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title: "一維幾何"
path: "一維幾何"
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# 一維幾何

大多數現代人沒想過的幾何，以下皆出自二千五百年前的幾何原本 (Euclid's Elements)。

忘了幾年前做的筆記在此整理順便製圖複習。

> 不過幾個點一條線，能說的出的關係遠超你我所知。


## 道生一、一生二、三生萬物

###

$P\ 為\ \overline{AB}\ 上一點\\
\implies \overline{AB}^2 + \overline{BP}^2 = 2\overline{AB}\times \overline{BP}+\overline{AP}^2$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/quadratic-sum.svg" width="768" height="600"></iframe>

$\overline{AP} = \overline{PB}，P 為\ \overline{AB}\ 的中點，Q\ 為\ \overline{PB}\ 上一點\\
\implies \overline{AQ}\times\overline{BQ}+\overline{PQ}^2=\overline{PB}^2$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/quadratic-sum2.svg" width="768" height="600"></iframe>

$Also \implies \overline{AQ}^2+\overline{BQ}^2=2(\overline{AP}^2+\overline{PQ}^2)$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/quadratic-sum3.svg" width="768" height="600"></iframe>

$$
\begin{array}l
\overline{AQ}^2 + \overline{BQ}^2 &= \overline{AD}^2\\
&= \overline{CD}^2 + \overline{AC}^2\\
&= 2\overline{AP}^2 + 2\overline{PQ}^2
\end{array}
$$

(接下來很像，但不一樣)

$\overline{AP} = \overline{PB}，P 為\ \overline{AB}\ 的中點，Q
為\ \overline{PB}\ 延伸上一點\\
\implies \overline{AQ}\times\overline{BQ}+\overline{PB}^2=\overline{PQ}^2$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/quadratic-sum4.svg" width="768" height="600" title="test"></iframe>

$Also \implies \overline{AQ}^2+\overline{BQ}^2=2(\overline{AP}^2+\overline{PQ}^2)$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/quadratic-sum5.svg" width="768" height="600"></iframe>

$$
\begin{array}l
\overline{AQ}^2+\overline{BQ}^2 &= \overline{AD}^2\\
&= \overline{AC}^2 + \overline{CD}^2\\
&= 2\overline{AP}^2 + 2\overline{PQ}^2
\end{array}
$$

###

$P\ 為\ \overline{AB}\ 上的一點，延伸\overline{AB}至 Q，使\overline{BQ} = \overline{BP}，即 B 為\ \overline{PQ} 的中點$

$$
\implies (\overline{AB}+\overline{BQ})^2=4\times\overline{AB}\times\overline{BQ}+(\overline{AB}-\overline{BP})^2\\
\implies \overline{AQ}^2 = \overline{AP}^2 + 4(\overline{AB}\times\overline{BQ})
$$

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/quadratic-sum6.svg" width="768" height="600"></iframe>

## 化方為矩

> 商高曰：「數之法，出於圓方。圓出於方，方出於矩。矩出於九九八十一。故折矩，以為句廣三，股脩四，徑隅五。既方之外，半其一矩。環而共盤，得成三、四、五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。」- 周髀算經

$\overline{AB}$ 上做一點 $P$ 使 $\overline{AB}^2 = \overline{DF}\times\overline{FG}$ (此亦表示 $\overline{AP}^2=\overline{AB}\times\overline{PB}$)

在沒有根號的時代，古希臘人是如何開方的，這也是上述理論的應用之一，可使一方形 (ABCD) 面積等同於矩形 (DFGH)。

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/square-to-rectangle.svg" width="768" height="600"></iframe>

$$
\cases{
\overline{AD} = \overline{AB}\\
\overline{EF} = \overline{EB}\\
\overline{FG} = \overline{AF}
}\\
\because E\ 為 \overline{AD} 中點, F 為 AE 外一點,\\
\overline{EF}^2 = \overline{AE}^2 + \overline{DF}\times\overline{AF}\\
又 \overline{EF}^2 = \overline {EB}^2,\\
= \overline{AE}^2 + \overline{AB}^2\\
\therefore \overline{DF}\times\overline{AF}=\overline{AB}^2\\
\implies Rectangle\ DFGH = Square\ ABCD\\
\implies Square\ AFGP = Rectangle\ PBCH\\
\implies \overline{AP}^2 = \overline{AB}\times\overline{PB}
$$

## 化矩為方 (求一方形面積之方根)

$一矩形 ABCD，求其面積開方。$

延伸 AB 至 E 使 BE = BC，取 $\overline{AE}$ 中點 F，
以 F 為圓心 $\overline{FE}$ 為半徑畫圓，延伸 $\overline{BC}$ 交圓於 G，
則 $\overline{BG}^2 = ABCD$ 之面積，
故 $\overline{BG}$ 為 ABCD 面積之開方。

<iframe src="https://rintaroutw.github.io/fsg/test/rectangle-to-square.svg" width="768" height="600"></iframe>

$$
\cases{
\overline{AF}=\overline{FE}\\
\overline{BC}=\overline{BE}\\
\overline{FE}=\overline{FG}\\
B\text{ 在 }\overline{FE} 上
}\\
\implies \overline{FE}^2=\overline{FB}^2+\overline{AB}\times\overline{BE}\\
\overline{FE}^2=\overline{FG}^2=\overline{FB}^2+\overline{BG}^2\\
\therefore \overline{AB}\times\overline{BE}=\overline{BG}^2\\
Rectangle\ ABCD = \overline{BG}^2
$$

## 思境無維，思路無窮

古人思路和現代人大不相同，完全不是以代數為思考出發點。
現代人若想到線段長的平方，八成只能想到方形與畢式定理，彷彿不透過計算就無法解決問題。

古人卻是在連無理數都不存在的世界中思考、生活與應用。

> 世人不知其然，天下太平；惟知其然不知其所以然者惶恐戒慎。知否？知否？

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