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title: 以邏輯理解三角函數伸縮平移的順序性

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# 以邏輯理解三角函數伸縮平移的順序性

其實這個算學測範圍，而且是頗基本的觀念。但我當時抱持得過且過的心態，大概能解出題目就好，沒有真正理解它在幹嘛。這也導致我準備分測時再次看到它，然後全部搞混

跟朋友討論時發現，如果直接 Google **三角函數 伸縮平移**，出來的第一篇結果，科學 Online 在這部分是寫錯的，截至 2024 也大概傳播了 10 年錯誤資訊：於是這篇文便誕生了

順帶一提這邊討論的東西，實際上不僅限於三角函數，你對任何圖形做類似操作，所使用的觀念都是相同的

## 本文大概在討論這些

倘若你可以毫無猶豫地回答以下問題，代表你的觀念是完全正確且清晰的，可以直接略過本文

> 針對 $y=\sin{x}$ 做出以下兩種操作
> > 1.左右伸縮 $2$ 倍後左移 $\frac{1}{2}\pi$
> 
> > 2.左移 $\frac{1}{2}\pi$ 後左右伸縮 $2$ 倍
> 
> 問兩種操作後會得出的函數
:::info
1. $y = \sin[\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\pi)] = \sin(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\pi)$

2. $y = \sin{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\pi)}$
:::

> 常見的 **左右平移 > 左右伸縮 > 上下伸縮 > 上下平移** 原則適用於什麼情況
> 如果我要生成一個 **週期 $4\pi$ 且波谷過 $x=0$ 的 sin 函數**，應該寫
> a. $\sin{(\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\pi))}$  或
> b. $\sin{(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\pi)}$

:::info
b
:::

> 解釋或反駁以下論述：
> 左右伸縮 $2$ 倍後再左移 $2$ 單位，由於伸縮與平移是兩個獨立的操作，可以想成把你的體型拉寬 $2$ 倍後叫你往左走 $2$ 步。你並不會因為體型變寬，而變成要走 $4$ 或 $1$ 步。那伸縮 $p$ 後再平移 $q$，$q$ 會受到 $p$ 影響為何說得過去？

> **對 $y=\sin{x}$ 左右伸縮 $2$ 倍後左移 $\frac{1}{2}\pi$**，這邊的 $\frac{1}{2}\pi$ 用哪句話解釋最為洽當：
> a. 伸縮前的坐標系，$\frac{1}{2}\pi$ 所代表的長度，我圖形就是要移動這個距離
> b. 伸縮後的坐標系，$\frac{1}{2}\pi$ 所代表的長度，我圖形就是要移動這個距離
> c. 一個量值，我伸縮後整個圖形中每個點的 x 座標都要加上這個量值（$\frac{1}{2}\pi$）

:::info
a
b、c 差不多，都是錯的，其中 c 又比 b 更不精確一點
:::

## 伸縮平移的本質

依我自己的了解，與其說伸縮是把圖形拉長或擠扁，說在 **重新定義每個刻度所代表的單位**，會較前者更好理解。以左右拉伸 $2$ 倍而言，現在每個刻度代表的量值加倍了。本來的 $x=1$ 代表 $1$ 個單位長，但現在代表 $2$ 個。換言之，本來你標示 $x=1$ 的地方應該改成 $2$，$x=2$ 的地方應該改成 $4$ ...
（註：其實這只是解釋問題，實際上你要說他是＂物理上的圖形拉長兩倍＂、＂把坐標軸擠扁＂、＂使每個刻度代表的單位更多＂都是合理的）

差別在哪裡？首先，這可以解釋為何前文提到，**把你體型拉寬兩倍後往左兩步** 是不合理的比喻：伸縮根本不是在把你的體型拉長，而是在調整測量你時，所用刻度的意義。如果本來你測出來的寬度是 100 公分，伸縮兩倍後應該測出 200 公分（你所對應到的刻度數目完全相同，不過每個刻度的價值翻倍了）。實際上你本人就在那邊不曾動過，我改變的僅為測量標準罷了

至於平移，我不會說 **伸縮 $p$ 後平移 $q$** 的 $q$ 是一個絕對的數字，它更像是一個長度。今天一根棒子就是那麼長，無論你用英制或公制單位描述其，都不會改變它本身的長度。而當我說我圖形要左移 $q$ 時，代表我對目前圖形做出任何改變之前，先透過 **目前的刻度** 來確認好這個 $q$ 有多長，下文稱其為＂這個長度＂

這邊的長度和圖形本身相同，無論你之後怎麼伸縮都不改變

當我們的操作順序是 **伸縮後平移**，代表我們會改變要用的刻度，使這個刻度代表的單位改變，但我剛開始量好的＂這個長度＂並不會跟著被拉開，只是我得用新的單位表達其。這就是為何平移受到伸縮影響，我要用伸縮後的新單位，來表達早就量好的＂這個長度＂

（註：等你最後在運算時，$y = \sin{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\pi}$ 的 $\frac{1}{2}\pi$ 是指移動這個 **刻度**，與刻度本身代表的單位無關，如果你打算用我的邏輯去想，得先接受這點）

## 伸縮與平移的順序性

<font size = 4>**先附圖**</font>

![image](https://hackmd.io/_uploads/SJQn9ClVC.png)

藍色是先做伸縮再平移的結果，而綠色是先做平移再伸縮的結果，兩者是完全不同的圖形。上段解釋了平移何以被先來的伸縮影響，下文同樣以對 $y=\sin{x}$ 做出以下操作來舉例（因為我懶得想新數字）：

> > 1.左右伸縮 $2$ 倍後左移 $\frac{1}{2}\pi$
> 
> > 2.左移 $\frac{1}{2}\pi$ 後左右伸縮 $2$ 倍

第一種情況，就是剛剛講的，所有的單位皆被改變。我們先把函數變成 $y=\sin{\frac{1}{2}x}$

在新單位下，每個刻度的價值翻倍，本來 $x=\frac{1}{2}\pi$ 的地方變成 $x=\pi$ 了。現在的要求是我要移動 **在原本 $=\sin{x}$ 的圖形尺度中，$\frac{1}{2}\pi$ 之長度**

顯然我現在直接左移 $\frac{1}{2}\pi$ （的刻度）太多對吧？硬移的話會是我預計長度的兩倍。是故我們將這個 $q$ 也丟進括號中，函數變成 $y=\sin{[\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\pi)]}=\sin{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\pi)}$，這樣才會到達正確位置

至於第二種呢？這相對直觀不少。因為我尚未做出任何伸縮操作，我打從一開始的刻度，就跟我指定要＂這個長度＂時所用的刻度相同，那就直接把圖形往左丟：$y=\sin{(x+\frac{1}{2}\pi)}$

接下來要平移。注意到我現在的圖形已經完成了要移動的任務，圖形本身已經固定了，現在只是更改刻度而已：圓形的東西換把尺量也不會變成正方形。所以直接把 $\frac{1}{2}$ 的係數加在 $x$ 上，變成 $y=\sin{(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\pi)}$

## 看著式子生成圖形，與看著圖形生成式子

常見的 **左右平移 > 左右伸縮 > 上下伸縮 > 上下平移**（我印象中出自對話式，也可能滿普及的）規則，是用在當我們看到一個式子時，要按照這個順序來對原始圖形操作。像 **$y = a\sin({bx+c})+d$** 這個式子，假如我們是從 **$\sin=x$** 的基礎開始一步步操作，就會先把它左右平移 $c$，然後改變左右單位長，伸縮 $\frac{1}{b}$ 倍，然後改變上下單為長，伸縮 $a$ 倍，最後圖形上下平移 $d$

上面的流程是看著式子生成圖形，如果反過來呢？以我經驗而言沒有特定順序，你開心就好，不過常見的思考邏輯有以下兩種，還是要注意左右平移與伸縮的互相干擾。拿文章開頭的那個問題為例：

> 我要生成一個 **週期 $4\pi$ 且波谷過 $x=0$ 的 sin 函數**
> 最後會是 $y=\sin{(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\pi})$

如果你的思考脈絡是＂週期 $4\pi$ 代表圖形要左右伸縮 2 倍，波谷本來應該在 $x=-\frac{1}{2}\pi$ 的地方，現在卻跑到 $=0$ 了，表示我有右移 $\frac{1}{2}\pi$＂，那麼你這邊的平移，看的是 **原始圖形，什麼都還沒動** 的長度，你可以直接把圖形打過去，等打完再更換刻度即可。換個說法叫先平移再伸縮

相對，如果你打從一開始就意識到＂伸縮後的波谷在 $-\pi$，那就要注意此時的單位。你現在每個刻度代表的單位，都是原本的兩倍。所以在移回去時，只需要移動 $\frac{1}{2}\pi$ （的刻度）就夠了

當然，如果你是那種先伸縮後，直接帶入 $f(0)=-1$ 的流派，就暫時不用管這些了，此方法沒有錯的可能（只是我不喜歡，我能直接寫出來的東西，我幹嘛算方程式）

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然後這邊補充一個來自我朋友的流程，他使用的方法與前述沒什麼關係，不過是好的
同樣假設函數是 $y=a\sin{(bx+c)+d}$
- 首先觀察函數上下界，兩者相加 $/2$ 後即為 $d$
- 觀察振幅，即波峰減波谷後 $/2$，此數字即為 $|a|$
- 尋找週期 $\mathbb{T} = \Large{\frac{2 \pi}{|b|}}$
- 由以上兩點得出 $a$、$b$ 的四種組合（要考慮正負），然後帶入已知點求出 $c$，再對照題目條件驗證 $c$ 的合理性