ディジタル信号処理 5/12

# ディジタル信号処理 5/12 ###### tags: `ディジタル信号処理` ## 前回の復習 ### 線形時不変システム ### インパルス応答 - 畳み込みとの関係 $$ y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t_1) h(t - t_1)\ dt_1 = x(t) * h(t) $$ :::info :memo: **線形時不変システムの入出力とインパルス応答の関係** $$ y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t_1)h(t-t_1)\ dt_1 $$ ::: ## 概要 ### フーリエ変換 - ある関数（信号）を三角関数の和で表し、周波数の情報を取り出す - フーリエ級数展開を元に非周期関数に対して対応させたもの - 実数値関数（**時間**領域） → 複素関数（**周波数**領域） - $x(t) \rightarrow X(f)$ ### テイラー展開 - $f(x)$ （無限回微分できる）の $x = x_0$ におけるテイラー展開 $$ f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + \cdots + a_n(x - x_0)^n + \cdots $$ - $f(x)$ という関数を $(x-x_0)$ のべき級数で表している - 係数 $a_n$ を求めると $f(x)$ のテイラー展開が求まる - 係数の求め方： $f(x)$ を次々と微分して $x - x_0$ を代入 - $a_n = \cfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ $$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n + \cdots $$ ### 関数から情報を抽出する - ex: 一次の項で打ち切ったテイラー展開 $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ - $f'(x_0) \neq 0$ であれば $x_0$ の近くで $f(x)$ を近似出来る - テイラー展開（++べき級数++）により++関数の局所的な形++を取り出すことが出来る - フーリエ級数展開は++三角関数++によって++周波数の情報++を取り出す ### 三角関数の和 - 周期 $T (>0)$ の信号 $x(t)$ を三角関数の和で表す $$ x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt) $$ - $f_0$ ：基本周波数 $[\textrm{Hz}]$ - $\omega_0 = 2\pi f_0$ ：基本各周波数 $\textrm{[rad/s]}$ - 1秒間に $f_0 n$ 回振動、周期が $\cfrac{1}{f_0 n}$ - $x(t) = x(t + T)$ - $\left[ - \cfrac{T}{2}, \cfrac{T}{2} \right)$ で与えられた関数として扱える ### 三角関数の和の係数 $$ x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt) $$ の係数 $a_n,\ b_n$ - これらが求まれば $x(t)$ を三角関数の和で表せることになる - とりあえず両辺を $-\cfrac{T}{2} \rightarrow \cfrac{T}{2}$ で積分する $$ \begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)\ dt &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt) \right)\ dt \\\\ &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{a_0}{2}\ dt + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt) \right)\ dt \\\\ &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{a_0}{2}\ dt + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt)\ dt \right) \\\\ &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{a_0}{2}\ dt + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_n \cos 2 \pi f_0 nt + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b_n \sin 2 \pi f_0 nt \right)\ dt \\\\ &= \frac{a_0}{2}T + \sum_{n=1}^{\infty} (0 + 0) \\ &= \frac{a_0}{2}T \end{align} $$ したがって $$ a_0 = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)\ dt $$ ### 三角関数の和の係数 (cont'd) - 両辺に $\cos 2\pi f_0 kt$ をかけて（$k$ は自然数）、 $-\cfrac{T}{2} \rightarrow \cfrac{T}{2}$ で積分 #### No.1 $$ \begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos 2 \pi f_0 kt\ dt &= \left[ \frac{1}{2\pi f_0 k} \sin 2\pi f_0 kt \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \\ &= \frac{1}{2 \pi f_0 k}\left\{ \sin \left( 2 \pi f_0 k \cdot \frac{T}{2} \right) - \sin \left( 2 \pi f_0 k \cdot \frac{-T}{2} \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2 \pi f_0 k} \cdot ( 2 \sin \pi f_0 kT ) \\ &= \end{align} $$ ### 課題 :::success :memo: **フーリエ級数を求める過程** $$ x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt) $$ の両辺に $\sin 2 \pi f_0 kt$ を掛けて（$k$ は自然数）$-\cfrac{T}{2}$ から $\cfrac{T}{2}$ の範囲で積分し、 $b_n$ を得るまでの計算過程を自分で解いてみる！ ::: ### 解法 $\sin 2 \pi f_0 kt$ というのが少々長いので $S(t)$ という風に置換する。 $$ \begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \cdot S(t)\ dt &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt + b_n \sin 2 \pi f_0 nt) \right) \cdot S(t)\ dt \\\\ &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( \frac{a_0}{2} S(t) + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos 2 \pi f_0 nt\ S(t) + b_n \sin 2 \pi f_0 nt\ S(t)) \right) \\\\ &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{a_0}{2} S(t)\ dt + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_n \cos 2 \pi f_0 nt\ S(t) + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b_n \sin 2 \pi f_0 nt\ S(t)\ dt \right) \end{align} $$ ここで、積分を3つの部分に分けた。 **1.** $\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{a_0}{2} S(t)\ dt$ **2.** $\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_n \cos 2 \pi f_0 nt\ S(t)\ dt$ **3.** $\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b_n \cos 2 \pi f_0 nt\ S(t)\ dt$ まず **1.** の項について計算する。 $$ \begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{a_0}{2} \sin 2 \pi f_0 kt\ dt &= \frac{a_0}{2} \left[ -\frac{1}{2 \pi f_0 k}\cos 2 \pi f_0 kt \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \\ &= - \frac{a_0}{4 \pi f_0 k}(\cos \pi f_0 k T - \cos (-\pi f_0 k T)) \\ &= 0 \end{align} $$ 次に **2.** の項について計算する。 $$ \begin{align} \cos 2 \pi f_0 nt \cdot \sin 2 \pi f_0 kt &= \frac{1}{2} \left\{ \sin(2 \pi f_0 nt + 2 \pi f_0 kt) - \sin (2 \pi f_0 nt - 2 \pi f_0 kt) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \sin 2 \pi f_0 (n + k)t - \sin 2 \pi f_0 (n - k)t \right\} \end{align} $$ $$ \begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_n \cos 2 \pi f_0 nt\ S(t)\ dt &= \frac{a_n}{2} \left\{ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin 2 \pi f_0 (n + k) t\ dt + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sin 2 \pi f_0 (n-k) t\ dt\right\} \\ &= \frac{a_0}{2}(0 + 0) \\ &= 0 \end{align} $$ 奇関数なので $-a \rightarrow a$ で積分すれば $0$ になる。 次に **3.** の項について計算する。 ここで、 $$ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin 2 \pi f_0 nt \cdot \sin 2 \pi f_0 kt\ dt = \left\{ \begin{array}{cc} \cfrac{1}{2} \left( T - \cfrac{\sin 2 \pi n}{2 \pi f_0 n } \right) & (n = k) \\ 0 & (n \neq k) \end{array} \right. $$ という重要な公式を利用する。これはつまり、 $n = 1, 2, 3, \cdots$ のとき、この積分結果は常に $\cfrac{T}{2}$ になることを表している。最終的な答えは以下の通り。 $$ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \cdot S(t)\ dt = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{a_0}{2} S(t)\ dt + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_n \cos 2 \pi f_0 nt\ S(t) + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b_n \sin 2 \pi f_0 nt\ S(t)\ dt \right) $$ #### $n \neq k$ のとき $$ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \cdot \sin 2 \pi f_0 kt\ dt = 0 + \sum_{n=1}^{\infty} (0 + 0) = 0 $$ #### $n = k$ のとき $$ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \cdot \sin 2 \pi f_0 kt\ dt = 0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{T}{2}b_n + 0 \right) = \frac{T}{2} b_n $$ よって $b_n$ は $$ b_n = \left\{ \begin{array}{lc} 0 & (n \neq k) \\ \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \cdot \sin 2 \pi f_0 kt\ dt & (n = k) \end{array} \right. $$