--- title: "複數 𝒾 的應用" path: "複數 𝒾 的應用" --- {%hackmd @RintarouTW/About %} # 複數 𝒾 的應用 <iframe src="https://rintaroutw.github.io/3D/ComplexNumberRotation.html" width="700" height="500"></iframe> <center> <span class="caption">此範例程式放在 <img class="icon" height="32" width="32" src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/simple-icons@latest/icons/github.svg" style="filter:invert(1);"></img> (<a href="https://github.com/RintarouTW/3D">https://github.com/RintarouTW/3D</a>)</span> </center> <br/> 大多數人都不知道學複數到底能做什麼,複數 $i$ 最好用的就是它的乘法,其實 $i$ 的乘法基本原理和三角形和角公式一樣,但基本上你不需要算出角度來就可以完成旋轉或疊加的目的。 例如: 兩個直角三角形,一個要放在另一個的斜邊上,利用複數計算可以很快得到答案,而且不用計算角度,只要知道三角形各邊長即可。 令 $\triangle A$ 斜邊長為 $a = \pmatrix{a_x\\a_y}$,$\triangle B$ 斜邊長為 $b = \pmatrix{b_x\\b_y}$ <iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/ComplexNumberRotation-1.svg" width="600" height="500"></iframe> 利用複數乘法 $$ (a_x+a_y{i})(b_x+b_y{i}) = (a_xb_x-a_yb_y) + (a_xb_y+a_yb_x){i}\\[3ex] \implies 疊加後\ \vec{C} = \pmatrix{a_xb_x-a_yb_y\\a_xb_y+a_yb_x}\\[3ex] 注意 |\vec{C}| = a\times b\\ $$ <iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/ComplexNumberRotation-2.svg" width="600" height="500"></iframe> 若我們想要 A 放在 B 上,只需除去 b,得 $$ \frac{1}{b}\pmatrix{a_xb_x-a_yb_y\\a_xb_y+a_yb_x} $$ <iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/ComplexNumberRotation-3.svg" width="600" height="500"></iframe> 同理,若想要 B 放在 A 上,只需除去 a,得 $$ \frac{1}{a}\pmatrix{a_xb_x-a_yb_y\\a_xb_y+a_yb_x} $$ 運算過程完全不用角度換算,只要懂複數乘法,即可得到疊加後轉動的位置。 或是,某個敵機向量想繞著主角保持一定距離轉圈,可以用目前位置馬上計算出下一個目標位置來。 另外,若想求角度相減後的向量則改成共軛複數再乘即可。 # 快速計算小技巧 $$ \begin{aligned} \frac{a}{\sqrt{X}} &= \frac{1}{\sqrt{X}} \times a\\[2ex] &= (\frac{\sqrt{X}}{X}) \times a \end{aligned} $$ ## 特殊三角函數值 $$ \begin{cases} cos45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\\[2ex] tan30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\\[2ex] sec30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\times 2 \end{cases} $$ ## 加上複數向量乘法運用 比如 $\vec{v} = \pmatrix{a\\b}$,要轉 $45^\circ$, $$ (a+bi)(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)\\ = \frac{\sqrt{2}}{2}(a+bi)(1+i)\\ = \frac{\sqrt{2}}{2}((a-b)+(a+b)i)\\ \implies \frac{\sqrt{2}}{2}\pmatrix{a-b\\a+b} $$ ###### tags: `math` `i` `tips`
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