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title: "平面幾何 I"
path: "平面幾何 I"
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# 平面幾何 I

> 用 H.韋爾的話來說, "以座標的形式把數引進幾何學,是一種暴力行爲。" 按他的意思, 從此圖形和代數就會像天使和魔鬼那樣, 爭奪每個幾何學家的靈魂 -- 陳省身文選

## 對稱 (Symmetric)

對稱源自何處？對稱又如何？

對稱的概念源自於人類對於事物的觀察，以應用而言，對稱則可大幅減少所需的運算量與時間，事實上，連「腦補」都是從對稱出發的！以美學觀點而言，對稱之美亦可以數分析。

在群論 (Group Theory) 裡，對稱也占了很重的比例，包含了思考與實作，我們總會想滅少重覆，而數學的本質亦在此，以通則和必然性來處理各種變化，以一貫之。對稱在 2D 裡至少可以幫助我們減少一半的運算量，甚至連證明的思路也是少不了對稱思考的，否則每一個象限都要寫出來幾乎相同的證明，不累死才怪。

### 點對稱

形狀對稱於一點，如下圖，A 即為對稱點。
$\triangle ABC$ 與 $\triangle ADE$ 全等 ，但上下左右皆相反。$\overline{BC}$ 與 $\overline{DE}$ 將永遠彼此平行。

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### 線對稱

即一般人口中的鏡射，雖然線對稱能造成左右相反的效果，但鏡子其實只是單純的反射，左右相反只是人腦補的幻覺，因為鏡子並不會區分你的上下左右，區分上下左右的是大腦而非鏡子本身。

下圖中 AB 連線即為對稱軸，以線為軸對稱，軸若垂直對於人來說可造成左右相反；若水平則上下相反的效果。

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### 空間對稱

3D 中以面來對稱，更高維則以空間為對稱。

### 運算 (Operation) 對稱

所有的運算本質就是 Mapping，我們所寫的 Function 本質也一樣是輸出與輸入的 Mapping，既是 Mapping 自然會有其規則，如正反函數、奇偶函數等等更抽象的代數描述之中，對稱更是少不了的判斷準則。

### 對稱組合

對稱除用於分析外，亦可用於組合，如萬花筒由一生二，二生三，三生萬物。可知可創，由一至簡而始，排列組合至繁。

## 平行 (Parallel) 超凡的力量

平行具有一種神奇違反直覺的力量，下圖中 $\overline{AB}$ 平行於 CD 直線，亦平行於 $\overline{EF}$ 與 $\overline{GH}$ 則

$$
|\overline{EF}| = |\overline{GH}
$$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/parallel.svg" width="768" height="600"></iframe>

直線 CD 上任一點與 A, B 連線形成的三角形都會有相同的高(直線 CD 與 $\overline{AB}$ 間距)，相同的底($\overline{AB}$)，故皆有相同面積。

只要依著與 $\overline{AB}$ 平行的方式「切割」必然都能得到相同長度的線段，如同 $|\overline{EF}|=|\overline{GH}|$ 一般，而且所切割出來的三角形亦將相似於原被切割之三角形。

這實在是一種超級不可思議的力量，但卻事實存在所有人的生活裡，也就是歐式幾何裡的笛卡爾座標系(十七世紀)，一個現代被視為理所當然的事，正如五百年前所有人都認為宇宙是繞著地球轉般無庸質疑，或許一百年後的人也將如此看待現在的我們吧！

即使上述依然打不破你的根深蒂固視為理所當然，或可再試想，在 CD 連線上近乎無窮遠處取一點 P，並連線回 A, B，$\angle$ PAB 將趨近於 0，而此時再如之前平行切割，所得結果將依然不變，仿彿空間被拉得再長也無所謂，且若我們去檢查，結果也依然符合，不覺得神奇嗎？

或許這也是為什麼總有數學家們嘗試將平行從歐式幾何裡移出來的原因之一吧！更可怕的是，不但沒成功移出來，反而發現了更多種類的平行，真叫人震驚不已。

## 三角形 (Triangle)

三點連線即成三角形，或一角所張兩邊長而視之，又或二角共邊視之，視角不同，亦得不同描述之法，思路亦不盡同，雖得殊途同歸之效，思路不同亦有其不同利弊。如複數相乘若和角相加，思路不同亦等價，然複雜度亦不同，其中巧妙，如人飲水，不可一以概之。

1) 銳角三角形
2) 頓角三角形

銳角三角形，三角皆 $\le 90^\circ$；頓角三角形有且僅有一角 $\gt 90^\circ$。

#### 相似

1. 所有三角形，若其中兩角相等則必相似；兩角相等即等價於三角相等。故兩直角三角形若有一餘角相等則必相似。
2. 所有三角形，若有一角不等，則必不相似。
3. 平行於底，等比切割則必等長 $\iff$ 平行等長則必等比等寬 $\implies$ 必相似。

#### 外接圓 (Circumcircle)

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三邊中垂線交點為外心，與三頂點等距，可作圓成外接圓。

1. 三角形各邊為弦三分外接圓。
2. 銳角三角形必可切成三個等邊三角形
3. 直角三角形必可切成兩個等邊三角形
4. 鈍角三角形必可切成兩個等邊三角形再減去一個等邊三角形

#### 共圓

> 圓與三角形的關係實是密不可分，甚至可說見三角如見圓，見圓如見三角。

任意兩直角三角形，共斜邊即共圓。

#### 對於三高的觀察與分析

觀察為所有科學之本，質疑所有理所當然更是有心科學者之責。子曰不讀詩何以言，詩所云何者？觀察而已，觀而不察與無觀何異？

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1. 銳角三角形，三邊所對之高皆在其中。
2. 頓角三角形，僅其頓角所對之高在其中，其餘二銳角之高皆在其外。
> 需注意：所對之高是指連接該角與其對邊(延伸)之高，頓角三角形中易因視覺錯認。
3. 直角三角形，其二邊即為其高，直角所對之高在其中即斜邊所對之高。
4. 三角形角越大，所對高越短，對邊越長；角越小所對高越長，對邊越短。
銳角三角形容易直覺視之，而頓角三角形可由頓角所對之邊為直徑做圓，兩銳角所對之高必落於圓上，其高即為弦長，輔助直覺視之。

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5. 所有三角形必有一高於其中，而此高必可將其切成兩個直角三角形，故所有三角形亦可視為兩直角三角形之組合。
6. 只要兩高交點即為垂心，垂足可由各邊中點以邊長一半為半徑交兩另邊而得，事實上三邊中點各以邊長為一半徑作圓將交於三垂足。
7. 三高可將銳角三角形切成六個直角三角形。
8. 垂心加兩垂足與一頂點亦共圓，圓心即垂心至該頂點之中點。
9. 三垂足，三中點與垂心至各頂點之三中點共圓，稱為九點圓。

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### 為何研究三角形？

三點即成其形，亦可視為一線與線外一點所成關係，或二線所夾之角有何關係，亦可擴展成面，成面積最小之形，乃已知最單純的幾何分析單位。研究三角實如研究一維與二維之間關係，既然道生一不可求，一生二或可窺其中奧秘。故三角之學 (Trigonometry) 實乃維度之學。

## 三角形與圓

所有三角皆有外心，即三邊中垂線之交點，此心可做外交圓於三頂點；反過來說，一圓上取三點即可組合出所有三角形，三邊即可視為圓弧所對之弦。圓周角 (Inscribed Angle) 為圓心角 (Central Angle) 之半，三弦即成三圓周角，割一圓成三弧，圓弧一周即 $2\pi$，故三角和為 $\pi$。

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### 內心與內切圓 (Incircle)

所有三角亦皆有內心，由三角等分線交點，與三邊等距，即內切於三邊。

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## 三角形面積

所有人都知道三角形面積是 $\frac{底\times高}{2}$
但證明方法卻鮮有能同時以一概括銳角與頓角三角形的。
在此提供給大家參考：

如下圖：

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/AreaOfTriangle.svg" width="768" height="600"></iframe>

$\because \forall \triangle ,\ \exists$ 一個高$(\overline{AD})$ 位於其中，可將其分為兩個直角三角形，
兩直角三角形各自以斜邊中點轉 $180^\circ$，即可填滿空白長方形空白區域(面積$=\overline{BC}\times{AD}$)

$\therefore \forall \triangle, 面積=\frac{\overline{BC}\times\overline{AD}}{2}$

###

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/ParallelogramArea.svg" width="768" height="600"></iframe>

## 三角函數

### 函數 (Function) 為何？

林琦焜教授在[「用函數來思考」](https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=43304)一文中已有非常詳盡的探討，非常值得一看，不敢班門弄斧，僅取其註解裡對中日文翻譯之意如下：

$函+數=函數$

> 信函或盒子相當於機器，所以函數意思是輸入**數(input)**；經由信函或盒子(機器)作用後的**產品(output)** 就是 **函數**。

現代 General Purpose Computer 概念即數學家 *Turing* (圖靈) 以嚴謹數學先證明了當時已知的所有數學運算可以不用人的參與，改以圖靈機運算 (1936)； 二戰時又為破譯德軍密碼實現了此一方案，爾再與 *John von Neumann* 合作將計算機由繼電器升級成真空管大大加速了計算機 (電腦) 的計算速度，再來方有以二極體、三極體(電晶體)製成計算機與現今的積體電路，但萬變不離其宗，*von Neumann* 架構 (如下圖) 至今依然是計組設計之本，相信所有學習資訊相關科系之輩必是耳熟能詳才是。

<center><img src="https://i.imgur.com/AQTHmq5.png" width="60%" style="filter:invert(.9)"/></center>

<center>von Neumann Architecture (此圖取自維基百科)</center>

吾輩寫程式之人，更當深知函數為何意，若同一般人錯將函數僅視為功能之意，實是誤人誤己了。

### 何為正弦餘弦，又何以稱正弦餘弦？弦之名何來？

如前所述，三角形皆有外接圓，三邊對三弧，亦為三弧之弦，且古自有勾、股、弦之稱，故名之為弦 (即斜邊)。

$$
\begin{cases}
\sin{\theta} = \frac{對邊}{斜邊}\\[2ex]
\cos{\theta} = \frac{鄰邊}{斜邊}
\end{cases}
$$

正餘弦皆以斜邊為弦，求對邊、鄰邊與斜邊之比，對邊曰正，乃正對之意，鄰邊曰餘乃其餘角所對之意。

### 正弦定理 (Law of Sines)

三角形中各角之對邊長與其正弦值之比為外接圓直徑。
不才則喜歡較為直覺的描述：
> 「各角之正弦值等於其對邊除以外接圓直徑。」

如下圖所示：
當角的角度 $\le 90^\circ$ 時，可輕易作出以外接圓直徑為斜邊之直角三角形，且因為對同弧故角度相等，即可知其正弦值為對邊除以斜邊。
當角度 $\gt 90^\circ$ 時則以求其補角正弦值，也同理可證。

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### 餘弦定理 (Law of Cosines)

三角形第三邊邊長平方為其另兩邊長各自平方相加後再減去兩倍內積值($ab\cos{\theta}$)。
如下圖：

$$
c^2 = a^2+b^2 - 2ab\cos{\theta}
$$

$\theta$ 為 a, b 兩邊之夾角，當 $\theta \le 90^\circ$ 時，內積 $\ge 0$；當 $\theta \gt 90^\circ$ 時，內積 $\lt 0$。

餘弦定理相較於正弦定理來說更是重要的多，因其直接與內積有因果關係，可說內積的定義直接來自於餘弦定理。

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/law-of-cosines.svg" width="768" height="600"></iframe>

$$
\begin{cases}
\overline{BD}^2 = (a-\overline{CD})^2\\
b^2 = \overline{CD}^2 + \overline{AD}^2\\
\overline{CD} = b\cos{\theta}
\end{cases}\implies
\begin{aligned}
c^2 &= \overline{BD}^2 + \overline{AD}^2\\
&= a^2 - 2a\cdot\overline{CD} + \overline{CD}^2 + \overline{AD}^2\\
&= a^2 - 2ab\cos{\theta} + b^2
\end{aligned}
$$

## 投影 (Projection)

古有「日晷」以知時，且各古文化皆有史料可查，察看投影這件事對於古人而言，可說是日常生活必備技能，就如同我們看表一般。然而現代人早已不再看投影，對這個詞的認知也在逐步退化，除了投影機外大概就剩數學上在用了吧！

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- 一般而言(未變形之前)就是指正交投影，即垂直 $90^\circ$ 投影至另一線或面上。
- 任意兩交叉直線上任取兩點分別投影後餘角必相等
- 座標的值就是帶方向(+-)的投影，加上點想像力

### 投影與內積 (Inner Product)

內積之定義為
$$
a\cdot b\cdot\cos{\theta}\\
或\\
\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}
$$

以下圖為例：

> 內積是當固定兩邊長而轉動其中一邊角度，對於第三邊長平方影響之變化量的一半)。

#### 內積與 $\triangle$ 投影的關係

以文字描述並不容易理解，建議自己試試移動下圖中的 A 點，才容易體會 c 邊面積變化與投影 ($b\cos{\theta}$) 之間的關係。

> 向量內積定義其實是由餘弦定理而來，為何如此定義？
>

如此定義主要是為了與座標系加以連結，兩個向量內積值經過簡單計算後可知等於兩向量的 x, y 座標分別相乘，如此一來可以在幾何與座標系之間輕鬆轉換，想求兩向量夾角時，以內積計算，想求內積時以座標計算，想求投影時，更只需除以其一向量長度，非常方便。

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/dot-product.svg" width="768" height="600"></iframe>

### 投影與直線方程式

直線方程式
$$
L: ax + by = c
$$

亦可視向量 $\vec{v}$ := (x, y) 為與 $L$ 法向量 $\vec{N}$ := (a, b) 的內積。

$$
\vec{N} = \pmatrix{a\\b}, \vec{v} = \pmatrix{x\\y}\\
\pmatrix{x\\y}\cdot\pmatrix{a\\b}=c\\[3ex]
\implies |\vec{v}||\vec{N}|\cos{\theta} = c\quad
\begin{cases}
c > 0 \implies \cos{\theta} < 90^\circ\\
c < 0 \implies \cos{\theta} > 90^\circ
\end{cases}
$$

$\vec{v}$ 正交投影至 $\vec{N}$，投影長度即原點到直線 $L$ 的距離 $=\frac{|c|}{|N|} = |\vec{v}||\cos{\theta}|$

代表此距離的向量則為 $\frac{|c|}{|N|}\frac{\vec{N}}{|N|} = \frac{|c|}{|N|^2}\times\vec{N}$

例如：
二元一次直線方程式

$$
2x+3y = 5
$$

則

$$
\vec{N}=\vec{AB}=\pmatrix{2\\3}
$$

D 為線上一點 (x, y)，其向量則為 $\pmatrix{x\\y}$
兩向量內積值為 5。

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/2d-line-equation-in-vectors.svg" width="768" height="600"></iframe>

則直線到原點的距離為

$$
\frac{|5|}{|N|} = \frac{5}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{5}{13}\sqrt{13}
$$

C 點為
$$
\frac{5}{13}\pmatrix{2\\3}=\pmatrix{\frac{10}{13}\\[1.3ex]
\frac{15}{13}
}
$$

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