# 【資工考研】特徵理論 - 不變子空間

線性代數複習重點摘要

## 不變子空間

給定 $W$ 是 $V$ 的子空間，$T\in\mathcal{L}(V,V)$
$W$ 為 $T\text{-invariant subspace of } V\Leftrightarrow T(W)\subseteq W\Leftrightarrow T(w)\in W, \forall w\in W$

根據上面的定義，我們可以得知 $\left\{ 0 \right\}, V, kerT, ImT$ 均為 $T\text{-invariant subspace of V}$ (for any $T$)

取 $W_1, W_2$ 皆為 $T\text{-invariant subspace of V}$，則我們也能知道 $W_1\cap W_2$ 與 $W_1 + W_2$ 均亦為 $T\text{-invariant subspace of V}$

## 範圍限縮算子

給定一個 $W$ 為 $T\text{-invariant subspace of V}$
定義：

$$
T_W(x) = T(x), \forall x\in W
$$

為 $T$ 在 $W$ 上的範圍限縮算子

這個名字叫範圍限縮我覺得已經勾畫出他想表達的了，原本我們在 $V$ 這片汪洋的向量空間，這就像是我們只取 $T$ 在 $V$ 上 $W$ 這塊範圍那般

一個有趣的事情：
給定一個 $W$ 為 $T\text{-invariant subspace of V}$
取 $W$ 的基底 $\beta_1$ 我們再擴增到 $\beta = \beta_1\cup\beta_2$

就能得到

$$
\left[ T \right]_\beta = \begin{pmatrix}
A & C \\
O & B
\end{pmatrix}_{n\times n}
$$

其中 $A = \left[ T_W \right]_{\beta_1}$

那如果我們不變子空間取到兩個，並且假設 $V = W_1\oplus W_2$， $\beta = \beta_1\cup\beta_2$ ， $\beta_1$ 跟 $\beta_2$ 分別為 $W_1$ 及 $W_2$ 的基底

則能得到

$$
\left[ T \right]_\beta = \begin{pmatrix}
A_1 & O \\
O & A_2
\end{pmatrix}_{n\times n}
$$

其中 $A_1 = \left[ T_{W_1} \right]_{\beta_1}$, $A_2 = \left[ T_{W_2} \right]_{\beta_2}$

一個不變子空間，我們可以變出 blockwise 上三角；兩個不變子空間再加直和，我們可以變出 blockwise 對角

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這邊會是之後內容的基礎