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# n 維向量外積 (Cross Product)

Cross Product 需在 3 維中方可得，其結果為一向量。

# 3D

$$
\cases{
\vec{u} = \pmatrix{u_1\\u_2\\u_3}\\
\vec{v} = \pmatrix{v_1\\v_2\\v_3}\\
\vec{n}=\pmatrix{x\\y\\z}
}
$$

$\vec{n}$ 為垂直於 $\vec{u}, \vec{v}$ 的向量，則

$$
\cases{
\vec{u}\cdot\vec{n} = 0\\
\vec{v}\cdot\vec{n} = 0\\
}\implies \cases{
u_1x+u_2y+u_3z = 0\\
v_1x+v_2y+v_3z = 0\\
}\\
\implies\cases{
u_1x+u_2y= -u_3z\\
v_1x+v_2y= -v_3z\\
}\\
\begin{array}l
x&=-\dfrac{\vmatrix{u_3&u_2\\v_3&v_2}}{\vmatrix{u_1&u_2\\v_1&v_2}}z=\dfrac{\vmatrix{u_2&u_3\\v_2&v_3}}{\vmatrix{u_1&u_2\\v_1&v_2}}z\\
y&=-\dfrac{\vmatrix{u_1&u_3\\v_1&v_3}}{\vmatrix{u_1&u_2\\v_1&v_2}}z\\
z&=z
\end{array}
$$

將 z 以 $\vmatrix{u_1&u_2\\v_1&v_2}$ 代入（此一值是我們人為選擇的，除了方便計算與表示外，還可讓 $|\vec{n}|$ 對應到 $\vec{u},\vec{v}$ 所展開的平行四邊形面積），則

$$
\begin{array}l
\vec{n} &= \pmatrix{\vmatrix{u_2&u_3\\v_2&v_3}\\-\vmatrix{u_1&u_3\\v_1&v_3}\\\vmatrix{u_1&u_2\\v_1&v_2}} or \pmatrix{\vmatrix{u_2&v_2\\u_3&v_3}\\-\vmatrix{u_1&v_1\\u_3&v_3}\\\vmatrix{u_1&v_1\\u_2&v_2}}\\
&\overset{def}{=} \vec{u}\times\vec{v}
\end{array}\\
\begin{array}l
|\vec{n}| &= \sqrt{\vmatrix{u_2&v_2\\u_3&v_3}^2 + (-\vmatrix{u_1&v_1\\u_3&v_3})^2 + \vmatrix{u_1&v_1\\u_2&v_2}^2}\\
&= |\vec{u}||\vec{v}||\sin\theta|
\end{array}
$$

:::info
平行六面體 (Parallelpipe)
設一向量 $\vec{t}=\pmatrix{t_1\\t_2\\t_3}$ 與 $\vec{u},\vec{v}$ 組成一平行六面體， 若以 $\vec{u},\vec{v}$ 所組成的平行四邊形為底面積，此平行六面體的高
$$
h = |\vec{t}||\cos\alpha|
\\(\alpha\ 為\ \vec{t}, \vec{n}\ 之間的夾角)
$$
又
$$
\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}\\
\vec{t}\cdot\vec{n} = |\vec{t}||\vec{n}|\cos\alpha\\
|\vec{t}|\cos\alpha = \dfrac{\vec{t}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|} \implies h = |\vec{t}||\cos\alpha| = \dfrac{|\vec{t}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\\
$$
平行六面體體積 = 底面積($\vec{u},\vec{v}$ 所組成的平行四邊形面積 = $|\vec{n}|$) $\times h = |\vec{t}\cdot\vec{n}|$

$$
\begin{array}l
|\vec{t}\cdot\vec{n}| &= |t_1\vmatrix{u_2&v_2\\u_3&v_3}-t_2\vmatrix{u_1&v_1\\u_3&v_3}+t_3\vmatrix{u_1&v_1\\u_2&v_2}|\\
\\
\vmatrix{t_1&u_1&v_1\\t_2&u_2&v_2\\t_3&u_3&v_3} &\overset{def}{=} t_1\vmatrix{u_2&v_2\\u_3&v_3}-t_2\vmatrix{u_1&v_1\\u_3&v_3}+t_3\vmatrix{u_1&v_1\\u_2&v_2}
\end{array}
$$

故 $|det(\vec{t},\vec{u},\vec{v})|$ 為平行六面體體積。
:::

## 行列式 (Determinant) in 3D

由上可知，Determinant 在 3D 中的運算規則實際上就是
$$
\vec{t}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})
$$

又因平行六面體除了 ($\vec{u}\times\vec{v}$) 為底面積外，還可分別以另兩面 ($\vec{v}\times\vec{t}$ 與 $\vec{t}\times\vec{u}$) 為底面積，故

$$
\vec{t}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\\
=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{t})\\
=\vec{v}\cdot(\vec{t}\times\vec{u})
$$

:::info
行列式的運算規則並不是用「死記硬背」的，實際上每一步在腦海中皆有幾何動作相對應，比如
$\vec{t}\rightarrow\vec{u}\rightarrow\vec{v}\rightarrow\vec{t}$ 的方向性是不能搞錯的，也就是說是我們是先導出了規則，爾後再將這些規則套用在

$$
\vmatrix{t_1&u_1&v_1\\t_2&u_2&v_2\\t_3&u_3&v_3}
$$
上，然而我們的數學教育卻只教「如何計算」，而非「為何如此計算」，實本末倒置也。
:::

### 解讀行列式

反過來看，當我們看到一個 3 階行列式時，則有以下三種解讀角度：

$$
\vmatrix{t_1&u_1&v_1\\t_2&u_2&v_2\\t_3&u_3&v_3}=
\cases{
\vec{t}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\\
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{t})\\
\vec{v}\cdot(\vec{t}\times\vec{u})
}
$$

即
1) 當 $\vec{u}, \vec{v}$ 為底面積時， $\vec{u}\times\vec{v}$ 為垂直此底之外積向量， $\vec{t}$ 為任一向量，則行列式所得之值為與 $\vec{u},\vec{v}$ 為底面積之平行六面體體積。
$$
\vmatrix{\color{white}{t_1}&u_1&v_1\\\color{white}{t_2}&u_2&v_2\\\color{white}{t_3}&u_3&v_3}
$$
2) 當 $\vec{v}, \vec{t}$ 為底面積時， $\vec{v}\times\vec{t}$ 為垂直此底之外積向量， $\vec{u}$ 為任一向量，則行列式所得之值為，與 $\vec{v},\vec{t}$ 為底面積之平行六面體體積。
$$
\vmatrix{t_1&\color{white}{u_1}&v_1\\t_2&\color{white}{u_2}&v_2\\t_3&\color{white}{u_3}&v_3}
$$
3) 當 $\vec{t}, \vec{u}$ 為底面積時， $\vec{t}\times\vec{u}$ 為垂直此底之外積向量， $\vec{v}$ 為任一向量，則行列式所得之值為與 $\vec{t},\vec{u}$ 為底面積之平行六面體體積。
$$
\vmatrix{t_1&u_1&\color{white}{v_1}\\t_2&u_2&\color{white}{v_2}\\t_3&u_3&\color{white}{v_3}}
$$

例如：
$$
x\vec{t}+y\vec{u}+z\vec{v} = \vec{e}\implies
\cases{
t_1x+u_1y+v_1z=e_1\\
t_2x+u_2y+v_2z=e_2\\
t_3x+u_3y+v_3z=e_3\\
}
$$
則
$$
x = \dfrac{\vmatrix{\color{white}{e_1}&u_1&v_1\\\color{white}{e_2}&u_2&v_2\\\color{white}{e_3}&u_3&v_3}}{\vmatrix{\color{white}{t_1}&u_1&v_1\\\color{white}{t_2}&u_2&v_2\\\color{white}{t_3}&u_3&v_3}}\\
y = \dfrac{\vmatrix{t_1&\color{white}{e_1}&v_1\\t_2&\color{white}{e_2}&v_2\\t_3&\color{white}{e_3}&v_3}}{\vmatrix{t_1&\color{white}{u_1}&v_1\\t_2&\color{white}{u_2}&v_2\\t_3&\color{white}{u_3}&v_3}}\\
z = \dfrac{\vmatrix{t_1&u_1&\color{white}{e_1}\\t_2&u_2&\color{white}{e_2}\\t_3&u_3&\color{white}{e_3}}}{\vmatrix{t_1&u_1&\color{white}{v_1}\\t_2&u_2&\color{white}{v_2}\\t_3&u_3&\color{white}{v_3}}}\\
$$

分別以之前所述三種底面積來看待，則 x,y,z 之值分別為三個方向的平行六面體之體積比，就自然而然了。

:::info
此種概念延伸到 4D 時，則有四種「底體積」來解讀，也就是說，解讀 n 階行列式時， n 維體積是以 n-1 維體積為底的概念。
:::

## 外積的反交換律

$$
\vec{u}\times\vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}\sin\theta
\implies \vec{v}\times\vec{u} = |\vec{u}||\vec{v}|\sin(-\theta)
= -(\vec{u}\times\vec{v})
$$

## n 維外積 (楔積 - Wedge Product)

## 4D

$$
\vec{t} = \pmatrix{t_1\\t_2\\t_3\\t_4},
\vec{u} = \pmatrix{u_1\\u_2\\u_3\\u_4},
\vec{v} = \pmatrix{v_1\\v_2\\v_3\\v_4},
\vec{n} = \pmatrix{x\\y\\z\\w}\\
\cases{
\vec{n}\perp\vec{t}\\
\vec{n}\perp\vec{u}\\
\vec{n}\perp\vec{v}\\
}\implies
\cases{
t_1x+t_2y+t_3z+t_4w = 0\\
u_1x+u_2y+u_3z+u_4w = 0\\
v_1x+v_2y+v_3z+v_4w = 0\\
}\implies
\cases{
t_1x+t_2y+t_3z=-t_4w\\
u_1x+u_2y+u_3z=-u_4w\\
v_1x+v_2y+v_3z=-v_4w
}\\
\therefore
\begin{array}l
x &= -\dfrac{\vmatrix{t_4&t_2&t_3\\u_4&u_2&u_3\\v_4&v_2&v_3}}{\vmatrix{t_1&t_2&t_3\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3}}w\\
y &= -\dfrac{\vmatrix{t_1&t_4&t_3\\u_1&u_4&u_3\\v_1&v_4&v_3}}{\vmatrix{t_1&t_2&t_3\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3}}w\\
z &= -\dfrac{\vmatrix{t_1&t_2&t_4\\u_1&u_2&u_4\\v_1&v_2&v_4}}{\vmatrix{t_1&t_2&t_3\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3}}w\\
w&=w
\end{array}
$$

###### tags: `math` `cross product`