# 令和5年度　専攻科　過去問

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## 数学

### 問1
点 $\textrm{A} (1,2,3)$、点 $\textrm{B} (4,3,5)$、点 $\textrm{C} (-1,-1,4)$ を頂点とする三角形 $\textrm{ABC}$ について、次の問に答えよ.（10点）

1. 角 $\textrm{A}$ の大きさを求めよ.
2. 三角形 $\textrm{ABC}$ の面積を求めよ.

### 問2
行列 $\boldsymbol{A}$ について、次の問に答えよ.（10点）

$$
\boldsymbol{A} = \left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 2 \\
2 & -1 & 2\\
2 & 2 & -1
\end{array}
\right)
$$

1. $\boldsymbol{A}$ の固有値を求めよ.
2. $\boldsymbol{A}$ の固有ベクトルを求めよ.

### 問3
次の連立1次方程式を解け.（10点）

$$
\begin{align}
\left\{
\begin{array}{rrrrcr}
x & +y & -z & +4w &= & 1 \\
2x & +3y & & -3w &= & -1 \\
-3x & & +z & -2w &= & 2 \\
& y & +z & -5w &= & 0
\end{array}
\right.
\end{align}
$$

### 問4
行列式に関する次の問に答えよ.（10点）

1.

$$
\left|
\begin{array}{ccc}
x & -1 & 2 \\
x^2 & 1 & 4 \\
x^3 & -1 & 8
\end{array}
\right| = 0
$$

を満たす $x$ を求めよ.

2.

$$
\left|
\begin{array}{cccc}
9 & 10 & 0 & 0 \\
11 & 12 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 5 & 6 \\
3 & 4 & 7 & 8
\end{array}
\right|
$$

の値を求めよ.

### 問5
平面に関する次の問に答えよ.（10点）

1. 点 $\textrm{A} (1,2,1)$、点 $\textrm{B} (3, -1, -2)$、点 $\textrm{C} (-2, 1, 2)$ を通る平面の方程式を求めよ.

2. 曲面 $z = \cfrac{1}{3} x^3 -x^2y + y^3$ 上の点 $\textrm{P} (3, 1, 1)$ における接平面の方程式を求めよ.

### 問6
関数 $f(x,y) = x^3 + y^3 -3x^2 -27y$ について、次の問に答えよ.（10点）

1. $\cfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 0$ かつ $\cfrac{\partial f(x,y)}{\partial y} = 0$ を満たす点 $(x,y)$ をすべて求めよ.

2. $f(x,y)$ の極値を求めよ. ただし、極値が極大値もしくは極小値であるかを明記し、そのときの $f(x,y)$ も答えよ.

### 問7
次の定積分を求めよ.（10点）

1.

$$
\int_0^{\frac{\pi}{6}} x \sin x\ dx
$$

2.

$$
\int_{-1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\ dx
$$

### 問8
次の重積分を求めよ.（10点）

1.

$$
\iint_D x^2 y^2\ dxdy, \hspace{10mm} D = \left\{ (x,y)\ |\ 0 \leq y \leq x \leq 1 \right\}
$$

2.

$$
\iint_D (x^4 + y^4)\ dxdy, \hspace{10mm} D = \left\{ (x,y)\ |\ x^2 + y^2 \leq 4,\ x \geq 0,\ y \geq 0 \right\}
$$

### 問9
次の微分方程式の一般解を求めよ.
解は虚数単位 $i = \sqrt{-1}$ を使わずに実関数で表せ.（10点）

1. $\cfrac{dy}{dx} -xy = -2x$

2. $\cfrac{d^2 y}{d x^2} + 8 \cfrac{dy}{dx} + 25y = 0$

### 問10
次の微分方程式の解を求めよ.（10点）

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\cfrac{d^2 y}{d x^2} + 9y = 15 \sin 2x \\
y(0) = 0, \hspace{7mm} \cfrac{dy(0)}{dx} = 0
\end{array}
\right.
$$