# 第一講
在這學期課程幾乎以磁學的探討為主

## Biot-savart law
根據實驗觀察所建立的一條經驗定律，主要描述電流元素產生磁場的方式。它的出發點類似於庫倫定律，但是磁場版本，推導其形式主要來自物理對稱性與經驗比對

這條公式比較特別，他沒有甚麼理由就是根據實驗比對後，發現符合事實的定律，所以學習這條公式沒甚麼技巧就是記下來
以下是其數學形式:
If $\mu_0 = 0$

\begin{equation}
\boxed{
\vec{H} = \int \frac{I\,d\vec{L} \times \vec{a}_R}{4\pi R^2}
} \tag{eq 1.0}
\end{equation}
### 重要特性
- 方向判斷：右手定則
- 拇指指向電流方向
- 四指彎曲方向即磁場環繞方向
- 衰減特性：與距離平方成反比 (1/r²)
- 垂直關係：d𝐁 同時垂直 d𝐥 和 𝐫

### 應用實例
- 直線電流
- 環線電流
- 螺線管
- 帶狀電流

## 直線電流
### 分析流程
- 找出電流源位置向量（路徑向量）
- ex. $Id\vec{L}$
- 是電流的微小向量
- 找出電流源與觀察點 (場點) 的相對位置向量
- ex. $\vec{R}=\vec{R_T}-\vec{R_S}$
- 向量描述了電流源到觀察點的空間關係
- 找出相對位置單位向量
- ex. $\hat{a_R}=\frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$
- 帶入 Bios-savart law
\begin{align}
\vec{H} &= \int \frac{I\,d\vec{L} \times \vec{a}_R}{4\pi R^2}
\end{align}

 $$直線電流\tag{Fig. 1.1}$$
### 推導流程
- 電流源向量 $d\vec{l'}$
- $d\vec{l'}=dz' \hat{a_z}$
- 電流源到觀察點 (場點) 的相對位置向量 $\vec{R}$
- $\vec{R}=r-r'$
- $r'=z' \hat{a_z}$
- $r=\rho \hat{a_{\rho}}$
- $\vec{R}=r-r'=\rho \hat{a_{\rho}}-z' \hat{a_z}$
- 相對位置單位向量 $\hat{a_R}=\frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$
- $\hat{a_R}=\frac{\rho \hat{a_{\rho}}-z' \hat{a_z}}{(\rho^2+z'^2)^{1/2}}$
- 帶入 Bios-savart law
\begin{align}
\vec{H} &= \int \frac{I\,d\vec{L} \times \vec{a}_R}{4\pi R^2} \\
&= \int_{z'=-\infty}^{z'=\infty} \frac{I\,dz' \, \hat{a_z} \times (\rho \hat{a_{\rho}} - z' \hat{a_z})}{4\pi (\rho^2 + z'^2)^{3/2}} \\
&= \frac{I\rho a\hat{\phi}}{4\pi}\int_{z'=-\infty}^{z'=\infty} \frac{1}{(\rho^2 + z'^2)^{3/2}} dz' \\
&= \frac{I\rho a\hat{\phi}}{4\pi}\frac{z'}{\rho^2(z'^2+\rho^2)^{1/2}} |_{-\infty}^{\infty} (無限長)\\
&= \frac{I\rho a\hat{\phi}}{4\pi} \frac{2}{\rho^2} \\
&=\frac{Ia\hat{\phi}}{2\pi\rho}
\end{align}
- $\rho, \phi, z=>z\times\rho=\phi, z\times z=0$
- ***proof:***
$$
\int_{z'=-\infty}^{z'=\infty} \frac{1}{(\rho^2 + z'^2)^{3/2}} \, dz'
$$
- 提出 $\rho$
$$\int_{z'=-\infty}^{z'=\infty} \frac{1}{\rho^3(1+(\frac{z'}{\rho})^2)^{3/2}} \, dz'$$
- 因為 $\frac{z'}{\rho}=tan\theta, z'=\rho \,tan\theta=>dz'=\rho\,sec^2\theta$
$$
\frac{1}{\rho^3}\int_{z'=-\infty}^{z'=\infty} \frac{\rho\,sec^2}{\sec^3\theta}
$$
- 可以消去 $\rho \,\sec\theta$
$$
\frac{1}{\rho^2}\int_{z'=-\infty}^{z'=\infty} \frac{sec^2}{\sec^3\theta} =
\frac{1}{\rho^2}\int_{z'=-\infty}^{z'=\infty} \frac{1}{\sec\theta}
$$
- $1/\sec =\cos$
$$
\frac{1}{\rho^2}\int_{z'=-\infty}^{z'=\infty} \cos\theta=\frac{1}{\rho^2}\sin\theta
$$
- 根據三角的知識可以知道
$$
\frac{z'}{\rho^2(z'^2+\rho^2)^{1/2}}
$$
- 而範例中，範圍應該是 $2/pi, -2/pi$
$$
2/\rho^2
$$

### 直線電流產生的磁場公式為
\begin{equation}
\boxed{
\vec{H} = \frac{Ia\hat{\phi}}{2\pi\rho} \tag{eq 1.1}
}
\end{equation}

## 環線電流
$$環線電流\tag{Fig. 1.2}$$
### 推導流程
- 找出電流源位置向量（路徑向量）
- ex. $Id\vec{L}$
- 是電流的微小向量
- $d\vec{L}=aa\hat{\phi}d\phi$
- $Id\vec{L}=Iaa\hat{\phi}d\phi$
- 找出電流源與觀察點 (場點) 的相對位置向量
- ex. $\vec{R}=\vec{R_T}-\vec{R_S}$
- 向量描述了電流源到觀察點的空間關係
- $\vec{R}=\vec{-r'}+\vec{r}=-a\hat{a_{\rho}}+h\hat{a_z}$
- 找出相對位置單位向量
- ex. $\hat{a_R}=\frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$
- 帶入 Bios-savart law
- $\hat{a_R}=\frac{-a\hat{a_\rho}+h\hat{a_z}}{R}$

- 帶入Bios-savart law:
\begin{align}
\vec{H} &= \int_{\phi=0}^{2\pi} \frac{I\,ad\phi \hat{a_\phi} \times (h\hat{a_z}-a\hat{a_\rho})}{4\pi (h^2+a^2)^{3/2}} \\
&= \int_{\phi=0}^{2\pi} \frac{I\,ad\phi (h\hat{a\rho}+a\hat{a_z})}{4\pi (h^2+a^2)^{3/2}}
\end{align}

$$
環線電流磁場作用示意圖\tag {Fig. 1.3}
$$

$\rho$ 方向的向量都向外，會相互抵消
\begin{align}
\vec{H} &= \int_{\phi=0}^{2\pi} \frac{I\,a^2d\phi\hat{a_z}}{4\pi (h^2+a^2)^{3/2}} \\
&= \frac{Ia^2\hat{a_z}}{4\pi (h^2+a^2)^{3/2}} \int_{\phi=0}^{2\pi} d\phi \\
&= \frac{Ia^2}{2 (h^2+a^2)^{3/2}}\hat{a_z}
\end{align}

### 環線電流產生的磁場公式為
\begin{equation}
\boxed{
\vec{H} = \frac{Ia^2}{2 (h^2+a^2)^{3/2}}\hat{a_z} \tag{eq 1.2}
}
\end{equation}

## 螺線管(Solenoid)
$$
螺線管磁場作用示意圖\tag {Fig. 1.4}
$$
### 分析流程
$$
螺線管磁場作用分析\tag {Fig. 1.5}
$$
### 推導流程
- 求出電流牆微厚度線圈電流
- $dI=\frac{N}{h}\vec{I}dz$
- 找出微厚度線圈電流 在 觀察點 P 的磁場
- $d\vec{H_p}=\frac{dIa^2}{2(z^2+a^2)^{3/2}} \hat{a_z}$
- 將所有厚度磁場相加
- $\vec{H}=\int_{-z-h/2}^{-z+h/2} \frac{a^2\hat{a_z}}{2(z^2+a^2)^{3/2}} dI$

\begin{align}
\vec{H} &= \int_{-z-h/2}^{-z+h/2} \frac{a^2\hat{a_z}}{2(z^2+a^2)^{3/2}} dI \\
&= \int_{-z-h/2}^{-z+h/2} \frac{a^2\hat{a_z}N\vec{I}}{2h(z^2+a^2)^{3/2}} dz \\
&= \frac{NIa^2}{2h} \int_{-z-h/2}^{-z+h/2} \frac{\hat{a_z}}{((z^2+a^2))^{3/2}} dz \\
&= \frac{NIa^2}{2h} \int_{-z-h/2}^{-z+h/2} \frac{\hat{a_z}}{a^3((\frac{z}{a})^2+1^2)^{3/2}} dz\\
&= \frac{NIa^2}{2h} \int_{-z-h/2}^{-z+h/2} \frac{a\sec^2\theta}{a^3(\sec^2\theta)^{3/2}} d\theta\hat{a_z}\\
&= \frac{NI}{2h} \int_{-z-h/2}^{-z+h/2} \frac{\sec^2\theta}{\sec^3\theta} d\theta\hat{a_z}\\
&= \frac{NI}{2h} \int_{-z-h/2}^{-z+h/2} \frac{1}{\sec\theta} d\theta\hat{a_z}=\frac{NI}{2h} \int_{-z-h/2}^{-z+h/2} \cos\theta d\theta\hat{a_z}\\
&= \frac{NI}{2h} \sin\theta |_{-z-h/2}^{-z+h/2} \hat{a_z}\\
&= \frac{NI}{2h} \left[ \frac{z+h/2}{\sqrt{(z+h/2)^2+a^2}}-\frac{z-h/2}{\sqrt{(z-h/2)^2+a^2}} \right]\hat{a_z}
\end{align}

### 螺線管電流產生的磁場公式為
\begin{equation}
\boxed{
\vec{H} = \frac{NI}{2h} \left[ \frac{z+h/2}{\sqrt{(z+h/2)^2+a^2}}-\frac{z-h/2}{\sqrt{(z-h/2)^2+a^2}} \right] \hat{a_z} \tag{eq 1.3}
}
\end{equation}

## 帶狀電流

### 分析流程
$$
帶狀電流磁場作用分析\tag {Fig. 1.7}
$$
### 推導流程
- 求出一微量面電流並將所有微量面電流磁場加總
- $Id\vec{L}=K_zdxdz\hat{a_z}$

- 帶入直線電流 Bios-savart law
- $\vec{H} = \frac{Ia\hat{\phi}}{2\pi\rho}$

\begin{align}
d\vec{H} &= \frac{Ia\hat{\phi}}{2\pi\rho} \\
\vec{H}&= \int_{-d}^{d}\frac{K_zdx(\hat{a_z}\times\hat{a_R})}{2\pi\rho} \\
&=\int_{-d}^{d}\frac{K_zdx(\hat{a_z}\times(a\hat{a_y}-x\hat{a_x}))}{2\pi(x^2+a^2))} \\
&= \int_{-d}^{d} \frac{K_zdx(\hat{a_z}\times(a\hat{a_y}-x\hat{a_x}))}{2\pi(x^2+a^2))} \\
&= \int_{-d}^{d} \frac{K_zdx(-a\hat{a_x}-x\hat{a_y})}{2\pi(x^2+a^2))} \\
&= \frac{K_z}{2\pi} \int_{-d}^{d} \frac{dx(-a\hat{a_x}-x\hat{a_y})}{(x^2+a^2)} = \frac{K_z}{2\pi} \left[ \int_{-d}^{d} \frac{-a\hat{a_x}}{(x^2+a^2)}dx-\int_{-d}^{d} \frac{x\hat{a_y}}{(x^2+a^2)}dx\right] \\
&= \frac{K_z}{2\pi} \int_{-d}^{d} \frac{-a\hat{a_x}}{(x^2+a^2)}dx = \frac{K_z}{2\pi} \int_{-d}^{d} \frac{-a^2\sec^2\theta}{a^2(\tan^2\theta+1)}d\theta\hat{a_x} \\
&= \frac{K_z}{2\pi} \int_{-d}^{d} \frac{-\sec^2\theta}{\sec^2\theta}d\theta\hat{a_x} = \frac{-K_z}{2\pi} \int_{-d}^{d} d\theta\hat{a_x}= \frac{-K_z}{2\pi}\hat{a_x} \theta|_{-d}^{d} \\
&= \frac{-K_z}{2\pi}\hat{a_x} (\tan^{-1}(\frac{x}{a}))|_{-d}^{d} = \frac{-K_z}{2\pi}\hat{a_x} 2(\tan^{-1}(\frac{d}{a})) \\
&= \frac{-K_z}{\pi}\hat{a_x} \tan^{-1}(\frac{d}{a}) ....if\, \, d>>a\,\, =\frac{-K_z}{2}\hat{a_x}
\end{align}

根據對稱性可以知道， $\hat{a_y}$ 那項是0

# 第二講
## 安培環路定律
- 與路徑無關
$$
\oint \vec{H}\cdot d\vec{L}=I_{enc}
$$
### 線電流產生的磁場
- 根據 bias-savart law $\vec{H}=H_{\phi} \hat{a_{\phi}}$, $d\vec{L}=\rho\hat{a_{\phi}}d\phi$
- $\vec{H}$ 方向同時垂直
- 電流方向 $z$
- 觀察點空間向量 $\rho$

- 帶入安培環路 law
$$
\begin{align}
\oint \vec{H}\cdot d\vec{L}&=I_{enc} \\
\oint (H_{\phi} \hat{a_{\phi}})(\rho\hat{a_{\phi}}d\phi)&= I_{enc} \\
\int_{0}^{2\pi} \rho H_{\phi}d\phi&= I_{enc} \\
I_{enc} &= \rho H_{\phi}2\pi
\end{align}
$$
最後，
$$
\boxed{H=\frac{I}{2\pi\rho}\ \hat{a_{\phi}}} \tag{eq.2.1}
$$

### 面電流產生的磁場
- 根據安培右手定則

### 柱電流產生的磁場