# 応用物理Ⅲ　練習問題・演習問題　解答

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## 第1章
### 問1-1

式 $(1.8)$ を変形すると、

$$
\cfrac{1}{2}mv^2 = \cfrac{hc}{\lambda} - \cfrac{hc}{\lambda^{\prime}} \hspace{20mm} (mv)^2 = 2mhc \left( \cfrac{1}{\lambda} - \cfrac{1}{\lambda^{\prime}} \right)
$$

式 $(1.7)$ を変形すると、

$$
\begin{align}
(mv)^2 &= \left( \cfrac{h}{\lambda} \right)^2 + \left( \cfrac{h}{\lambda^{\prime}} \right)^2 - 2\cfrac{h^2}{\lambda\lambda^{\prime}} \cos\theta \\\\
&= h^2\left( \cfrac{1}{\lambda} - \cfrac{1}{\lambda^{\prime}} \right)^2 + 2\cfrac{h^2}{\lambda\lambda^{\prime}}(1 - \cos\theta) \\\\
\end{align}
$$

ここで、 $\left( \cfrac{1}{\lambda} - \cfrac{1}{\lambda^{\prime}} \right)^2 = 0$ と近似して、2式を比較すると

$$
\begin{align}
2mhc \left( \cfrac{1}{\lambda} - \cfrac{1}{\lambda^{\prime}} \right) &= 2\cfrac{h^2}{\lambda\lambda^{\prime}}(1 - \cos\theta) \\\\
\cfrac{\lambda^{\prime} - \lambda}{\lambda\lambda^{\prime}}&= \cfrac{h^2}{mhc \lambda\lambda^{\prime}} (1 - \cos\theta) \\
\therefore \lambda^{\prime} - \lambda &= \cfrac{h}{mc}(1 - \cos\theta)
\end{align}
$$

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### 演習問題1-1
$E = h\nu = h\cfrac{c}{\lambda}$の関係を用いる
- ==紫外線のエネルギー==
$$
E = h\cfrac{c}{\lambda} = 6.6 \times 10^{-34} \times \cfrac{3.0 \times 10^{8}}{5.0 \times 10^{-8}} = 3.97 \times 10^{-18}\ \textrm{[J]} \\
\cfrac{3.97 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} = 24.8\ \textrm{[eV]}
$$

- ==赤外線のエネルギー==
$$
E = h\cfrac{c}{\lambda} = 6.6 \times 10^{-34} \times \cfrac{3.0 \times 10^{8}}{1.0 \times 10^{-6}} = 1.99 \times 10^{-19}\ \textrm{[J]} \\
\cfrac{1.99 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.24\ \textrm{[eV]}
$$

:::success
:bulb: **結論**
これらの結果より、紫外線は水素原子をイオン化することは出来るが、赤外線には出来ない。
:::

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### 演習問題1-2
$E = h\nu = h\cfrac{c}{\lambda}$の関係を用いる

$$
E = h\cfrac{c}{\lambda} = 6.6 \times 10^{-34} \times \cfrac{3.0 \times 10^{8}}{5.0 \times 10^{-7}} = 3.97 \times 10^{-19}
$$

電球のエネルギー $W$ を $E$ を単位として考えるので、光子の個数 $N$ は

$$
N = \cfrac{W}{E} = \cfrac{100}{3.97 \times 10^{-19}} = 2.52 \times 10^{20}\ (個)
$$

次に、瞳に入る光子の個数 $M$ を半径 $1\ \textrm{[m]}$ の球面の内、 $0.5\ [\textrm{cm}^2]$ と考えると

$$
M = 2.52 \times 10^{20} \times \cfrac{0.5 \times 10^{-4}}{4 \pi \times 1^2} = 1.00 \times 10^{15}\ (個)
$$

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### 演習問題1-3
目に入るエネルギーを計算する

$$
2.5 \times 10^{-6} \times \cfrac{1}{683} \times 0.5 \times 10^{-4} = 1.83 \times 10^{-13}\ [\textrm{W}]
$$

視細胞の中のロドプシン1個が得られるエネルギーは

$$
1.83 \times 10^{-13} \times \cfrac{4 \pi (10^{-10})^2}{4 \pi (10^{-6})^2} = 1.83 \times 10^{-21}\ [\textrm{W}]
$$

化学反応に必要なエネルギーを得るために掛かる時間は

$$
\cfrac{5.0 \times 10^{-19}}{1.83 \times 10^{-21}} = 273\ [\textrm{s}]
$$

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### 演習問題1-4
0等星の照度から、瞳に入るエネルギーを考える

$$
E = 2.5 \times 10^{-6} \times \cfrac{1}{683} \times 0.5 \times 10^{-4} = 1.83 \times 10^{-13}\ [\textrm{W}]
$$

可視光のエネルギー $E_0$ は大体 $4.0 \times 10^{-19}\ [\textrm{J}]$ なので
1秒間に瞳に入る光子の数 $N$ を考えると

$$
N = \cfrac{E}{E_0} = \cfrac{1.83 \times 10^{-13}}{4.0 \times 10^{-19}} = 4.58 \times 10^5\ (個)
$$

:::success
:bulb: **結論**
可視光のエネルギーより大きいので、星の瞬きは光子の粒子性によるものでない。
空気中での屈折などによって瞬きが起きると考えられる。
:::

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## 第2章

### 問2-1
運動方程式を立てると

$$
F = \cfrac{GMm}{r^2} \Longleftrightarrow [\textrm{MLT}^{-2}] = \cfrac{[?][\textrm{M}^2]}{[\textrm{L}^2]}
$$

となるので、万有引力定数 $G$ の次元は $[\textrm{M}^{-1}\textrm{L}^3\textrm{T}^{-2}]$ となる。
公転周期 $T$ が軌道長径 $r$ に関係すると考えると $T = (\textrm{const.})r^{\alpha}$ となる。
$G$ から時間の次元を作ろうとすると $\cfrac{1}{\sqrt{G}} [\textrm{M}^{\frac{1}{2}}\textrm{L}^{-\frac{3}{2}}\textrm{T}]$ となる。
ここで、長さの次元を消そうとすると $r^{\frac{3}{2}}$ を掛けなければならない。
質量の次元を消すには $\cfrac{1}{\sqrt{M}}$ を掛ける。
よって、

$$
T \propto r^{\frac{3}{2}} \Longrightarrow T^2 \propto r^3
$$

:::success
:bulb: **結論**
公転周期の $2$ 乗と軌道長径の $3$ 乗が比例する
:::

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### 演習問題2-1
弦の線密度 $\rho\ [\textrm{M}\textrm{L}^{-1}]$ と弦の張力 $T\ [\textrm{MLT}^{-2}]$ について考える。
速度の次元は $[\textrm{LT}^{-1}]$ なので、

$$
\cfrac{T}{\rho} = \cfrac{\textrm{[MLT}^{-2}]}{[\textrm{ML}^{-1}]} = [\textrm{L}^2\textrm{T}^{-2}]
$$

平方根を取ると

$$
\sqrt{\cfrac{T}{\rho}} = [\textrm{L}\textrm{T}^{-1}]
$$

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### 演習問題2-2
$ke^2 [\textrm{ML}^{N}\textrm{T}^{-2}]$ と $h [\textrm{ML}^2\textrm{T}^{-1}]$ を使って考える。
時間の次元を消すために $h$ を2乗して $ke^2$ を割ると、

$$
\cfrac{ke^2}{h^2} = \cfrac{[\textrm{ML}^{N}\textrm{T}^{-2}]}{[\textrm{M}^2\textrm{L}^4\textrm{T}^{-2}]} = [\textrm{M}^{-1}\textrm{L}^{N-4}]
$$

質量の次元を消すために $\mu [\textrm{M}]$ を掛けると $\cfrac{\mu ke^2}{h^2} [\textrm{L}^{N-4}]$ となり、これをさらに $\cfrac{1}{N-4}$ 乗すると距離の次元を取り出せる。
更に、ボーアの条件を適用すると

$$
r = (\textrm{const.}) \times \left( \cfrac{\mu ke^2}{(nh)^2} \right)^{\frac{1}{N-4}}
$$

:::success
:bulb: **結論**
- $N = 3$ のとき
通常の宇宙を表している。

- $N = 4$ のとき
分母が $0$ となり、原子半径が定まらない。

- $N \geq 5$ のとき
$n$ が大きいほど半径 $r$ が小さくなる。
$n = 1$ の時が一番内側と考えていたことに矛盾してしまう。
:::

---

### 演習問題2-3
以下の公式を使う。
:::info
$p = mv = \sqrt{2mE} = \cfrac{h}{\lambda} \hspace{20mm} \lambda = \cfrac{h}{p}$
:::

| エネルギー $[\textrm{eV}]$ | $1$ | $10$ | $100$ | $1000$ | $10^6$ | $10^9$ |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 運動量 $[\textrm{kg}\cdot\textrm{m/s}]$| $5.40 \times 10^{-25}$ | $1.71 \times 10^{-24}$ | $5.40 \times 10^{-24}$ | $1.71 \times 10^{-23}$ | $5.40 \times 10^{-22}$ | $1.71 \times 10^{-20}$ |
| 波長 $[\textrm{m}]$ | $1.23 \times 10^{-9}$ | $3.87 \times 10^{-10}$ |$1.23 \times 10^{-10}$ | $3.87 \times 10^{-11}$ | $1.23 \times 10^{-12}$ | $3.87 \times 10^{-14}$ |

原子間隔は約 $10^{-10}\ [\textrm{m}]$ なので $100\ [\textrm{eV}]$ ぐらいで加速した電子を使うのが良い。

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### 問3-4

#### (1)
$E = \cfrac{1}{2}mv^2 = 10 \textrm{[eV]} = 1.6 \times 10^{-18} \textrm{[J]}$ なので、
$$
\begin{align}
\Delta{p}\Delta{x} &= \sqrt{2mE} \Delta{x} \\
&= \sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-18}} \times 10^{-10} \\
&\fallingdotseq 1.7 \times 10^{-34} \textrm{[J]}
\end{align}
$$
$h = 6.6 \times 10^{-34} \textrm{[J]}$ より、だいたいプランク定数のオーダーになった。
$\Delta{p}\Delta{x} \geq \cfrac{\hbar}{2}$ より、この現象は不確定性関係に即している。

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#### (2)
$E = \cfrac{1}{2}mv^2 = 1 \textrm{[MeV]} = 1.6 \times 10^{-13} \textrm{[J]}$ なので、
$$
\begin{align}
\Delta{p}\Delta{x} &= \sqrt{2mE} \Delta{x} \\
&= \sqrt{2 \times 1.7 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-13}} \times 10^{-14} \\
&\fallingdotseq 2.3 \times 10^{-34} \textrm{[J]}
\end{align}
$$
$h = 6.6 \times 10^{-34} \textrm{[J]}$ より、だいたいプランク定数のオーダーになった。
$\Delta{p}\Delta{x} \geq \cfrac{\hbar}{2}$ より、この現象は不確定性関係に即している。

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### 演習問題3-6
:::info
:memo: **定数メモ**
- 電子を波と考えた時の波長 $\lambda\ [\textrm{m}]$
- スリット幅 $d\ [\textrm{m}]$
- スリットからスクリーンまでの距離 $L\ [\textrm{m}]$
- 電子の質量 $m\ [\textrm{kg}]$
- 電子がスリットに入る前の速度 $v\ [\textrm{m/s}]$
:::

#### (1)
運動量は $p = \cfrac{h}{\lambda}$ となる。
また、スリット幅より狭い為、 $\lambda < d$ とならないといけない。
よって $\cfrac{h}{\lambda} > \cfrac{h}{d}$ となる。

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#### (2)
$\cfrac{h}{d}$ 程度の運動量を光から受けると、電子の速度 $v^{\prime}$ は

$$
p = mv^{\prime} = \cfrac{h}{d} \hspace{10mm} \Longrightarrow \hspace{10mm} v^{\prime} = \cfrac{h}{md}
$$

$\cfrac{h}{md}$ 程度のズレが生じることになる。
電子は通常 $v = \cfrac{h}{m\lambda}$ で走っている。
つまりスクリーンまでの距離 $L$ に到達するまでの時間 $t$ は

$$
L = vt \hspace{10mm} \Longrightarrow \hspace{10mm} t = \cfrac{L}{v} = \cfrac{m \lambda L}{h}
$$
となる。余分に獲得した速度 $v^{\prime}$ によって電子は

$$
x = v^{\prime}t = \cfrac{h}{md} \times \cfrac{m \lambda L}{h} = \cfrac{\lambda L}{d}
$$

くらいズレる。

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#### (3)
**(2)** の結果より、光を当てる程度の小さな乱れでも干渉縞が出来なくなる。