# Offene Dynexite-Projekte für die HM2
###### tags: `Dynexite`, `HöMa`, `HM2`

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## Planung Repetitorium WiSe2021

Vorlesungsbeginn: 11. Oktober
Repetitoriumsbeginn: 18. Oktober
Vorlesungsunterbrechung: 1. November (Allerheiligen), 24. Dezember bis 7. Dezember
Vorlesungsende: 4. Februar
Prüfung: 14. Februar

Semesterwochen (jeweils Montag):
- 18. Oktober → Übung 1 (Integration, im SoSe21 Übung 2)
- 25. Oktober → Übung 1 (BPT1 27.-31. Oktober)
- 1. November → Übung 2 (Rep. am 2. November ✓) (im SoSe21 Übung 3)
- 8. November → Übung 2 (BPT2 10.-14. November)
- 15. November
- 22. November
- 29. November
- 6. Dezember
- 13. Dezember → Übung 5
- 20. Dezember → Übung 5
- 10. Januar → Übung 6 (Beginn Eigenwertprobleme, im SoSe21 Übung 7)
- 17. Januar → Übung 6
- 24. Januar → Übung 7 (Vertiefung Eigenwertprobleme, im SoSe21 ebenfalls Übung 7)
- 31. Januar → Übung 7 (letzter BPT 2.–6. Februar, eine große Anwendungsaufgabe für Eigenwertprobleme ähnlich zu Klausurteil 1)

## Blatt 7 – Darstellungsmatrix (Wdh), Diagonalisierbarkeit, Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume, Definitheit, Matrixnormen, Singulärwertzerlegung

*Hashtag:* `hm2ss21ü7`, `HM2`

### Erfolge

- Charakteristisches Polynom in präparierten Beispielen geschickt auszurechnen
- Sehr viele grundlegende Beispiele der Eigenwertrechnung und Hauptachsentransformation
- Sehr viele Anwendungen der Eigenwertrechnung:
- Potenzen / Wurzeln von Matrizen
- Singulärwertzerlegung
- Matrix mit Drehanteil
- Quadriken
- Matrixnormen ...
- Definitheit verbunden mit Gerschgorin-Kreisen

### Notation korrigieren oder klären

- Eigenräume:
- In der Vorlesung $\operatorname{Eig}_A(\lambda)$
- In der Dynexite-Übung $\operatorname{Eig}_{\lambda}(A)$
- In der schriftlichen Übung nicht benutzt

### Programmiertechnisch wünschenswert

- Sarrus-Solver und größerer Solver für charakteristische Polynome im Front-End anpassen
- In allen Aufgaben die Solver auf den aktuellsten Stand bringen:
- DeterminantSolver
- CharPolySolver

### Offene Projekte

- weitere Aufgaben mit Darstellungsmatrix
- Anwendung quadratische Rekursionsformel als Eigenwertproblem
- Eigenwertanalyse einer Begleitmatrix eines Polynoms
- Optional: Grenzwert stochastischer Matrizen (Robert, evtl. Klausuraufgabe für Teil 1?)
- Darstellungsmatrix → Vinh
- Grundlegende Beispiele wurden für Übung 6 erstellt, `#darstellungsmatrix`
- Weitere Aufgabenstellungen mit erhöhter Komplexität?
- Blatt 6, Aufgabe A9 und B8, mit Komposition von Abbildungen und unbekannter (aber irrelevanter) Basis in der Mitte (man könnte auch eine hässliche Basis angeben, falls Leute unbedingt rechnen wollen...)
- Blatt 7, Aufgaben A1 und B1

## Blatt 6 – Skalarprodukt, Orthogonalität, Gram-Schmidt-Verfahren, Vektorprodukt, Darstellungsmatrix, Basiswechsel

### Achievements and problems

- Grundlegende Aufgaben zu Skalarprodukt, Kreuzprodukt und geometrische Interpretation ✓
- Mengenbeschreibung mittels Skalarprodukt
- Aufgabe A1 umgesetzt, aber Aufgabe B1?
- Gram-Schmidt implementiert für Vektoren und Polynome ✓
- Vielleicht zu speziell, um es gänzlich modularisiert aufzuziehen?
- Beispiele mit moderaten Zahlenwerten in der Rechnung schwer zu finden ✗
- Orthogonalprojektion
- mehrere Lösungswege, Normalengleichung am handhabbarsten
- Gram-Schmidt oft mit riesigen Werten → didaktischer Nutzen!
- Ausgleichsprobleme
- leicht anpassbar, zunächst für Ausgleichsgerade und Ausgleichsparabel implementiert
- Fourier-Koeffizienten
- Basisdarstellung linearer Abbildungen
- verschiedene Arten der Aufgabenstellungen für $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$, Basiswechsel mit oder ohne Invertierung
- Für Abbildungen zwischen Polynomräumen, verbunden mit Frage nach Injektivität / Surjektivität / Bijektivität

### Offen und Verbesserungsvorschläge

- Mengenbeschreibung im Stil von Aufgabe B1 (vereinfacht im vgl. zu A1), evtl. interessant für Klausur
- Im Aufgabenblatt haben Basisvektoren von ONBs auch Wurzeleinträge. Tatsächlich ist das kein großes Problem. Könnte man soetwas auch generisch erzeugen? → Taucht bei Eigenwertproblem mit komplexen Eigenwerten wieder auf

### Für die Klausur

- Klausurteil I: Irgendwas mit Skalarprodukt auf Funktionen?
- Klausurteil III: A2, A7, B5, B6, H3

## Blatt 5 – Determinanten, Lineare Abhängigkeit, Vektorraum-Basis

### Erfolge

- Determinantensolver mit schönen Annotationen, verschiedene Aufgaben zusammengestellt
- Cramer'sche Regel
- Lineare Abhängigkeit / Basisauswahl / Basisvereinfachung / Zeilenraum / Spaltenraum / Kern / Basisdarstellung / Dimension

### Notation korrigieren oder klären

- Kern, Bild usw.
- In der Vorlesung $\ker$
- In dieser Dynexite-Übung abweichend $\operatorname{Kern}$, in späteren Übungen dann doch $\ker$.

### Offene Projekte

- Bei Determinanten
- Aufgabe: Sarrus klappt *nicht* für $4\times 4$.
- Mit Parameter
- Spalten- oder Zeilenoperation: Auswahl nach Kriterium, welche Variante nächsten kleinsten Nicht-Null-Eintrag liefern würde
- "Ugly-Value" aktuell sehr sehr ungeschickt implementiert!
Besser erschiene: Zwei hässliche Werte platzieren, aber nur einer taucht im Ergebnis auf.
- Zu linearer Abhängigkeit:
- Komplexe Zahlen fehlt
- Parameterabhängig?

### Optional für die Zukunft

Teil-1-Aufgaben in Klausur: Allgemeine Determinantenformeln?
Teil-3-Aufgaben aus Theoriefragen dieses Blattes...

## Blatt 4 – Fortsetzung lineare Gleichungssysteme, LR-Zerlegung

**Hastags:** `HM2`, `hm2ss21ü4`, `lineare Algebra`
(Themenbezogen: `LGS`, `matrix`, `komplexe zahlen`, `LR-Zerlegung`, `LU-Zerlegung`)

- komplexe GLS mit Brüchen als Lösung, aber ganzzahliges Ausgangssystem
- unterbestimmte komplexe Gls → Verschoben
- Gls mit Parametern → 2 Varianten
- LR-Zerlegung sehr schön! Für ganze Zahlen, Brüche, verschiedene Pivotisierungsstrategien, numerisch (Stabilität).
- BPT $3\times 3$ ganzzahlig mit Permutation, 3 Punkte
- Sonstiges
- Potenzen von Drehmatrizen ohne Betrag
- Potenzen von gestreckten Drehmatrizen → verbessert gegenüber alter Aufgabe für komplexe Zahlen, da was machen?
- Potenzen von Permutationsmatrizen (2-Zykel + 3-Zykel → 6-periodisch)
- Nilpotente Matrizen → leider zunächst vergessen, war schon fertig

## Blatt 3 – Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Rang, Inverse

**Hastags:** `HM2`, `hm2ss21ü3`, `lineare Algebra`
(Themenbezogen: `LGS`, `matrix`, `gauß`, `komplexe zahlen`)

### Erfolge

- Gauß-Weg-Generator sehr flexibel und menschenfreundlich implementiert, aktuellste Version in
https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/c245ne0ol3qo7res6t7g/edit
- Drei GLS mit unterschiedlicher Art der Lösungsmenge in einer Aufgabe vereint ✓
- Anwendung Neusilber-Legierung – Mischen (im)possible
- Erstes komplexes Gleichungssystem mit ganzzahligem Ergebnis (vgl. A3, B2.b), B4, H2)
- Rang (A6, B7, H5), sehr schön minimalistischer Gauß-Algorithmus
- Matrix-Multiplikation inkl. Transponierte: Sehr offene Aufgabe, flexibel umbaubar mit robustem Code
- Komplexaufgabe Induktion für Matrixpotenzen (von Jonatan)
- Inverse (A6, B7, H5)
- Aufgabe zur Probe für Inversenberechnung (Verständniserweiterung!)

### Offen gelassen

- bei unterbestimmten GLS bisher nur Darstellung mit $z \sim t$. In Zukunft mehr vorgeben?
- hier könnte man verschiedene Darstellungen ausprobieren:
- Eine Lösung, wobei $x_3 = 2 \;\leadsto\; x_1 =$`-1`
- Eine Lösung, wobei $x_3 = 2t \;\leadsto\; x_1 =$`1 - 2*t`
- Lösungsmenge $\left\{\begin{pmatrix} [1] \\ [2] \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} [-2] \\ [3] \\ 2 \end{pmatrix} \colon t \in \mathbb R\right\}$
- Wenn wir Brüche vermeiden können, ganze Zahlen brauchen keine Nachkorrektur!!!
- eindeutig machen mit Vorgabe der freien Variablen
- Rechtsinverse
- Anwendung Spline-Interpolation (siehe MfA1 2018 Blatt 10, Osnabrück, Hausaufgabe 10.4)
- Systemmatrix ist immer gleich. Was variiert werden kann, ist die rechte Seite in den ersten drei Einträgen, d.h. die Funktionswerte. Wiederholung Analysis!)

## Blatt 2 – Integration

„Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst.“

**Hastags:** `HM1`, `HM2`, `hm2ss21ü2`, `Integral`

### Hinweise für neues Semester

Bei Eingabe von Stammfunktionen oder Teil von P.I. Eingaben wie `(2*x-3)*log(2*x)` ok, aber Brüche im Polynom vermeiden, weil sonst zu viele Varianten.

### Arbeitsgrundlage

- Alte Aufgaben unter **Generische Prototypen** mit Hashtag `Integral`
leider meist Einfachauswahl und damit für uns ungeeignet!
- Wir wollen offene Aufgaben mit Abfrage von Zwischenergebnissen, die nicht unbedingt den Weg direkt verraten (je nach Komplexität mehr Zwischenergebnisse)!
- Etwa könnte man als Zwischenergebnis ein Integral abfragen, woran man noch nicht erkennen kann, ob man Partielle Integration oder Substitution anwenden muss, es könnte auch beides möglich sein
- Fokus auf bestimmten Integralen, Stammfunktion bestimmen mal vereinzelt für Partielle Integration und Substitution
- Beispielsweise ist https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/booml68ol3qp51dgvpv0/edit langweilig, dann lieber bestimmt https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/boonprgol3qp51dgvqdg/edit, wobei der Grad hier doch arg übertrieben ist.
- Möglichst Aufgaben derart erstellen, dass leicht zum Verfahren weitere Funktionsbeispiele inzugefügt werden können, viel symbolisch arbeiten, Sympy nutzen: https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/c1qrfhool3qqr9haskeg/edit

### Einstieg: Direkte Anwendung des H.D.I.

→ Maxime (+ Robert)

Bestimmtes Integral für Funktionen, die bekannte Ableitungen von Funktionen darstellen oder deren Stammfunktion direkt hingeschrieben werden kann. Variation vor allem über die Integrationsgrenzen

- $\int (2x-3)^7 + \frac{1}{x^2} \,dx$
- Polynome, vorhandene Aufgabe zu viele Terme, zu speziell (nur ganzzahlige Ergebnisse): https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/c1qrfhool3qqr9haskeg/edit , oder viel zu einfach als Auswahlaufgabe https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bnkmclool3qrt3o14hf0/preview , https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bnkm400ol3qrt3o14hdg/preview , oder als Einfachauswahl völliges Kampfrechnen: https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bpfoulool3qrirlkue6g/edit
- $\sin(2x)$, $e^{2x+1}$, $\frac{1}{(3x-1)^p}$, $\sqrt{x}$, $\sinh(5x+3)$ usw.
- $\frac{1}{\cos^2(3x)}$ (Ableitung von $\tan{3x}$ mit Faktor...)
- Integrand $=$ Ableitung von $\arctan$, $\arccos$, $\operatorname{arsinh}$
- Vertauschte Integrationsgrenzen als Option in der Aufgabe ein- und ausschaltbar
- Gerne lineare Terme im Inneren (lineare Substitution auch hier schon!)
- Auswahl der Integrationsgrenzen abhängig vom Problem (etwa spezielle Winkelfunktionswerte für Integration der trigonometrischen Funktionen)
- Falls Ergebnis nicht mit einem einfachen Ausdruck in eine Lücke eingegeben werden kann, muss man eventuell Eingabe aufsplitten...

### Partielle Integration

Friedrich & Jonatan

- Aufgaben mit 1x P.I. aus Liste gespeist, im zweiten Schritt leichtes Integral
- Zwei Faktoren, $u(x)$ und $v(x)$
- Festlegung, ob $u'$ und $V$ benötigt werden oder $U(x)$ und $v'(x)$ (von Beispiel zu Beispiel variieren), Zerlegung in zwei Faktoren muss auch nicht von Anfang an sichtbar sein.
- $\int \log(1+x/2) \, dx$, siehe B3, oder $\int (ax^p+b) \log(4x) \,dx$, vgl. https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bp60bq8ol3qrirlks7ng/preview bzw. https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bpboengol3qrirlkt5ug/edit
- $\int (ax+b) \sin x \, dx$ (für uns ungeeignete Abfrage und viel zu große Werte in https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/booq7m0ol3qp51dgvs70/preview)
- $\int x^p e^{\alpha x} \, dx$, siehe B4.b) (vllt. nicht zu kompliziert?)
- Aufgaben, wo 2x oder 3x P.I. nötig, Zwischenergebnis abfragen
- $\int \text{Polynom} \cdot \log^2(x) \,dx$, vgl. H3
- Aufgaben, wo noch 1x oder 2x P.I. das gesuchte Integral wieder auftaucht und durch Umstellung bestimmt werden kann
- B4.a)
- https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bp5s758ol3qrirlkruo0/preview
- eine Aufgabe für unbestimmte Integration

Von Roberts bereits: „Integrale mit Alternativwegen“
- $\int \frac{log(x)}{x} \,dx$, siehe auch „Integrale mit Alternativwegen“
- $\int_0^{\pi/2} \sin(x) \cdot \cos(x) \, dx$, P.I. oder Subs, geht beides

### Substitution

Anamika + Vinh + (Robert)

- Eine Durchgeleitete Aufgabe, wo einzelne Schritt / Intervallgrenzen ergänzt werden müssen.
- Einfache Beispiele, mit $u = \varphi(x)$, wo $\frac{du}{dx}$ direkt im Integranden erkennbar ist (eine Aufgabe statt mehrere kreieren, Auswahl aus Liste...)? Anamika
- B4.c) $\int x e^{a+bx^2} \, dx$
- B9 mit $\int \frac{1}{x \log^a(x)} \,dx$
- H8 (Ausführung ohne Resubstitution)
- Logarithmische Integration $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \,dx$, siehe Vorlesung, Folie 28
- https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bp1rph0ol3qrirk2amcg/preview
- https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bpb8ghgol3qrirlkt38g/preview
- https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bp5usc8ol3qrirlks5ng/preview
-
- Nicht direkt erkennbar
- vgl. A2
- H6.a), aber auch direkt $\int \tan(x) \, dx$ (Ist Vorlesungsbeispiel!)
- Zweifach Substitution nötig $\tan(x^p)$
- https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bpb2qk0ol3qrirlkstmg/edit
- https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bpbp3ngol3qrirlkt610/edit
- Beispiele, wo nachgelagert P.I. nötig ist
- etwa $\int_0^2 x \, e^{\sqrt{1+x^2}} \, dx$
- $\int_2^4 e^{\sqrt{2x+1}}\, dx$, siehe A3
- $\int_1^{e^\pi} \sin(\log(x)) \,dx$, siehe H4
- Substitutionstyp mit Winkel- und Hyperbelfunktionen: Vinh
- Integrand enthält $\sqrt{1-x^2}$ im Zähler oder Nenner, substituiere $x = \sin u$ bzw. $\cos u$
- e.g. $\int x\sqrt{1-x^2} \,dx = \int \sin(t) \cos^2(t) \,dt \stackrel{\text{P.I.}}{=}$, no substitution $1-x^2 = y$ also works in this case...
- e.g. $\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \,dx = \int \cot(t) \,dt$, auch logarithmische Integration
- $\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \int \sin(t) \cos(t) \, dt = \int \frac{\sin(2t)}{2} \, dt$
- Integrand enthält $\sqrt{1+x^2}$, substituiere $x = \sinh u$
- Integrand enthält $\sqrt{x^2 - 1}$, substituiere $x = \cosh u$
- eine Aufgabe für unbestimmte Integration (erfordert Rücksubstitution)

### Integrale mit Alternativwegen

P.I. oder Substitution: (Robert fertig ✓)
- $\int_0^{\pi/2} \sin(x) \cdot \cos(x) \, dx$
- $\int \frac{\log(x)}{x} \,dx$ (Substitution $y = \log(x)$)

Offen gelassene Integrationsregel:
- Vgl. Quiz Math2-01 Folie 29/56

### Integration rationaler Funktionen

→ Jona + Felix
- A4 braucht Polynomdivision und Partialbruchzerlegung
- Trick statt Koeffizientenvergleich: Spezielle $x$ einsetzen
- Achtung, nicht über Polstelle hinwegintegrieren!!! Lieber Stammfunktion von $\frac{1}{x-a}$ als $\log(x-a)$ für $x>a$ angeben, bzw. $\log(a-x)$ für $x < a$, denn $\log|x-a|$ verleitet zu Fehlern! Daher bevorzugt bestimmte Integration
- Fall doppelter Nullstelle
- Siehe A5.b), B5.b), B6.a)
- Paar komplexer Nullstellen: $\int \frac{1}{1+y^2} \,dy = \arctan(y)$
- B5.a), H7
- A5.c), B6.b) ist etwas overkill, vllt. unten einfache quadratisches Polynom stehen haben, nicht Quadrat eines quadratischen Polynoms, Tricks herausfiltern und in einzelne Aufgaben packen
- Substitution für $\int \frac{2y}{y^2-4} \,dy = \log(y^2-4)$
- Zurückführung auf rationale Funktionen durch Substitution in B7
- Einmal mit fast alles: H5
- **Übersicht über alle Typen nach Zerlegung im Foliensatz Math2-01, Folie 35/56** https://moodle.rwth-aachen.de/pluginfile.php/1423844/mod_page/content/23/Vorlesung1.pdf
- Nützliche sympy-Funktionen:
- Partialbruchzerlegung: `apart(Ausdruck)`
- Falls Zerlegung tatsächlich möglich: `apart(Ausdruck).args` liefert Tupel der Summanden
- Die Partialbruchzerlegung verstehen:

        from sympy import apart, Add, Pow, denom, numer, Poly
        from sympy.abc import x
        
        f = x**7/((x+1)*(x**2+2*x+4)**2)
        Nenner_ausmultipliziert = denom(f).expand()
        Nenner_faktorisiert = denom(f).factor()
        
        Zerlegung = apart(f)
        
        if type(Zerlegung) == Add:
            Nennerliste = [denom(term) for term in Zerlegung.args]
            Zaehlerliste = [enum(term) for term in Zerlegung.args]
            Nennercoeffs = [Poly(term).all_coeffs() for term in Nennerliste]
        else:
            Nennerliste = [denom(Zerlegung)]
            Zaehlerliste = [enum(Zerlegung)]
        Basispolynome = [term.args[0] if type(term) == Pow else term for term in Nennerliste]
        Basispolycoeffs = [Poly(term).all_coeffs() for term in Basispolynome]

### Integrale mit trigonometrischen Formeln

- Pythagoras und Doppelwinkelformel, Vgl. A6.a) &rarr; Robert
- Halbwinkelmethode $x = \tan\frac{y}{2}$ aufbauend auf Integration rationaler Funktionen, A6.b) B7.c), H6.b) &rarr; Experimentierstube eingerichtet...

### Uneigentliche Riemann-Integrale

Robert &rarr; erstmal nur die anderen Aufgaben übernommen, welche aber so schlecht implementiert sind, dass man sie nicht um weitere Beispiele erweitern will...

- $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx$
- $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \,dx$ siehe A7
- $\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{1+x^2}$ siehe A8
- $\int_{-\infty}^0 x e^x \,dx$, siehe B8, parametrisieren?
- $\int_0^\infty x^n e^{-x} \, dx = n!$ (Lückentext für Teil-1-Klausuraufgabe?)
- Frage Nach Existenz erfordert eigentlich etwas Theorie mit Begründungsvorlagen:
- https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bp5pp0gol3qrirlkrsmg/preview
- Sehr einfach abgesehen von den übertrieben großen Werten und der komischen Abfrage: https://dynexite.rwth-aachen.de/t/items/bpf5f3ool3qrirlku570/preview

### Flächenberechnung
&rarr; Vertagt, wird auf Übungszettel ge'übt, aber evtl. in Klausur?

- Statische qualitative Skizze?
- Anforderung:
- Schnittpunkt ausrechnen &rarr; B2
- Zusammengesetzt aus Integralen über verschiedene Bereiche &rarr; H2.a)
- Wegen Berücksichtigung des Vorzeichens nicht einfach über den gesamten Bereich integrieren &rarr; H2.b)

### Riemann'sche (Zwischen-)Summen

Prototyp fertig von Robert &check;
Weitere Beispiele &rarr; Maxime?

- leicht erkennbare Beispiele, z.B.
- B1, möglichst leichtes Integral
- Schwerer zu erkennende Beispiele,
- $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} = \int\limits_1^2 \frac{1}{x} \, dx = \log(2)$, allgemeiner in H1
- $\int \frac{1}{\sqrt{x}}$ ...

### Ergänzungen

#### komplizierte bestimmte Integrale mit Symmetrie

Das ist eine gute Quelle für neue Ideen!!!
https://www.youtube.com/watch?v=BfZObnTIsYk

#### Feynman's Technique

https://www.youtube.com/watch?v=Fm2IbzUbgrs

## Blatt 1 – Anwendung der Differentialrechnung

Hashtags: `HM1`, `HM2`, `hm2ss21ü1`

### Achievements
- Ableitung Umkehrfunktion
- Implizit: Linear mal Exponentiell, kubisches Polynom, kombiniert mit Monotoniebereichen
- Umkehrfunktion speziell von $\arcsin$, $\operatorname{artanh}$ usw. (Nachtrag aus altem Semester)
- Zwischenwertsatz inklusive Optimierung:
- Polynome höheren Grades
- Polynom mal Exponentiell
- Konvexitäts- und Konkavitätsbereiche
- Taylor-Reihen
- Spezielle Taylor-Reihen für $\sin$ & $\cos$ erkennen
- Taylor-Polynom aufstellen für Verkettung von zwei oder drei elementaren Funktionen, Koeffizienten exakt in Textfeld eingeben (nicht mehr nur ganzzahlig) $exp(\sin^2(4x))$ um $\pi/16$ u.ä.
- Cauchy-Restgliedabschätzung für einfache Taylor-Approximation
- Taylorreihe von $\frac{1}{a-x}$ um $x = x_0 \neq a$ mithilfe geometrischer Reihe
- Lagrange-Restglied in Übung
- Cauchy-Restglied in BPT
- Cauchy-Produkt für $\displaystyle \frac{1}{a-x} \cdot \frac{1}{b-x} = \left(\frac{1}{a}\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{x}{a}\right)^k\right) \cdot \left(\frac{1}{b}\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{x}{b}\right)^k\right)$
- Newton-Verfahren
- Ausführung am Beispiel 3.-Wurzel
- Konvergenzgeschwindigkeit für $p$-te Wurzeln, $p \geq 5$.

### Offen gelassen
- Anwendungen des Mittelwertsatzes?
- Einschätzung: Eher Theoriebaustein Richtung l'Hôpital
- stattdessen allgemeiner Restglieder für Taylorapproximation intensiv abgedeckt
- Newton-Verfahren:
- Beispiel langsamer Konvergenzgeschwindigkeit &rarr; Abschätzung, wie viele Schritte mindestens gebraucht werden?
- Schnelle Konvergenz für 3. und 4. Wurzel mit Cauchy-Restglied?
- *Bislang zu viele Beispiele für „Polynom höherer Ordnung“ und „Polynom mal Exponentiell“, in Zukunft (auch in der Klausur) mehr Vielfalt?*
- Umkehrfunktion, Zwischenwertsatz, Konvexität und Konkavität