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title: "座標、向量與矩陣"
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# 座標、向量與矩陣

## 從總是被一句帶過的 **Origin** (原點) 談起

### 絕對 vs 相對

座標是絕對的嗎？其實不是，一切都是相對的，相對於原點，才有座標值，才有向量。

對於向量而言，在四元數之前的數學主要也是以原點做為轉軸 (Pivot Point)。

## Scalar 不只是數字

中文翻譯裡翻成「純量」二字，個人認為是很不好的翻譯，純量二字使人能想到的就是數字 (Number)，然而 Scalar 之所以不被稱為 Number，正因其有 Scale 之意，

> Scale 作為動詞有控制縮放之意；
> 作為名詞則代表比例。

而「純量」二字實是詞不達全意，寧可不翻反誤導了人。

## 座標是 Scalar 還是 Vector

座標的本身不只是數字而且隱含了向量，比如 $(a, b)$ 其實是此一點分別投影在 $x, y$ 軸上的位置為 $a, b$ (即分量)，即便是 $x,y$ 軸上的 $a, b$ 實際上也是 $a\hat{x}, b\hat{y}$, 即「$x$ 軸上單位向量的 $a$ 倍, $y$ 軸上單位向量的 $b$ 倍」。
故座標表示法與向量表示法兩者實為等價。

$$
(a, b) \iff (a\hat{x}, b\hat{y}) \iff a\hat{x}+b\hat{y} \iff a\bmatrix{1\\0}+b\bmatrix{0\\1} \iff \bmatrix{a\\b}
$$

更白話直接的說法則是，座標 $(a, b)$ 的由來本就是

:::info
$a$ 倍的 $x$ 軸單位向量 $\bmatrix{1\\0}$ + $b$ 倍 $y$ 軸單位向量 $\bmatrix{0\\1}$
:::

測量 (投影) 而來的，也就是說座標 $(a, b)$ 中兩數字的本質是倍數。

$$
\implies (a, b) = a\hat{x} + b\hat{y}\ = \bmatrix{a\\b}
$$

# 矩陣 (Matrix)

## 從方程式 (equation) 談起

$$
ax+by=c
$$

小學時學的**直線方程式**，我們把 $a,b,c$ 視為最為單純的數字， $x, y$ 則視為未知數 (亦是數字，但為代數 := 替代數字的符號)，$ax$ 代表兩個數字相乘，$by$ 亦同，而 $ax + by$ 則視為兩數相乘後再相加的結果等於 $c$。

主要是建立起小學生 $+ - \times \div$ 的基本認識與四則運算先乘除後加減等準則。 $x$ 為 $x$ 數線 (軸) 上的點， $y$ 為 $y$ 數線 (軸) 的點， $x$ 隨意代入數字後即可計算出相對應的 $y$ 值(數字 or value)，反之亦然；此動作也正是所謂的 [Plot](https://en.wikipedia.org/wiki/Plot_\(graphics\)) ，亦可建立起圖 (graph) 與方程式 (equation) 之間的對應關係。

$$
\begin{cases}
ax+by=e\\[2ex]
cx+dy=f
\end{cases}
$$

再由**聯立方程式**(兩直線方程式組合)推及兩直線交點代表兩方程式之共同解，反之亦然。

國中時理化則帶入了基本向量的概念，引入合力、分量等概念，$ax + by = c$ 轉變成 $a\vec{x} + b\vec{y} = \vec{c}$ ，而數學上則教我們求斜率，兩線平行、重疊或垂直時 $a,b,c,d,e,f$ 之間有何關係? 是否有解，如內積、外積和克拉瑪公式 (行列式) 求解等。

高中則進一步代入單位圓、三角函數、(實數/複數) 平面向量到三維空間向量，基本矩陣運算等概念。

大學線代又進一步將方程式分解成 $scalar, vector, space, span, matrix$ 本來的聯立直線方程式則變成了向量所展開的線性組合空間，視矩陣為空間對應關係的轉換/運算/變換，在最基礎的二元邏輯下重構了 $+ - \times \div 內積、外積$ 等運算，不再視交換律、分配律為理所當然之事。

讓人不禁得問，究竟還有多少種看待方程式的方式？

$$
\begin{cases}
ax+by = e\\[2ex]
cx+dy = f
\end{cases}
\iff x\bmatrix{a\\c}+y\bmatrix{b\\d}=\bmatrix{e\\f}
\iff
\begin{cases} \bmatrix{a\\b}\cdot\bmatrix{x\\y}=e\\[2ex]
\bmatrix{c\\d}\cdot\bmatrix{x\\y}=f
\end{cases}
$$

<GeoGeBra material_id="abyvgtgd" content_width="950" content_height="600" width="700px" height="450px" />

<center><iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/abyvgtgd/width/950/height/600/border/888888/sfsb/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="450px" style="border:0px;filter:invert(.9);"></iframe></center>

## 與方程式有何關係?

* 方程式的幾何求解法可有證明？
* 與行列式的關係
* 克拉碼公式

二元一次聯立方程式(求解)

$$
\begin{cases}
ax+by = e\\[2ex]
cx+dy = f
\end{cases}\\
$$

1)消去法

$$
d\cdot(ax+by) = de\ldots (1)\\[2ex]
b\cdot(cx+dy) = bf\ldots (2)\\[2ex]
(1)減 (2) = (ad-bc)\cdot x = de-bf
\implies\ x = \frac{de-bf}{ad-bc}\\[2ex]
c\cdot(ax+by) = ce\ldots (3)\\[2ex]
a\cdot(cx+dy) = af\ldots (4)\\[2ex]
(4) 減 (3) = (ad-bc)\cdot y = af-ce
\implies\ y = \frac{af-ce}{ad-bc}\\[3ex]
$$

2)克拉碼(以行列式表示)

$$
x = \frac{
\left| {
\begin{array}{cc}
e & b\\
f & d
\end{array}
}\right| }{
\left| {
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}}
\right|
}\\[4ex]
y = \frac{
\left|{
\begin{array}{cc}
a & e\\
c & f
\end{array}
}\right|}
{
\left|{
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}}
\right|
}
$$

3)向量幾何解釋

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/cramer-geometric-proof.svg" width="768" height="600"></iframe>

$$
\vec{AB} = \bmatrix{a\\c},
\vec{AD} = \bmatrix{b\\d},
\vec{AG} = \bmatrix{e\\f}\\
\begin{array}l
\vec{AG} &= \vec{AE} + \vec{AI}\\
&= x\bmatrix{a\\c} + y\bmatrix{b\\d}\\
\end{array}\\
\cases{
\vec{AE}:\vec{AB} = AEFD : ABCD = x : 1\\
AEFD = AGHD = \left| {
\begin{array}{cc}
e & b\\
f & d
\end{array}
}\right|\\
ABCD = \left| {
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}}
\right|
}\\
\therefore x = \frac{
\left| {
\begin{array}{cc}
e & b\\
f & d
\end{array}
}\right| }{
\left| {
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}}
\right|
}\\[4ex]
$$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/cramer-geometric-proof-2.svg" width="768" height="600"></iframe>

同理，

$$
\cases{
\vec{AI}:\vec{AD} = AEJI : ABCD = y : 1\\
ABJI = ABKG = \left| {
\begin{array}{cc}
a & e\\
c & f
\end{array}
}\right|\\
ABCD = \left| {
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}}
\right|
}\\
\therefore y = \frac{
\left| {
\begin{array}{cc}
a & e\\
c & f
\end{array}
}\right| }{
\left| {
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}}
\right|
}\\[4ex]
$$

## 矩陣基礎

### 基本性質

$m\times{n} := m\ 列(row)\ n\ 行(column)$

* $A_{mn}$ 即矩陣 A 為 m 列 n 行
矩陣中各元可表示為 $a_{ij}$，即第 $i$ 列，$j$ 行之元素。
* 方陣、對角矩陣、單位矩陣
* $A^T$ 轉置矩陣，行轉列、列轉行
* $A^*$ 共軛轉置矩陣 (conjugate transpose)

> 軛：[名] 在車衡兩端扼住牛、馬等頸背上的曲木。《楚辭．劉向．九歎．離世》：「執組者不能制兮，必折軛而摧轅。」

$$
\begin{cases}
a_{ji} = c+di \implies \overline{a_{ji}} = c-di\ (共軛複數)\\
a_{ij} = \overline{a_{ji}}
\end{cases}
$$

共軛複數亦可視為對實軸的映射 (線對稱於實軸)，有沒有對虛軸的映射？應當有，但卻不見討論。

### 矩陣運算

* $A\pm B$
* $A\times B$
* 前管列 (row)，後管行 (column)
* 前行 = 後列
* 求解
* 高斯消去法
* 克拉瑪公式 (Cramer's Rule)
* 寫成分量形式時，到底隱含了些什麼?
* (垂直)投影在另一向量上
* 平行四邊形
* [任意兩向量內積交換律皆成立的幾何證明](@RintarouTW/內積與外積)
* https://ccjou.wordpress.com/2010/01/27/%e5%85%a7%e7%a9%8d%e7%9a%84%e5%ae%9a%e7%be%a9/

### 旋轉矩陣

$$
\theta\ := 旋轉角度\\
R_\theta =\bmatrix{
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta}\\
若 \vec{v} := \bmatrix{v_x \\ v_y \\ v_z}\\
依右手法則，x\to y \to z \to x , 則\\[5ex]
$$
<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/coord-xy.svg" width="700" height="500"></iframe>

$$
以 Z 為轉軸時\ (x\to y)\\[2ex]
R_\theta\cdot\vec{v}_{x,y}=\bmatrix{\cos\theta v_x - \sin\theta v_y\\
\sin\theta v_x + \cos\theta v_y \\
v_z}\\[10ex]
$$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/coord-zx.svg" width="700" height="500"></iframe>

$$
以 Y 為轉軸時\ (z\to x)\\[2ex]
R_\theta\cdot\vec{v}_{z,x}=\bmatrix{\cos\theta v_z - \sin\theta v_x\\v_y \\
\sin\theta v_z + \cos\theta v_x}\\[10ex]
$$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/coord-yz.svg" width="700" height="500"></iframe>

$$
以 X 為轉軸時\ (y\to z)\\[2ex]
R_\theta\cdot\vec{v}_{y,z}=\bmatrix{v_x\\ \cos\theta v_y - \sin\theta v_z\\
\sin\theta v_y + \cos\theta v_z}
$$

###### tags: `math` `matrix` `vector` `scalar`