# TD MMC trajectoires, lignes de courants, lignes d'émission

## Exercice 1
Soit le mouvement d'un milieu continu défini par le champ de vitesses :
$$\vec{v} = \vec{v}_0+\vec{a}t,$$
où $\vec{v}_0$ et $\vec{a}$ sont des constantes vectorielles.
- Déterminer les lignes de courant.
- Déterminer les trajectoires.

### Correction
- Lignes de courant :
$$\mathbf{x}'(\theta) = \mathbf{V}(\mathbf{x}(\theta),t) = \mathbf{v}(t) = \mathbf{v}_0 + \mathbf{a}t$$
Donc
$$\mathbf{x}(\theta) = (\mathbf{v}_0+\mathbf{a}t)\theta + \mathbf{x}_0.$$
Les lignes de courants sont des droites qui ont toutes la même direction ($\mathbf{v}_0+\mathbf{a}t$), mais qui n'est pas constante dans le temps.
- Trajectoires :
$$\mathbf{x}'(t) = \mathbf{v}(\mathbf{x}_0,t) = \mathbf{V}(\mathbf{x}(t),t) = \mathbf{v}_0 + \mathbf{a}t.$$
Donc
$$\mathbf{x}(t) = \mathbf{v}_0 t + \frac{1}{2}\mathbf{a}t^2 + \mathbf{x}_0.$$

Si $\mathbf{v}_0$ et $\mathbf{a}$ ne sont pas colinéaires : les trajectoires sont des paraboles. Encore une fois, c'est différent des lignes de courant !
Si $\mathbf{v}_0$ et $\mathbf{a}$ sont colinéaires : Ce sont des droites (même si on ne parcourt pas forcément toute la droite), et ce sont les mêmes droites que les lignes de courant.

## Exercice 2
Soit le mouvement plan d'un milieu continu défini par le champ de vitesses :
$$V_1 = 2+\frac{1}{2} x_2, \quad V_2 = 0.$$
- Déterminer les trajectoires et les lignes de courant.
- On considère les particules qui à l'instant $t=0$ sont sur le cercle de centre $x_1=x_2=0$ et de rayon $R$. Sur quelle courbe sont-elles à l'instant $t$ ?

### Correction
- Trajectoires :
$V_2=0$ donc $x_2=x_{02}$ constante.
En intégrant la première équation,
$$x_1(t) = x_{01}+(2+\frac{1}{2}x_{02})t.$$
Le champ de vitesse est stationnaire donc les lignes de courant sont les trajectoires.
- Image du cercle :
Les points du cercle sont définis par l'équation
$$x_{01}^2+x_{02}^2 = R^2$$
On a $x_{02}=x_2$ et $x_{01} = x_1 - (2+\frac{1}{2}x_2)t$,
Donc en remplaçant,
$$\left(x_1-(2+\frac{1}{2}x_2)t\right)^2 + x_2^2 = R^2$$

C'est l'équation d'une ellipse de centre $\mathbf{x}_c(t) = (2t,0)$ et dont le grand et le petit axe sont les vecteurs propres de la matrice
$$A = \left(\begin{array}{cc}
1 & -\frac{t}{2}\\
-\frac{t}{2} & 1+\frac{t^2}{4}
\end{array}\right),$$
tel que $(\mathbf{x}-\mathbf{x}_c(t))^T A (\mathbf{x}-\mathbf{x}_c(t)) = R^2$.
L'équation caractéristique est $X^2-(2+\frac{t^2}{4})X+1$ dont le discriminant est
$$\Delta = 4+t^2+\frac{t^4}{16}-4 = t^2(1+\frac{t^2}{16})>0$$
Les valeurs propres sont $X_{\pm} = 1+\frac{t^2}{8}\pm t\sqrt{1+\frac{t^2}{16}}$ qui sont les tailles (modulo le facteur $R$) des deux axes principaux de l'ellipse, et les vecteur propres associés sont les axes.

## Exercice 3
Soit le mouvement plan d'un milieu continu défini par le champ de vitesses :
$$V_1 = \omega x_2, \quad V_2 = -\omega x_1+\alpha \omega^2 t,$$
où $\alpha$ et $\omega$ sont des constantes ($\omega\neq 0$).
- Déterminer les lignes de courant.
- Déterminer les trajectoires (on pourra chercher une solution telle que $x_2=c_1+c_2\cos(\omega t+c_3)$, $c_i$ constantes).
- Calculer l'accélération d'une particule quelconque en fonction de $x_1$, $x_2$ et $t$.

### Correction
- Lignes de courant :
A $t$ fixé, on cherche
\begin{align}
x_1'(\theta) &= \omega x_2(\theta) \\
x_2'(\theta) &= -\omega x_1(\theta) +\alpha\omega^2 t
\end{align}
OU alors
$$x_1'(\theta)(-\omega x_1(\theta) +\alpha\omega^2 t) = \omega x_2(\theta)x_2'(\theta)$$
En l'intégrant,
$$-\frac{\omega}{2}x_1^2+\alpha\omega^2 t x_1 = \frac{\omega}{2}x_2^2+K$$
$$\frac{\omega}{2}\left((x_1-\alpha\omega t)^2+x_2^2\right) = R^2-\frac{\omega^3}{2}\alpha^2 t^2 = K(t)$$
Donc les lignes de courant sont des cercles centrés en $(\alpha\omega t,0)$.

Avec l'autre formulation, en dérivant la seconde équation par rapport à $\theta$,
$$x_2''(\theta) = -\omega x_1'(\theta) = -\omega^2 x_2(\theta),$$
et donc $x_2(\theta) = R\cos(\omega\theta+\varphi)$
EN reportant dans la deuxième équation,
$$x_1(\theta) = \alpha \omega t -\frac{x_2'(\theta)}{\omega} = \alpha \omega t + R\sin(\omega\theta+\varphi).$$
On a la même solution.

- Trajectoires :
On doit résoudre
\begin{align}
x_1'(t) &= \omega x_2(t) \\
x_2'(t) &= -\omega x_1(t) +\alpha\omega^2 t
\end{align}
En dérivant la seconde équation,
$$x_2''(t) = -\omega x_1'(t)+\alpha\omega^2 = -\omega^2 x_2(t) + \alpha\omega^2.$$
Donc on a
$$x_2(t) = \alpha + R\cos(\omega t +\varphi)$$
$$x_1(t) = \alpha \omega t - \frac{x_2'(t)}{\omega} = \alpha\omega t + R\sin(\omega t+\varphi).$$
On détermine $R$ et $\varphi$ avec les conditions initiales $x_{01}$ et $x_{02}$. Pour $t=0$, on a
\begin{align}
x_{01} &= R\sin(\varphi)\\
x_{02} &= \alpha+R\cos(\varphi)
\end{align}
Donc $R = \sqrt{x_{01}^2+(x_{02}-\alpha)^2}$, et $\varphi = \arctan\left(\frac{x_{01}}{x_{02}-\alpha}\right)$.
Les trajectoires sont des "spirales", des trochoïdes.

- Accélération :
On calcule la dérivée seconde
$$a_1 = -R\omega^2\sin(\omega t+\varphi) = -\omega^2(x_1 - \alpha\omega t)$$
$$a_2 = -R\omega^2\cos(\omega t+\varphi) = -\omega^2(x_2-\alpha)$$
On peut vérifier avec le calcul de la dérivée lagrangienne de $V$...

## Exercice 4
Soit le mouvement plan d'un fluide défini par le champ de vitesses :
$$V_1 = \frac{ax_1+bx_2}{x_1^2+x_2^2}, \quad V_2 = \frac{ax_2-bx_1}{x_1^2+x_2^2},$$
où $a$ et $b$ sont des constantes.
- Poser $w=V_1-iV_2$, $z=x_1+ix_2$ et $c=a+ib$ où $i^2=-1$. Montrer que $w$ n'est fonction que de $z$ (fonction holomorphe).
- Écrire l'équation différentielle générale des lignes de courant en fonction de $z$ et $w$.
- Déterminer les trajectoires, les lignes de courant et les lignes d'émission.

### Correction
\begin{align}
w &= V_1-iV_2 = \frac{a(x_1-ix_2)+ib(x_1-ix_2)}{x_1^2+x_2^2} =\frac{a(x_1-ix_2)+ib(x_1-ix_2)}{(x_1+ix_2)(x_1-ix_2)}\\
&= \frac{c}{z}
\end{align}
Donc $w$ ne dépend que de $z$ et pas de $\bar{z}$, donc $w$ est une fonction holomorphe.

Aparté : cela signifie en fait que le champ de vitesse est irrotationnel et à divergence nulle, donc il dérive d'un potentiel harmonique $\Delta\phi=0$.

$$dz = dx_1 + idx_2$$
On sait que pour les lignes de courant,
$$\frac{dx_1}{V_1} = \frac{dx_2}{V_2}$$
$$dx_1 = \frac{1}{2}(dz+d\bar{z}),\quad dx_2 = \frac{1}{2i}(dz-d\bar{z})$$
$$V_1 = \frac{1}{2}(w+\bar{w}),\quad V_2 = \frac{1}{2i}(\bar{w}-w)$$

$$\frac{dz+d\bar{z}}{w+\bar{w}} = \frac{dz-d\bar{z}}{\bar{w}-w}$$
$$wdz = \bar{w}d\bar{z}$$
Ce qui se traduit par
$$c\frac{dz}{z} = \bar{c}\frac{d\bar{z}}{\bar{z}}$$

Si vous me faites confiance :
$$c\log(z) = \bar{c}\log(\bar{z})+C$$

Sinon, on a l'intuition de chercher $z$ sous la forme
$$z = \exp(\alpha+i\theta)$$ avec $\alpha$ et $\theta$ réels.
$$dz = z(d\alpha + id\theta)$$
La relation revient à la chose suivante :
$$c(d\alpha+id\theta) = \bar{c}(d\alpha-id\theta)$$
$$2ibd\alpha = -2iad\theta$$
Finalement
$$\alpha = -\frac{a}{b}\theta + \varphi$$
Finalement,
$$z(\theta) = \exp((i-\frac{a}{b})\theta+\varphi)$$
Si on revient aux positions, $x_1=\operatorname{Re}(z)$, $x_2=\operatorname{Im}(z)$, donc
\begin{align}
x_1(\theta) &= K\exp(-\frac{a}{b}\theta)\cos(\theta)\\
x_2(\theta) &= K\exp(-\frac{a}{b}\theta)\sin(\theta)
\end{align}
Ce sont des spirales exponentielles partant de $(0,0)$.