時間とほぼ同義）

#### ==オーバーシュート（行き過ぎ量） $O_s$==
- **システムの減衰量**（入力の変化に対応して発生する振動現象の収束度合い）を評価する指標
- 応答 $y(t)$ の最大値 $y_{max}$ と定常値 $y_{\infty}$ の差を鳥、低上地との百分率で表したもの

$$
O_s = \cfrac{y_{max} - y_{\infty}}{y_{\infty}} \times 100 \ [\%]
$$

- $y(t) = y_{max}$ となる時間 $t_p$ を行き過ぎ時間という
- オーバーシュートが大きいと応答 $y(t)$ が定常値 $y_{\infty}$ に収束するまでに時間を要する

#### ==整定時間 $t_s$==
- ++速応性と減衰性に関連した指標++
- 応答 $y(t)$ が定常値 $y_{\infty}$ の $\pm5\%$ 以内に収まり、その後区間からはみ出さなくなる時間

### 1次遅れ系の応答

#### 1次遅れ系のインパルス・ステップ応答

:::success
:memo: **伝達関数を用いた応答の計算手順**

1. ラプラス変換表から、入力信号 $U(s) = \mathcal{L}[u(t)]$ を求め、出力信号 $Y(s)$ を伝達関数 $G(s)$ と入力信号の $U(s)$ 積 $Y(s) = G(s)U(s)$ で表す
2. $y(t) = \mathcal{L}^{-1}[G(s)U(s)]$ を求める
:::

$$
\begin{array}{ll}
G(s) = \cfrac{b}{s+a} = \cfrac{K}{Ts + 1}, & \left( T = \cfrac{1}{a} > 0, K = \cfrac{b}{a} > 0 \right)
\end{array}
$$

インパルス応答は
$$
\begin{align}
y(t) &= \mathcal{L}^{-1} \left[ G(s) \times 1 \right] \\
&= \mathcal{L}^{-1} \left[ \cfrac{K}{Ts + 1} \right] \\
&= \mathcal{L}^{-1} \left[ \cfrac{ \frac{K}{T} }{ s + \frac{1}{T} } \right] \\
&= \cfrac{K}{T} e^{-\frac{1}{T} t}
\end{align}
$$

- 初期値は $y(0) = \cfrac{K}{T}$ となる。
- $T > 0$ なので $t \rightarrow \infty$ で $y(t) \rightarrow 0$

### RL回路のインパルス特性
RL回路のシステム特性は1次遅れ系なので入力を $v_{in}$ 、出力を $i(t)$ とした際の伝達関数は
$$
G(s) = \cfrac{1}{Ls + R}
$$

これと1次遅れ系の伝達関数の一般系を比較すると
$$
\begin{array}{ll}
T = \cfrac{L}{R}, & K = \cfrac{1}{R}
\end{array}
$$

## 課題
$$
J_c \cfrac{d \omega(t)}{dt} + B \omega(t) = \tau(t)
$$

最初に両辺をラプラス変換する。
$$
\begin{align}
\mathcal{L} \left[ J_c \cfrac{d \omega(t)}{dt} + B \omega(t) \right] &= \mathcal{L} \left[ \tau(t) \right] \\
J_c s \omega(s) + B \omega(s) &= \tau(s) \\
\left( J_c s + B \right) \omega(s) &= \tau(s)
\end{align}
$$

よってこうなる
$$
\therefore \omega(s) = \cfrac{1}{J_c s + B} \tau(s)
$$

伝達関数は $G(s) = \cfrac{1}{J_c s + B}$ となる

最後に両辺を逆ラプラス変換すると
$$
\begin{align}
\omega(t) &= \mathcal{L}^{-1} \left[ \omega(s) \right] \\
&= \mathcal{L}^{-1} \left[ \cfrac{1}{J_c s + B} \tau(s) \right] \\
&= \mathcal{L}^{-1} \left[ \cfrac{ \frac{1}{J_c} }{ s + \frac{B}{J_c} } \tau(s) \right] \\
&= \cfrac{1}{J_c} e^{-\frac{B}{J_c} t} \tau(t)
\end{align}
$$