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title: "幾何原本筆記 (Euclid’s Elements)"
path: "幾何原本筆記 Euclid’s Elements"
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# 幾何原本筆記 (Euclid’s Elements)

## 幾何 = Geometry?

Euclid’s Elements 徐光啟翻成「幾何原本」，但「幾何」二字何來？「原本」二字能省？Elements of What?

> 九章：「今有田廣十五步，從十六步。問為田**幾何**?」，幾何為「數量多少」之意。

以數量多少之意來解釋「幾何原本」四字，則應是「求取數量多少之所本」，若單純以為幾何是 Geometry 之意解，個人以為實在是表面了點。不過，這世界本是如此，名可名，非常名；不求甚解者眾，慎思者希，吾亦浮萍爾，知之尚力有未逮，何言其它。

## 重拾被忽視省略的過程
* 點與點連線
* 線與線共面 (線代則可解譯為平面可由兩線性獨立的的線性組合所構成)
* 共一平面
* 共曲面
* 兩直線僅有一交點則共一平面
* 任意不共線三點間連線可成三角形
* 兩線段共點夾角非 0 可成三角形
* 外角和為 ${360^\circ}$ *(Think out of the box)*
* 同角兩邊做高(投影)必為兩相似三角形
[Play](https://www.geogebra.org/geometry/sxryqkag)
* 線對稱與點對稱
* 鏡射指的是線對稱(以線為對稱軸，而非點，只有與對稱軸垂直的座標相反)
90 度
[Play](https://www.geogebra.org/geometry/u2qarwpe)
* 點對稱是穿透(真正上下巔倒，左右相反的倒影。)
180 度
[Play](https://www.geogebra.org/geometry/ttqkegw3)
* 以三角形任一點做點對稱練習並區分線對稱與點對稱的不同
* 平行四邊行沒那麼單純 (TODO)
* 更認識平行的力量 (TODO)
* $1^2 = 1??$ (TODO)
從前為了計算快速，我們總將
$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
但問題是此處的 1 原本應該是 $1\times1=1^2$，二項式相乘出來的每一項也必然是 n 次相乘。
為了快速計算，很可能錯過了這個重要的原則，2 次元裡不存在 1 次元的東西。
$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
與
$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$ 的差別
$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$
與
$(A+B)^2=A^2-AB-BA+B^2$ 的差別
* 投影(Projection) (TODO)
* 圓
* 圓最重要的特性?
* 圓周任一點至圓心等距
* 圓與直角
* 過圓心為直徑，直徑所切兩弧各為 $\pi$，直徑兩點外與其外圓周上任一點連接必為直角三角形，所有直角三角形皆可由圓做出。
* 圓與三角形
* 所有三角形皆有外接圓（即三點共圓），反過來說也就是我們在一個圓上即可做出所有三角形的相似形。
* 和差角公式同一圖解

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## TODO
* 發現畢式定理的由來猜想
* 先有面積還是體積?
* 橢圓(Ecllipse)、角錐(Cone)與雙曲線（一點一線間距離的藝術）
* 旋轉
* 只轉一個向量 vs 整個座標軸都旋轉
* 轉速與轉動加速度
* 角速度, 角加速度
* 日常能理解的單位(圏/t) rpm
* 思考層次
* 透過加減乘除來表達關係
\+ - * /是否有更深層本質的意義？ => 分析式數學(線代，離散，群論等)

## 過程其實比最後的答案更有趣
觀察、分析、歸納、思考、提問、解答，別只想著解答。

###### tags: `math` `geometry` `euclid`