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title: "複數 𝒾 的應用"
path: "複數 𝒾 的應用"
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{%hackmd @RintarouTW/About %}

# 複數 𝒾 的應用

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/3D/ComplexNumberRotation.html" width="700" height="500"></iframe>

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<span class="caption">此範例程式放在 <img class="icon" height="32" width="32" src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/simple-icons@latest/icons/github.svg" style="filter:invert(1);"></img> (<a href="https://github.com/RintarouTW/3D">https://github.com/RintarouTW/3D</a>)</span>
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大多數人都不知道學複數到底能做什麼，複數 $i$ 最好用的就是它的乘法，其實 $i$ 的乘法基本原理和三角形和角公式一樣，但基本上你不需要算出角度來就可以完成旋轉或疊加的目的。

例如：
兩個直角三角形，一個要放在另一個的斜邊上，利用複數計算可以很快得到答案，而且不用計算角度，只要知道三角形各邊長即可。

令 $\triangle A$ 斜邊長為 $a = \pmatrix{a_x\\a_y}$，$\triangle B$ 斜邊長為 $b = \pmatrix{b_x\\b_y}$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/ComplexNumberRotation-1.svg" width="600" height="500"></iframe>

利用複數乘法

$$
(a_x+a_y{i})(b_x+b_y{i}) = (a_xb_x-a_yb_y) + (a_xb_y+a_yb_x){i}\\[3ex]
\implies 疊加後\ \vec{C} = \pmatrix{a_xb_x-a_yb_y\\a_xb_y+a_yb_x}\\[3ex]
注意 |\vec{C}| = a\times b\\
$$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/ComplexNumberRotation-2.svg" width="600" height="500"></iframe>

若我們想要 A 放在 B 上，只需除去 b，得

$$
\frac{1}{b}\pmatrix{a_xb_x-a_yb_y\\a_xb_y+a_yb_x}
$$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/ComplexNumberRotation-3.svg" width="600" height="500"></iframe>

同理，若想要 B 放在 A 上，只需除去 a，得

$$
\frac{1}{a}\pmatrix{a_xb_x-a_yb_y\\a_xb_y+a_yb_x}
$$

運算過程完全不用角度換算，只要懂複數乘法，即可得到疊加後轉動的位置。

或是，某個敵機向量想繞著主角保持一定距離轉圈，可以用目前位置馬上計算出下一個目標位置來。

另外，若想求角度相減後的向量則改成共軛複數再乘即可。

# 快速計算小技巧

$$
\begin{aligned}
\frac{a}{\sqrt{X}}
&= \frac{1}{\sqrt{X}} \times a\\[2ex]
&= (\frac{\sqrt{X}}{X}) \times a
\end{aligned}
$$

## 特殊三角函數值

$$
\begin{cases}
cos45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\\[2ex]
tan30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\\[2ex]
sec30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\times 2
\end{cases}
$$

## 加上複數向量乘法運用

比如 $\vec{v} = \pmatrix{a\\b}$，要轉 $45^\circ$，

$$
(a+bi)(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)\\
= \frac{\sqrt{2}}{2}(a+bi)(1+i)\\
= \frac{\sqrt{2}}{2}((a-b)+(a+b)i)\\
\implies
\frac{\sqrt{2}}{2}\pmatrix{a-b\\a+b}
$$

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