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# Ordinary Differential Equations
  常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs） 是描述一個或多個未知函數及其導數之間關係的方程。這類方程在數學、物理、工程、經濟學等多個領域中具有廣泛的應用。
## First ODE
  一階微分方程是指含有未知函數及其一階導數的方程。
### Terminology and Seperable Equations
### The Linear First ODE
### Exact Equations
## Second ODE
  二階微分方程是指含有未知函數及其一階和二階導數的方程。
### Homogeneous Equation
### Particular Solutions of the Nonhomogeneous Equation(不考)
### Series Solutions
  級數解法是一種強大的數學工具，能夠在無法得到封閉解的情況下，為微分方程提供有效的近似解。這種方法廣泛應用於物理、工程及其他數學領域，特別是在處理奇點或變係數微分方程時。

- Ex 2.18
$$
y'+2xy=\frac{1}{1-x}
$$

- Ex 2.19
$$
y''+x^2y=0
$$

## The Laplace Transform
  Laplace Transform 是數學中用來將一個函數從時域（time domain）轉換到複數頻域（complex frequency domain）的一種工具。它在工程、物理、控制理論、信號處理等領域中被廣泛使用，尤其是在解決線性微分方程方面。
### Fundamental Formulas
---
- 定義
$$
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt
$$
  **f(t)是需要轉換的對象，依據積分理論可以推導出其對應的拉普拉斯轉換。**

| Time domain | S domain |
| -----------:| --------------------:|
| $t^n$ | $\frac{n!}{S^{n+1}}$ |
| $e^{at}$| $\frac{1}{s-a}$ |
| $t^ne^{at}$| $\frac{1}{(s-a)^{n+1}}$|
| $sin(at)$|$\frac{a}{s^2+a^2}$|
| $cos(at)$|$\frac{s}{s^2+a^2}$|
| $tsin(at)$|$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$|
| $tcos(at)$|$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$|
|$e^{at}sinwt$|$\frac{w}{(s-a)^2+w^2}$|
|$e^{at}coswt$|$\frac{s-a}{(s-a)^2+w^2}$|

#### Problems
- *In each of Problem 1-5, find the Laplace transform of the function*

 **1.**  $f(t)=3tcos(2t)$
$$
f(s) = 3 \cdot \frac{s^2 - 4}{(s^2 + 4)^2}
$$

 **3.**  $h(t)=14t-sin(7t)$
$$
h(s)=14\frac{1}{s^2}-\frac{7}{s^2+49}
$$

 **5.**  $k(t)=-5t^2e^{-4t}+sin3t$
$$k(s)=\frac{-10}{(s+4)^3}+\frac{3}{s^2+9}$$

- *In each of Problem 6-10 find the inverse Laplace transform of the function*

 **7.**  $Q(s)=\frac{s}{s^2+64}$
$$
Q(t)=cos(8t)
$$

 **9.**  $P(s)=\frac{1}{s+42}-\frac{1}{(s+3)^4}$
$$
P(t)=e^{-42t}-\frac{1}{6}t^3e^{-3t}
$$

### Solution of initial Value Problems
---
- **嘗試將Laplace轉換運用到解微分方程，然後，因為初始值非常難找，所以在工程數學中幾乎題目都會明確給予初始值。**
$$
\mathcal{L}\{f'\}(s)=sF(s)-f(0)
$$
**嘗試拓展**
$$
\mathcal{L}\{f^{(n)}\}=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)...
$$
$$
\mathcal{L}\{f''\}(s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)
$$

#### Example 3.2
$$
y'-4y=1;y(0)=1
$$
*Answer:*
$$
y(t)=e^{4t}+\frac{1}{4}(e^{4t}-1)=\frac{5}{4}e^{4t}-\frac{1}{4}.
$$
- **詳細內容請參閱課本p.81**
#### Example 3.3
*Solve*
$$
y''+4y'+3y=e^t;y(0)=0, y'(0)=2.
$$
Answer:
$$
y(t)=\frac{1}{8}e^t+\frac{3}{4}e^{-t}-\frac{7}{8}e^{-3t}.
$$
- **詳細內容參閱p.81~p.82**

- **Problems做1,3,5,7,9**