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title: "群論筆記 (Group Theory)"
path: "群論筆記 Group Theory"
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# 群論筆記 (Group Theory)

Group Theory 是 Abstract Algebra (抽象代數) 的一部分。

用一個較容易為程式人接受的描述，與 OOP 語言中的 Operator Overloading 概念類似，群論則是把所有的 Operator 都抽象化，並從其中找尋規則歸納分析與應用。

以個人目前理解到的來舉例：

$$
兩向量 \pmatrix{a\\c} 與 \pmatrix{b\\d}\\[3ex]
Det:
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}=ad-bc\\[3ex]
內積:\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}=ab+cd
$$

Det 和內積都是輸入兩個向量，輸出一個純量，都是透過原本元素單純的固定線性組合，就能夠得到兩種非常有用的函數。這也讓人不得不想到，會不會透過某種方法的分析和嘗試就能找到其它未知但很有用的新函數。或許這也是為什麼要把所有函數都抽象化的原因吧！

## 定義

1. A set of **Elements** (元素集合 $G$ )，元素數量則稱為 Order，記作 $|G|$，元素必不可重複。
2. **Operation** $\cdot$ (一個二元運算子 $\cdot$ )
常用 $+$ 與 $\cdot$ 或 $\times$ 運算符號，因 $-$ 和 $\div$ 可視為 + 與 $\cdot$ 作用與反元素上的結果
3. **Closure**: closed under $\cdot$ (閉合)
$$
a, b \in G \implies a\cdot b \in G
$$
4. **Identity** (單位元素 e)，任何元素與單位元素運算必等於自身
$$
a\cdot e=e\cdot a=a
$$
5. **Inverses** (反元素 $x^{-1}$)，任何元素皆有其反元素，單位元素為其自身之反元素
$$
a\cdot b=b\cdot a=e
$$
6. **Associative Law** (結合律)
$$
(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)
$$

> *Commutative Law* (交換律) 則非必要 (例: 矩陣不具交換律)

$$
a\cdot b=b\cdot a
$$

* 滿足交換律者稱為交換群 (Commutative group) 或阿貝爾群 (Abelian group)
* 不滿足者則稱為非交換群或非阿貝爾群

## 子群 ($Subgroup \rightarrow H$ )
> Subgroup := Subset of G

記作 $H \le G$
念作 "H is a subgroup of G."
若 $H \ne G \implies H\lt G$

## Group Multiplication Table (Cayley Tables)

$G: \times, \{1, -1, i, -i\}$

$\begin{array}{c|c|c|c|c}
\times & 1 & -1 & i & -i \\
\hline
1 & 1 & -1 & i & -i \\
-1 & -1 & 1 & -i & i \\
i & i & -i & -1 & 1 \\
-i & -i & i & 1 & -1
\end{array}$

有趣的東西：
1. 每一行與列元素必不重覆
若重覆則表示
$$
a \times b = a \times c \implies b=c
$$
這在群裡是不被允許的，因為群裡的元素不可重複。
2. 第一行與第一列皆與標頭相同，因為 1 為單位元素，任何元素與單位元素運算後為自身。
3. 每一行與列必出現 1
因為 1 為此群的單位元素 (Identity)，故與其反元素運算後必等於 1，而 1 為自身的反元素。
4. $\times$ 運算符合交換律或 G is an abelian，所以表格內結果是延著對角線對稱的 (Diagonal Symetric)，與矩陣描述類似，轉置後結果不變 ($e_{ij} = e_{ji}$)。故 $a\times b = b\times a$

## 以 Caley Table 來探究群的對應本質

$G: \times, \{e, a\}$

$\begin{array}{c|c|c}
\times & e & a \\
\hline
e & e & a \\
a & a & e
\end{array}$

$a\times a = e，\because 每一行列元素不可重複$

$G: \times, \{e, a, b\}$

$\begin{array}{c|c|c|c}
\times & e & a & b \\
\hline
e & e & a & b\\
a & a & b & e\\
b & b & e & a
\end{array}$

$G: \times, \{e, a, b, c\}$

$\begin{array}{c|c|c|c}
\times & e & a & b & c\\
\hline
e & e & a & b & c \\
a & a & b & c & e \\
b & b & c & e & a \\
c & c & e & a & b
\end{array}$

$\begin{array}{c|c|c|c}
\times & e & a & b & c\\
\hline
e & e & a & b & c \\
a & a & c & e & b \\
b & b & e & c & a \\
c & c & b & a & e
\end{array}$

###### tags: `math` `group theory`