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title: "指數與對數函數"
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# 指數與對數函數

## 指數函數 (Exponential Function)

$\require{extpfeil}$

$$
f(x) = b^x
$$

$\def \ntoinfty {\lim\limits_{n\to\infty}}$

$b$ 為**基數/底** (base)， $x$ 為**指數** (index)或**冪** (exponent)

寫程式或數學常見 $b$ 以 2 為底，如 $2^8$ ；一般人也常用以 10 為底來表示數字大小，如 $10^5$ 等。

當 $x$ 為正整數時，

$$
f(x) = b^x = \overbrace{b\times b\times \cdots \times b}^\text{x times}
$$

$b$ 的可選擇數字有這麼多，除了 2 和 10 常見外，在科學上還有一個 $e$ 很常見如下：

$$
exp(x) := \ntoinfty(1+\frac{x}{n})^{n} = e^x
$$

以 $e$ 為基數/底的指數函數則寫成 $exp(x)$，至於 $e$ 為何物於此暫不討論。

### 指數函數的基本性質

$$
\left\{
\begin{aligned}
f(-x)
&= b^{-x} \\
&= \frac{1}{b^x}\\[3ex]
f(x)\times f(y)
&= b^x \times b^y \\
&= b^{x+y}\\
&= f(x+y)\\[3ex]
f(x) / f(y) &= b^x / b^y\\
&= b^{x-y}\\
&= f(x-y)\\[3ex]
f(xy)
&= b^{xy}\\
&= (b^x)^y = (b^y)^x\\
&= (f(x))^y = (f(y))^x
\end{aligned}
\right.
$$

## 對數函數 (Logarithm Function)

$$
f(x) = \log_b {x}
$$

對數函數就是問 $b^? = x$，也就是問指數為多少？或是 $b$ 的 ? 次方等於 $x$？

若答案為正整數，

$$
\overbrace{b\times b\times \cdots \times b}^\text{? times} = x
$$

當 $b$ 為 $e$ 時，

$$
ln(x) := \log_e{x}
$$

### 對數函數的基本性質

$$
\left\{
\begin{aligned}
\log_{b}{x} &= a\\[2ex]
b^a &= x\\[2ex]
b^{\log_{b}{x}} &= x
\end{aligned}
\right.
$$

看起來雖然很複雜，腦袋還是得轉一下，這種型式很像繞口令。
但翻成白話文，就知道根本是廢話：

$\log_{b}{x}$ 是問 $b$ 自乘多少次 ($a$次) 會等於 $x$，然後用 $b$ 自乘這個次數 ($a$次)，當然也就會等於 $x$。

再來就更複雜了，

$$
\begin{aligned}
b^{a\log_{b}{x}} &= b^{(\log_{b}{x})a}\\
&= (b^{\log_{b}{x}})^a\\
&= x^a
\end{aligned}
$$

把 $b$ 用 $e$ 代換，

$$
\begin{aligned}
e^{a\log_{e}{x}} &= e^{(\log_{e}{x})a}\\
&= (e^{\log_{e}{x}})^a\\
&= x^a
\end{aligned}
$$

再把 $\log_{e}{x}$ 寫成 $\ln{x}$

$$
\begin{aligned}
e^{a\ln{x}} &= e^{(\ln{x})a}\\
&= (e^{\ln{x}})^a\\
&= x^a\\
\end{aligned}
$$

又或者再把 $a$ 和 $x$ 對調

$$
\begin{aligned}
e^{x\ln{a}} &= e^{(\ln{a})x}\\
&= (e^{\ln{a}})^x\\
&= a^x\\
\end{aligned}
$$

這幾種代換型式從純代數看來不難，但就很不直覺了。

## 反函數
對數函數與指數函數互為反函數，也就是說，

$$
\begin{cases}
g(x) = b^x, & g(x) \text{為指數函數}\\[2ex]
f(x) = \log_b{x}, & f(x)\text{為對數函數}
\end{cases}
\\[4ex]
\implies f(g(x)) = f(b^x) = \log_b b^x = x\\[2ex]
\text{反之亦然}\\[2ex]
\implies g(f(x)) = g(\log_b{x}) = b^{\log_b{x}} = x\\[2ex]
\Downarrow\\[2ex]
\begin{cases}
f^{-1}(x) := f(x)\text{ 的反函數} = g(x)\\[2ex]
g^{-1}(x) := g(x)\text{ 的反函數} = f(x)
\end{cases}
\implies x\xtofrom[f^{-1}]{f} y
$$

###### tags: `math` `Exponential` `log`