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title: ディジタル信号処理 5/12
tags: [ディジタル信号処理]

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# ディジタル信号処理 5/12

###### tags: `ディジタル信号処理`

## 前回の復習

### 線形時不変システム

### インパルス応答
- 畳み込みとの関係

$$
y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t_1) h(t - t_1)\ dt_1 = x(t) * h(t)
$$

:::info
:memo: **線形時不変システムの入出力とインパルス応答の関係**

$$
y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t_1)h(t-t_1)\ dt_1
$$
:::

## 概要

### フーリエ変換

- ある関数（信号）を三角関数の和で表し、周波数の情報を取り出す
	- フーリエ級数展開を元に非周期関数に対して対応させたもの

- 実数値関数（**時間**領域） → 複素関数（**周波数**領域）
- $x(t) \rightarrow X(f)$

### テイラー展開
- $f(x)$ （無限回微分できる）の $x = x_0$ におけるテイラー展開

$$
f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + \cdots + a_n(x - x_0)^n + \cdots
$$

- $f(x)$ という関数を $(x-x_0)$ のべき級数で表している

- 係数 $a_n$ を求めると $f(x)$ のテイラー展開が求まる
	- 係数の求め方： $f(x)$ を次々と微分して $x - x_0$ を代入
	- $a_n = \cfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$

$$
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n + \cdots
$$

### 関数から情報を抽出する
- ex: 一次の項で打ち切ったテイラー展開 $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
	- $f'(x_0) \neq 0$ であれば $x_0$ の近くで $f(x)$ を近似出来る
- テイラー展開（++べき級数++）により++関数の局所的な形++を取り出すことが出来る
- フーリエ級数展開は++三角関数++によって++周波数の情報++を取り出す

### 三角関数の和
- 周期 $T (>0)$ の信号 $x(t)$ を三角関数の和で表す

$$
x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt)
$$

- $f_0$ ： 基本周波数 $[\textrm{Hz}]$
- $\omega_0 = 2\pi f_0$ ： 基本各周波数 $\textrm{[rad/s]}$
	- 1秒間に $f_0 n$ 回振動、周期が $\cfrac{1}{f_0 n}$

- $x(t) = x(t + T)$
	- $\left[ - \cfrac{T}{2}, \cfrac{T}{2} \right)$ で与えられた関数として扱える

### 三角関数の和の係数
$$
x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt)
$$

の係数 $a_n,\ b_n$

- これらが求まれば $x(t)$ を三角関数の和で表せることになる

- とりあえず両辺を $-\cfrac{T}{2} \rightarrow \cfrac{T}{2}$ で積分する

$$
\begin{align}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)\ dt &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt) \right)\ dt \\\\
&= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{a_0}{2}\ dt + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt) \right)\ dt \\\\
&= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{a_0}{2}\ dt + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt)\ dt \right) \\\\
&= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{a_0}{2}\ dt + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_n \cos 2 \pi f_0 nt + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b_n \sin 2 \pi f_0 nt \right)\ dt \\\\
&= \frac{a_0}{2}T + \sum_{n=1}^{\infty} (0 + 0) \\
&= \frac{a_0}{2}T
\end{align}
$$

したがって

$$
a_0 = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)\ dt
$$

### 三角関数の和の係数 (cont'd)
- 両辺に $\cos 2\pi f_0 kt$ をかけて（$k$ は自然数）、 $-\cfrac{T}{2} \rightarrow \cfrac{T}{2}$ で積分

#### No.1

$$
\begin{align}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos 2 \pi f_0 kt\ dt &= \left[ \frac{1}{2\pi f_0 k} \sin 2\pi f_0 kt \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \\
&= \frac{1}{2 \pi f_0 k}\left\{ \sin \left( 2 \pi f_0 k \cdot \frac{T}{2} \right) - \sin \left( 2 \pi f_0 k \cdot \frac{-T}{2} \right) \right\} \\
&= \frac{1}{2 \pi f_0 k} \cdot ( 2 \sin \pi f_0 kT ) \\
&= 
\end{align}
$$

### 課題

:::success
:memo: **フーリエ級数を求める過程**

$$
x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt)
$$

の両辺に $\sin 2 \pi f_0 kt$ を掛けて（$k$ は自然数）$-\cfrac{T}{2}$ から $\cfrac{T}{2}$ の範囲で積分し、
$b_n$ を得るまでの計算過程を自分で解いてみる！
:::

### 解法

$\sin 2 \pi f_0 kt$ というのが少々長いので $S(t)$ という風に置換する。
 
$$
\begin{align}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \cdot S(t)\ dt &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt) \right) \cdot S(t)\ dt \\\\
&= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( \frac{a_0}{2} S(t) + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt\ S(t) + b_n \sin 2 \pi f_0 nt\ S(t)) \right) \\\\
&= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{a_0}{2} S(t)\ dt + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_n \cos 2 \pi f_0 nt\ S(t) + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b_n \sin 2 \pi f_0 nt\ S(t)\ dt \right)
\end{align}
$$

ここで、積分を3つの部分に分けた。

**1.** <span style="color: #8f3432;">$\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{a_0}{2} S(t)\ dt$</span>

**2.** <span style="color: #4a8748;">$\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_n \cos 2 \pi f_0 nt\ S(t)\ dt$</span>

**3.** <span style="color: #145866;">$\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b_n \cos 2 \pi f_0 nt\ S(t)\ dt$</span>

<span style="background-color: #8f343280;">まず **1.** の項について計算する。</span>

$$
\begin{align}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{a_0}{2} \sin 2 \pi f_0 kt\ dt &= \frac{a_0}{2} \left[ -\frac{1}{2 \pi f_0 k}\cos 2 \pi f_0 kt \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \\
&= - \frac{a_0}{4 \pi f_0 k}(\cos \pi f_0 k T - \cos (-\pi f_0 k T)) \\
&= 0
\end{align}
$$

<span style="background-color: #4a874880;">次に **2.** の項について計算する。</span>

$$
\begin{align}
\cos 2 \pi f_0 nt \cdot \sin 2 \pi f_0 kt &= \frac{1}{2} \left\{ \sin(2 \pi f_0 nt + 2 \pi f_0 kt) - \sin (2 \pi f_0 nt - 2 \pi f_0 kt) \right\} \\
&= \frac{1}{2} \left\{ \sin 2 \pi f_0 (n + k)t - \sin 2 \pi f_0 (n - k)t \right\}
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_n \cos 2 \pi f_0 nt\ S(t)\ dt &= \frac{a_n}{2} \left\{ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin 2 \pi f_0 (n + k) t\ dt + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sin 2 \pi f_0 (n-k) t\ dt\right\} \\
&= \frac{a_0}{2}(0 + 0) \\
&= 0
\end{align}
$$

奇関数なので $-a \rightarrow a$ で積分すれば $0$ になる。

<span style="background-color: #14586680;">次に **3.** の項について計算する。</span>

ここで、
$$
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin 2 \pi f_0 nt \cdot \sin 2 \pi f_0 kt\ dt = \left\{ 
\begin{array}{cc}
\cfrac{1}{2} \left( T - \cfrac{\sin 2 \pi n}{2 \pi f_0 n } \right) & (n = k) \\
0 & (n \neq k)
\end{array}
\right.
$$

という重要な公式を利用する。
これはつまり、 $n = 1, 2, 3, \cdots$ のとき、この積分結果は常に $\cfrac{T}{2}$ になることを表している。

最終的な答えは以下の通り。

$$
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \cdot S(t)\ dt = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{a_0}{2} S(t)\ dt + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_n \cos 2 \pi f_0 nt\ S(t) + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b_n \sin 2 \pi f_0 nt\ S(t)\ dt \right)
$$

#### $n \neq k$ のとき

$$
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \cdot \sin 2 \pi f_0 kt\ dt = 0 + \sum_{n=1}^{\infty} (0 + 0) = 0
$$

#### $n = k$ のとき

$$
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \cdot \sin 2 \pi f_0 kt\ dt = 0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{T}{2}b_n + 0 \right) = \frac{T}{2} b_n
$$

よって $b_n$ は
$$
b_n = \left\{
    \begin{array}{lc}
        0 & (n \neq k) \\
        \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \cdot \sin 2 \pi f_0 kt\ dt & (n = k)
    \end{array}
\right.
$$





<!--

$$
\begin{align}

\end{align}
$$


-->