# 【資工考研】特徵理論 - 可對角化的條件

線性代數複習重點摘要

## 方陣可對角化

> $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$
>
> $A$ is diagonalizable $\Leftrightarrow \exists P$ 可逆， $A = PDP^{-1}$ for some diagonal matrix $D$

若 $AP = PD$ ， $P$ 可逆
其中 $P = \begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & \cdots & x_n
\end{pmatrix}$ and $D = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{pmatrix}$

則 $(\lambda_i, x_i)$ for $i=1,2,\cdots, n$ 均為 eigenpair wrt $A$

***

$A\in\mathbb{F}^{n\times n}$

Let $\sigma (A) = \left\{ \lambda_i \right\}_{i=1}^r$ **全相異**

**If $r = n$ then $A$ is diagonalizable**

這是個重要的結論

## 算子對角化

> $T\in\mathcal{L}(V,V), dim(V = n)$
>
> $T$ is diagonalizable $\Leftrightarrow\exists\beta,\left[ T \right]_\beta = D$ for some diagonal matrix $D$

## 代數重數 (algebraic multiplicity) 與幾何重數 (geometric multiplicity)

考慮 $P_A(z) = (-1)^n\prod\limits_{i=1}^{r}(z-\lambda_i)^{k_i}$

則我們定義：

- 代數重數 $am(\lambda_i)\equiv k_i$ for $i = 1,2,\cdots, r$
- 幾何重數 $gm(\lambda_i)\equiv dim(E(A,\lambda_i)) = dim(ker(A-\lambda_i I))$

並且我們有個重要的定理：

If $\lambda_i$ for $i = 1,2,\cdots, r$ 全相異
then

$$
1\le gm(\lambda_i)\le am(\lambda_i)\le n
$$

## split

考慮 $f(z)$ 為 $n$ 此多項式

$f(z) \text{ split over }\mathbb{F}\Leftrightarrow f(z) = 0$ 恰有 $n$ 個根 $\text{over }\mathbb{F}$

也就是說我們上面的 $P_A(z) \text{ split}$ 表示 $\sum\limits_{i=1}^{r}k_i = n$ ；反之， $\sum\limits_{i=1}^{r}k_i \lt n$

這邊我們可以做一些簡單的觀察：

1. $\sum\limits_{i=1}^{r} am(\lambda_i) \le n \Rightarrow am(\lambda_i) \le n$
2. $dim(E(A,\lambda_i)) \ge 1 \Rightarrow gm(\lambda_i) \ge 1$
3. $\begin{cases}
gm(\lambda_i) = am(\lambda_i) \text{ for some } i = 1,2, \cdots, r \\
P_A(z) \text{ split}
\end{cases} \Leftrightarrow A \text{ is diagonalizable}$

## Eigenbasis

$\text{If }
\begin{cases}
\beta = \left\{ b_i \right\}_{i=1}^{n} \text{ is a basis of } V \\
b_1, b_2, \cdots, b_n \text{ are eigenvectors of } T \in \mathcal{L}(V, V)
\end{cases}$

$\text{then } \beta \text{ is called an eigenbasis of } V \text{ with respect to } T.$

下面是本章節的重要定理：

$A\in\mathbb{F}^{n\times n}$

$$
\begin{array}{rcl}
A \text{ is diagonalizable} & \Leftrightarrow & \exists \text{ eigenbasis of } \mathbb{F}^n \text{ wrt } A \\
& \Leftrightarrow & \begin{cases}
gm(\lambda_i) = am(\lambda_i) \text{ for some } i = 1,2, \cdots, r \\
P_A(z) \text{ splits}
\end{cases} \\
& \Leftrightarrow & \mathbb{F}^n = E(A,\lambda_1) \oplus E(A,\lambda_2) \oplus \cdots \oplus E(A,\lambda_r)
\end{array}
$$

註：最後的**前空間可寫成 eigenspace 的直和**應該能看出講了幾何重數皆等於代數重數且 split 那件事

## 同步對角化

$\begin{cases}
A = PD_AP^{-1} \\
B = PD_BP^{-1}
\end{cases} \text{ for some 可逆}P$ ，稱 $A$, $B$ 可同步對角化


~~不是這個同步~~

我們會發現，如果 $A$, $B$ 可同步對角化， $AB = BA$

若 $AB = BA$ 且 $A$, $B$ 皆可對角化，則 $A$, $B$ 可同步對角化

***

我們會在下一篇找一些題目來練習一下對角化的計算