# ディジタル信号処理 9/25

## 第？回

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### これまでの復習1

- ディジタル信号とは
- ディジタル・・・離散的
- 音など：時間軸に対する離散化（標本化）、振幅に対する離散化（量子化）
- 標本化定理：ディジタル信号から元の連続信号を復元する条件
- 畳み込み、LTIシステム
- 畳み込み和：$\displaystyle \sum_{n = -\infty}^{\infty} f(m) g(n - m) = f * g$
- ある信号をLTIシステムに入力したときの出力は、システムのインパルス応答と入力信号のたたみ込み
- 時間領域におけるたたみ込みは、周波数領域における乗算と対応
- （離散）フーリエ変換 $\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j \frac{2 \pi kn}{N}}$
- 時間信号を周波数ごとの情報（振幅、位相）に変換
- 逆の操作となる逆フーリエ変換がある

### これまでの復習2
- 離散フーリエ変換
- スペクトル、振幅スペクトル、位相スペクトル、パワースペクトル
- ウィーナー・ヒンチンの定理
- 自己相関関数のフーリエ変換の結果とパワースペクトルが一致
- 音声信号処理
- ケプストラム
- ソースフィルタモデルに基づいた分析方法
- 対数振幅スペクトルを逆フーリエ変換することで得られる
- 低次成分がスペクトルの包絡線、高次成分がスペクトルの微細構造と対応

### スペクトル再考
- フーリエ変換・・・周波数の異なる三角関数の重ね合わせで表現
- 時間信号
- $1\ [\textrm{Hz}]$ の $\cos$
- 長さ $1$ 秒、サンプリング周波数 $32\ [\textrm{Hz}]$
- データの点数は $32$
- DFT
- 時間信号をそのまま32点のDFT
- $N = 32$
- $0\ [\textrm{Hz}]$ を中心に $1\ [\textrm{Hz}]$（$-1\ [\textrm{Hz}]$）のところにピーク
- ピークの振幅は・・・

### スペクトル振幅値が・・・

- 振幅 $1$ の $1\ [\textrm{Hz}]$ の制限はをフーリエ変換したら、$1\ [\textrm{Hz}]$ の振幅が $16$ である！

### スペクトル振幅値
- 概念的な説明
- 時間信号では $1$ のエネルギー
- フーリエ変換を経て性の周波数成分、負の周波数成分で分けられるため、スペクトルの振幅値は本来 $1/2$ になるはず（じかし結果は $16$ であった）

### スペクトルの振幅値の補正
- 政府あわせると $32$（つまり元の信号の32倍）
- $32$・・・DFT点数（$N$）と等しい
- もし正の周波数

### スペクトル振幅の表し方
- そもそもスペクトルの振幅の”値”が重要でない場合が多くある
- **周波数ごとの相対的な大きさ**（周波数構造）が重要
- トレンド、ピーク、ノッチ、倍音など
- 総体レベル（dB）で表す（最大値や $N/2$ を基準とする）
- 振幅値がいくつであろうと総体レベルは変わらない

### 周波数分解能
- 周波数分解能は サンプリング周波数 / DFT点数 で求められる
- 例1：サンプリング周波数 $8000\ [\textrm{Hz}]$ の信号を128点DFTした場合は $62.5\ [\textrm{Hz}]$

### スペクトルの横軸
- 周波数に対応
- 離散フーリエ変換の結果としては周波数の番号 $k$ が相当
- $N/2$ を基準に対称
- $k = N/2$ を境に負の周波数
- 周波数分解能
- 周波数番号間の周波数の幅
- $f_s / N$ で表される
- $N$：DFT点数、$f_s$：サンプリング周波数
- 周波数番号は一般的に周波数ビンと呼ばれる

### 課題
- 音声ファイル `bird_female.wav` の 5000 sample を始点とした256点のデータを対象とする
- 対象とする信号の相対パワースペクトルを表示せよ
- ただし、総体パワーの基準値は振幅スペクトルの最大値とし、横軸は単調増加する周波数の形で表すこと
- hint
- $\displaystyle 20 \log_{10} \frac{|X|}{\max |X|}$ または $\displaystyle 10 \log_{10} \frac{|X|^2}{\max |X|^2}$