[TOC]
# Vector Algebra
## Scalar or Dot Product
## Coordinate Systems

# Vector Calculus
- **向量微積分涉及對向量進行微積分運算的應用。<br>即使不涉及電磁學，我們也將展示這些定義是對熟悉概念的簡單擴展，並簡化了許多計算中的重要方面。<br>特別討論線積分、表面積分和體積積分的概念，以及梯度、散度和旋度的基本概念，還有散度定理和斯托克斯定理。這些概念對理解電磁場具有基礎性的重要性。與向量代數一樣，運算和概念數量相對較少。**
## Line Integrals
:::info
**在定義線積分之前，考慮一個非常簡單的例子，即計算由力所做的功，如圖 2.1a 所示。假設這個力是空間依賴的，並且在平面內朝著任意方向作用。為了計算這個力所做的功，可以將這個力分解成它的兩個分量並寫出來。**
:::

## Example

## Surface Integrals

<!--## Volume Integrals
-->
## Gradient(梯度), $\nabla$
- **依據泰勒展開如果有一個點$V(x,y,z)$另有一點$V'(x+dx,y+dy,z+dz)$時，$V'=V+dV。$**
$$
V'=V(x,y,z)+\frac{\partial V}{\partial x}dx+\frac{\partial V}{\partial y}dy+\frac{\partial V}{\partial z}dz...\approx V+dV \quad (Eq 2.1)
$$
$$
\nabla=\frac{\partial }{\partial x}a\hat x+\frac{\partial }{\partial y}a\hat y+\frac{\partial }{\partial z}a\hat z
$$
## Divergence(散度), $\nabla\cdot \vec{F}$
- *Divergence Theorem (散度定理):*
$$
\nabla \cdot\vec{A}=\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\oint_s\vec{A}d\vec{s}}{\Delta V}
$$
- **一個點函數，作用於一個點。因為 $\Delta V\to0$**
$$
\int(\nabla\cdot\vec{A})dv=\oint_s\vec{A}\cdot d\vec{s}
$$
$$
\begin{aligned}
\int(\nabla\cdot\vec{A})dv&=(\int_{up}..\int_{right})\vec{A}d\vec{s} \\
\end{aligned}
$$

## Curl(旋度), $\nabla\times \vec{F}$
- *Stokes' Theorem:*
$$
\int(\nabla\times\vec{A})d\vec{s}=\oint_c\vec{A}\cdot d\vec{l}
$$

# 散度定理

# 靜電學
## Coulomb's law
$$
\vec{F}=a\hat{r_{12}}\cdot k\frac{q_1\cdot q_2}{R^2}
$$
$$
\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}
$$


- **By organizing the figure above and combining it with basic mechanics formulas, the following results are obtained.**

|$q_1\cdot q_2$|$\vec{F_e}$|
|--:|--:|
|$\frac{++}{--}>0$|$a\hat{r_{12}}$&emsp;*排斥*|
|$\frac{+-}{-+}<0$|$-a\hat{r_{12}}$&emsp;*吸引*|

### Example
- **找距離電荷R處之電場?A=5 C, B=50 C**
>[!Note]Solution
>A&emsp;=>&emsp;$q_{t_A}=\ \ 5(C),$&emsp;$\vec{F_A}=\ \ 5\cdot \frac{kq}{R^2}a\hat{r_{12}}$
>B&emsp;=>&emsp;$q_{t_B}=50(C),$&emsp;$\vec{F_B}=50\cdot \frac{kq}{R^2}a\hat{r_{12}}$
>$\vec{E}\ =\ \frac{\vec{F}}{q}\ =\ \frac{5}{5}=\frac{50}{50}=1$ (N/C)

- **相同電場、相同距離所受的電場相同。**

## Gauss' law
$$
\nabla \cdot\vec{E}=\oint_s\vec{E}\cdot d\vec{s} \qquad (3.3)
$$
$$
\nabla \times \vec{F}=0 \qquad(3.4)
$$
- Below are the definitions for some variables.<br>
$\rho:charge\ density$ <br>
$\rho_l:linear\ charge\ density$<br>
$\rho_s:surface\ charge\ density$<br>
$\rho_v:volume\ charge\ density$<br>

### Proof
- **Show that equation 3.3**
$$
\int(\nabla\cdot\vec{E})dv=\frac{\rho_v}{\varepsilon_0}\int dv
$$
$$
\qquad\qquad=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{C}{m^3}m^3
$$
$$
\qquad=\frac{1}{\varepsilon_0}C
$$
$$
\qquad\ \ =\frac{1}{\varepsilon_0}Q_{in}
$$
$$
\ \ =\psi
$$
- **Show that equation 3.4**
<br>With Divergence Theorem:
$$
\int(\nabla\times\vec{E})=\int0d\vec{s}
$$
$$
\oint_c\vec{E}d\vec{l}=0
$$

## 庫倫
## 高斯