# 【資工考研】特徵理論 - 相似

線性代數複習重點摘要

## 方陣的相似

$A\sim B\Leftrightarrow A = PBP^{-1}\text{ for some invertible P}$

相似是一種等價關係，等價關係離散有教：

**設 $R$ 為 $A$ 上之二元關係，若 $R$ 具反身性、對稱性及遞移性，則稱 $R$ 為一等價關係**

我們可以檢驗一下：

1. 反身性： $A\sim A$
2. 對稱性： $\text{if }A\sim B \text{ then }B\sim A$
3. 遞移性： $\text{if }A\sim B\text{ and }B\sim C\text{ then }A\sim C$

另外還可以有一些小結論

給定 $T\in\mathcal{L}(V,V)$ ，以及 $V$ 的兩組基底 $\beta$ 及 $\gamma$ ，則 $\left[ T \right]_\beta\sim \left[ T \right]_\gamma$
(這邊是之前講的[矩陣表示法](https://hackmd.io/@RyoukiWei/BJ9WGk7n0))

如果已經知道 $A = \alpha I$ 則結合上面的定義不難再得到：
$B\sim A \Rightarrow B = \alpha I$

## 相似六保

若 $A\sim B$ 則**以下為真**：

1. $tr(A) = tr(B)$
2. $det(A) = det(B)$
3. $rank(A) = rank(B)$
4. $nullity(A) = nullity(B)$ (就是 $dim(ker(A))$)
5. $p_A(z) = p_B(z)$
6. $\sigma (A) = \sigma (B)$

最後兩個如果還不知道就先擱著
前面四個應該很好證明

例如 $tr(A) = tr(PBP^{-1}) = tr(P^{-1}PB) = tr(B)$
算是用了一點 trace 的小性質

註：如果不知道的話，我這線代複習摘要不會什麼都講。過度基本的都不會提，請讀者自行學習

- $det(A) = det(PBP^{-1}) = det(P)det(B)det(P^{-1}) = det(B)$
- $rank(A) = rank(PBP^{-1}) = rank(BP^{-1}) = rank(B)$ (見 [rank 的複習](https://hackmd.io/@RyoukiWei/SyxCawPS2A))
- by 維度定理， $n = rank (A) + nullity(A) = rank(B) + nullity(B)$ ，又 $rank(A) = rank(B)$ ，故得證

至於算子的 trace 或行列式，以前講過矩陣跟算子就差找個基底
所以應該不難想，只要找到 $V$ 的基底 $\beta$ 用矩陣表示法得算子 $T$ 的矩陣表示，再對它取 trace 、行列式就是了

## 題目 1

(是非題)
> If matrics $A$ and $B$ are row equivalent, then they are also simiar.

### 解題 1

列等價只是說存在可逆 $P$ 使得 $PA = B$
但跟相似還是有距離的

舉個反例

$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$

所以答案是 **False**

## 題目 2

> If $A$ and $B$ are invertible and similar, which of the following statements are ture?
> (A) $(A-5I) \sim (B-5I)$
> (B) $A^T\sim B^T$
> (C\) $A^2\sim B^2$
> (D) $A^{-1}\sim B^{-1}$
> (E) $AB\sim BA$

### 解題 2

A: (A)(B)(C\)(D)(E)

題目已經說 $A\sim B$ 了，所以我們可以找到可逆 $P$ 使得 $A = PBP^{-1}$

(A) $A-5I = PBP^{-1}-5PIP^{-1} = P(B-5I)P^{-1}$
(B) $A^T = (PBP^{-1})^T = P^TB^T(P^{-1})^T$, 可逆 $P$ 轉置後仍可逆
(C\) $A^2 = PBP^{-1}PBP^{-1} = PB^2P^{-1}$
(D) $A^{-1} = (PBP^{-1})^{-1} = PB^{-1}P^{-1}$
(E) $AB = B^{-1}(BA)B$ 畢竟題目有說 $A$, $B$ 皆可逆，換句話說，沒有這條件就無法成立了。舉個反例：$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}$