# 【資工考研】線性映射 - Rank

線性代數複習重點摘要

在認識矩陣時，我們就聽說過 Rank 了，但好像對他又不是那麼熟悉

## Rank 的定義

我們說 $A$ 是個 $m\times n$ 的矩陣，那麼定義其 row rank 為其 row space 的維度，$rr(A) = dim(RS(A))$；column rank of A $cr(A) = dim(CS(A))$

我們會得到一個有趣的結論，那就是 $rr(A) = cr(A) = rank(A)$：

pf:

令 $R_A$ 為 $A$ 之 rref ([reduced row echelon form](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%98%B6%E6%A2%AF%E5%BD%A2%E7%9F%A9%E9%98%B5)) ，則 $R_A$ 中具有 $r$ 個非零列 $v_1,\cdots ,v_r$
根據 rref 的規則，這 $r$ 個列為獨立向量，故 $S = \left\{ v_1, \cdots , v_r \right\}$ 為 $RS(R_A)$ 的一組基底
又 $A \overset{r}{\sim} R_A$ ，可知 $dim(RS(A)) = rr(A) = r$
再另外考慮 $L_A:\mathbb{F}^n\longrightarrow \mathbb{F}^m$ defined by $L_A(x)=Ax$
由維度定理知 $n = dim(Im(L_A)) + dim(ker(L_A))$
又 $dim(ker(L_A)) = n - r$
故 $dim(Im(L_A)) = dim(CS(A)) = cr(A) = r$

得到 $rr(A) = cr(A) = r$ ，這個 $r$ 我們就簡單稱之為 the rank of $A$ ($rank(A)$)

我們在學習矩陣時，說 $rank(A)$ 只要看 $A$ 之 rref 有多少個非零列即可，也就與這邊銜接上了

之前我們複習了線性映射的矩陣表示法，現在我們又複習了 rank
可以想到，映射的 rank 就是其矩陣的 rank

## Rank 的性質

可想而知，$rank(A)$ 不會比總列數 ($m$) 或總行數 ($n$) 還大
我們只要能覺得$rank(A)$ 會比 $m$ or $n$ 大**簡直見鬼了**就好

那麼現在有兩個矩陣 $A$ 跟 $B$
試問 $rank(AB)$ 應該會是？
回想一下，如果我們說 $A \overset{r}{\sim} B$ 代表我們能找一個可逆 $P$ 使得 $PA = B$ ，$rank(PA) = rank(A) = rank(B)$
現在回來想看看，就能直覺回答 $rank(AB)\le \min\left\{ rank(a),rank(B) \right\}$
怎麼說直覺？就是相乘 rank 不會變比兩個都大

我們可以想
$dim(CS(AB))\le dim(CS(A))$ 所以 $rank(AB)\le rank(A)$
$dim(RS(AB)\le dim(RS(B)))$ 所以 $rank(AB)\le rank(B)$

上面在講到的是四大空間的性質
例如 $CS(AB)\subseteq CS(A)$ 這件事應該挺直觀的
根據 $CS$ 的定義，我們取 $y\in CS(AB)$ 表示 $y = ABx \text{ for some } x$， $y = A\widetilde{x}\in CS(A)$
簡單就能想通

其他可能會考的例如說 $rank(A) = rank(A^T)$ 這件事
我們就想 $dim(RS(A)) = dim(CS(A^T))$ 這不就明白了？

## 具左反、具右反

一個 $m\times n$ 的矩陣 $A$
如果 $A$ 具左反若且唯若 $rank(A) = n$

我們不是非常嚴謹地簡單左右來回想一下：

如果 $A$ 有 $n\times m$ 的左反 $L$ 使得 $LA = I\in\mathbb{F}^{n\times n}$ ， $rank(LA) = n$
又前面講過相乘 rank 不會變大，$rank(A)$ 也不會比 $n$ 還大，$rank(LA)\le rank(A)\le n$ ，那麼表示 $rank(A) = n$

如果 $rank(A) = n$ 我們可以說 $RS(A) = \left\{xA | x\in\mathbb{F}^{1\times n} \right\}$
加速一下思考這表示 $xA = I$ 有解，我們找到 $A$ 的左反了

上面的結論成立
我們可以再得出 $A$ 具右反若且唯若 $rank(A) = m$

所以說：

如果 $Ax = b$ 恆有解若且唯若 $A$ 具右反
$Ax = b$ 至多一解若且唯若 $A$ 具左反 (這樣在腦中想，我們的解不能有自由變數，$dim(ker(A)) = n - r = 0$ 所以 $rank(A) = n$)

$A$ is onto $\Leftrightarrow rank(A) = m\le n$
$A$ is 1-1 $\Leftrightarrow rank(A) = n\le m$

所以如果 $A$ 既 onto 又 1-1 表示 $A$ 同時具左反右反
表示 $A$ 可逆

如果 $A$ is non-singular 表示 $Ax = 0$ 只有零解，符合至多一解，也就是 $A$ 有左反

如果 $A$ 是 $n\times n$ 的方陣且 $rank(A) = n$ 就能得出 $A$ 可逆

**以前學的矩陣內容不知不覺串聯起來了**

## 題目 1

(是非題)
> If the rows of an $m\times n$ matrix $A$ are linearly independent, then $Ax = b$ is always solvable.

### 解題 1

$rank(A) = m$ ，所以根據上面有複習的， $Ax = b$ 恆有解沒錯

## 題目 2

(是非題)
> If the row vectors of $A$ are linearly independent, the nullspace $N(A) = \left\{0 \right\}$

### 解題 2

我們說，行獨立才保證這件事
所以答案是 **False**

## 題目 3

(是非題)
> Let $\alpha$ be a basis for a finite dimensional vector space $V$. If $T$ is a linear operator on $V$ then $T$ is onto if and only if $T(\alpha)$ is a basis for $V$

### 解題 3

$T$ 是 linear operator on $V$ 這句話是說 $T\in\mathcal{L}(V,V)$

前後空間相同表示 $T$ 的矩陣表示是個方陣
所以如果 $T$ onto 那麼它一定也是 1-1 ，也就是說 $T$ 可逆
(我們思考上直接把映射跟矩陣想成一件事，這樣你只要抓到一個切入點就能開始思考，然後秒殺題目)

$T$ 可逆表示表示他保獨立又保生成，所以 $T(\alpha)$ 還會是 $V$ 之 basis

***

就算不直接談什麼保獨立保生成，你也還是能相信，本來 $\alpha$ 就是 $V$ 之 basis ，現在我們又知道 $T(\alpha)$ 仍然在 $V$ ，還 onto ，不難直覺想到這東西生成 $V$
又我們知道 $\alpha$ 本來就獨立 in $V$ 表示如果有線性組合使 $\alpha$ 的這些向量組合後為 $0$ ，這些係數肯定只會都是 $0$
而 $T(\alpha)$ 也同樣會得出這結論 ，所以它也獨立 in $V$

選擇題的話，就直接打勾了

## 題目 4

(是非題)
> If $v$ is **not** a linear combination of $\left\{ u_1,u_2,\cdots ,u_k \right\}$, then $rank(\begin{bmatrix}
u_1 & \cdots & u_k & v
\end{bmatrix}) = rank(\begin{bmatrix}
u_1 & \cdots & u_k
\end{bmatrix} )+1$.

### 解題 4

這表示 $v$ 本身不會與 $u_1,\cdots ,u_k$ 任一行相依
所以可想而知會比本來的 rank 多 $1$ (多一個獨立行) ，合理
答案是 **true**