# Functional analysis

## I. Метрические пространства.

### Метрические и топологические пространства. Примеры: $l_p, C_p[a, b] (1 \leqslant p \leqslant \infty), C^n[a,b]$. Неравенства Гельдера и Минковского.

__Опр__: _Метрическое пространство_ --- это
пара $(X, \rho)$, где $\rho : X \times X \to \mathbb{R}$ и для любых $x, y, z \in X$ верно:
1. $\rho(x, y) \ge 0$, $\rho(x, y) = 0 \iff x = y$,
2. $\rho(x, y) = \rho(y, x)$,
3. $\rho(x, y) \le \rho(x, z) + \rho(z, y)$.
Отображение $\rho$ называется _метрикой_.

Примеры метрических пространств:
1. $C[a, b]$ --- множество непрерывных отображений $[a, b] \to \mathbb{R}$ с метрикой
$$
\rho(f, g) = \sup_{x \in [a, b]} |f(x) - g(x)|.
$$
2. $C_p[a, b]$ --- множество непрерывных функций $[a, b] \to \mathbb{R}$ с метрикой
$$
\rho_p(f, g) =
\sqrt[p]{\int\limits_a^b |f(x) - g(x)|^p dx}.
$$

3. $l_p$ --- множство числовых последовательностей $x: \mathbb{N} \to \mathbb{R}: \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p < +\infty$ с метрикой
$$
\rho(x, y) = \begin{cases} \sum\limits_{k=1}^{\infty} |x_k - y_k|^p, 1 \le p < \infty, \\ \sup\limits_{k \in \mathbb{N}} |x_k - y_k|, \, p = \infty. \end{cases}
$$
4. $C^n[a, b]$ --- множество $n$ раз непрерывно дифференцируемых функций $[a, b] \to \mathbb{R}$ с метрикой
$$
\rho(f, g) = \sum_{i=1}^n \max_{[a, b]} |f^{(i)}(x) - g^{(i)}(x)|
$$

__Неравенство Гельдера:__ Пусть $p, q \ge 1; \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$
$\{a_k\} \in l_p, \{b_k\} \in l_q$ --- числовые последовательности. Тогда
$$
\sum_{k}|a_kb_k| \le \left(\sum_{k} |a_k|^p \right)^{1/p}\left(\sum_{k} |b_k|^q \right)^{1/q}.
$$

__Неравенство Минковского:__ Пусть $p \ge 1$
$\{a_k\}, \{b_k\} \in l_p$ --- числовые последовательности. Тогда
$$
\left(\sum_{k}|a_k +b_k|^p\right)^{1/p}\le \left(\sum_{k} |a_k|^p \right)^{1/p}+ \left(\sum_{k} |b_k|^p \right)^{1/p}.
$$

## II. Полные метрические пространства.

__Опр:__ Пусть $(X, \rho)$ --- метрическое пространство, тогда последовательность $\{ x_n \} \subset X$ называется _фундаментальной_, если
$$
\forall{\varepsilon > 0} \; \exists{N}: \; \forall{n, m \ge N} \;
\rho(x_n, x_m) < \varepsilon.
$$

__Опр:__ Если в метрическом пространстве $(X, \rho)$ любая фундаментальная последовательность имеет предел, оно называется _полным_.

### Теорема о вложенных шарах (2.1).

Пусть $(X, \rho)$ --- полное метрическое пространство, $\{ \overline{B}_n \}$ --- последовательность вложенных замкнутых шаров с радиусами $r_n \to 0$. Тогда
$$
\bigcap_{n = 1}^\infty \overline{B}_n = \{ x \}.
$$

### Принцип сжимающих отображений (2.2).
__Опр:__ Пусть $(X, \rho)$ --- метрическое пространство. Тогда отображение $f : X \to X$ называется _сжимающим_, если $\forall{x, y \in X} \; \rho(f(x), f(y)) \le \alpha \rho(x, y)$ для некоторого $\alpha \in (0, 1)$.

__Теорема:__ Пусть $X$ --- непустое полное метрическое пространство, $f : X \to X$ --- сжимающее отображение. Тогда $\exists!\,{x \in X}: \; f(x) = x$.

## III. Компактные метрические пространства.

__Опр:__ Топологическое пространство $X$ _компактно_, если для любого набора открытых множеств ${\{ G_\alpha \}}_{\alpha \in A}$, являющегося покрытием (т. е. такого, что $X = \bigcup_\alpha G_\alpha$), существует конечное подпокрытие, т. е. $\exists{\alpha_1, \dots, \alpha_n \in A}: \; X = G_{\alpha_1} \cup \dots \cup G_{\alpha_n}$.

__Опр:__ В топологическом пространстве $X$ _центрированной системой_ называется такое семейство его подмножеств ${\{ B_\alpha \}}_{\alpha \in A}$, что любой конечный набор из них имеет непустое пересечение, т. е.
$$
\forall{\alpha_1, \dots, \alpha_n \in A} \quad
\bigcap_{k = 1}^n B_{\alpha_k} \ne \varnothing.
$$

### Компактность и центрированные системы замкнутых множеств (3.1).
Топологическое пространство $X$ компактно $\iff$ в $X$ любая центрированная система замкнутых множеств имеет непустое пересечение.

#### Критерий компактности (3.2).

__Опр:__ Пусть $X$ --- метрическое пространство, $A \subset X$. $B \subset X$ называется _$\varepsilon$-сетью для $A$_, если
$$
A \subset \bigcup_{x \in B} \overline{B}(x, \varepsilon).
$$

__Опр:__ Подмножество метрического пространства называется _вполне ограниченным_, если для любого $\varepsilon > 0$ для него найдётся конечная $\varepsilon$-сеть.

__Теорема:__ Если $X$ --- метрическое пространство, то то следующие условия эквивалентны:
1. $X$ --- компакт
2. $X$ --- полное и вполне ограниченное множество
3. Из любой последовательности в $X$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность
4. Всякое бесконечное множество имеет предельную точку

### Теорема Арцела--Асколи(3.3).

__Опр:__ Пусть $(X, \rho_X)$, $(Y, \rho_Y)$ --- метрические пространства. Тогда отображение $f : X \to Y$ называется _равномерно непрерывным_, если
$$
\forall{\varepsilon > 0} \;
\exists{\delta > 0}: \;
\rho_X(x, y) < \delta \implies
\rho_Y(f(x), f(y)) < \varepsilon.
$$
__Опр:__ $M \subset C(X)$ _равностепенно непрерывно_, если
$$
\forall{\varepsilon > 0} \;
\exists{\delta > 0}: \;
\forall{x, y}: \; \rho(x, y) < \delta \implies \forall{f \in M} \;
|f(x) - f(y)| < \varepsilon.
$$

__Опр:__ Пусть $X$ --- метрическое пространство. Множество $M \subset X$ называется _предкомпактным_, если $\overline{M}$ компактно.

__Теорема:__ Пусть $X$ --- компактное метрическое пространство. Тогда
$M \subset C(X)$ предкомпактно $\iff$ $M$ ограниченно в $C(X)$ (равномерно ограниченно) и равностепенно непрерывно.

## IV. Линейные нормированные пространства.

__Опр:__ Линейным _нормированным пространством_ называется линейное пространство $E$ над полем $F$, где $F = \mathbb{R}$ или $F = \mathbb{C}$, снабжённое _нормой_, т. е. отображением $||\cdot|| : E \to \mathbb{R}$ таким, что для произвольных $x, y \in E$ и $\alpha \in F$
1. $||x|| \ge 0$, $||x|| = 0 \iff x = 0$
2. $||\alpha x|| = |\alpha| ||x||$ (однородность)
3. $||x + y|| \le ||x|| + ||y||$ (неравенство треугольника)

__Опр:__ _Евклидовым пространством_ называется линейное пространство $E$ над полем $F$, где $F = \mathbb{R}$ или $F = \mathbb{C}$, снабжённое _скалярным произведением_ --- отображением $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to F$,
удовлетворяющим следующим свойствам:
1. $\langle x, x\rangle \ge 0$, $\langle x, x\rangle = 0 \iff x = 0$
2. $\langle x, y\rangle = \overline{\langle y, x\rangle}$
3. $\langle \alpha x, y\rangle = \alpha \langle x, y\rangle$
(тогда верно и $\langle x, \alpha y\rangle = \overline{\alpha} \langle x, y\rangle$)
4. $\langle x + y, z\rangle = \langle x, z\rangle + \langle y, z\rangle$

### Теорема Рисса (некомпактность сферы в $E$, $\text{dim}E = \infty$)(4.1).

Пусть $E$ --- нормированное пространство, $\dim E = \infty$. Тогда единичная сфера $S(0, 1) \subset E$ не является компактом; более того, она даже не вполне ограниченна.

### Характеристическое свойство евклидовых пространств(4.2). Банаховы и гильбертовы пространства.

__Опр:__ Нормированное пространство называется _банаховым_, если порождённое им метрическое пространство полно.

__Опр:__ Евклидово пространство называется _гильбертовым_, если порождённое им нормированное пространство банахово.

__Теорема:__ Пусть $E$ --- линейное нормированное пространство.
Норма в $E$ порождается некоторым скалярным произведением $\iff$ выполняется равенство параллелограмма:
$$||a + b||^2 + ||a - b||^2 = 2||a||^2 + 2||b||^2.$$

### Эквивалентность норм в конечномерном пространстве. Понятие линейного топологического пространства, примеры.

__Опр:__ Нормы $||\cdot||_1$ и $||\cdot||_2$, заданные на линейном пространстве $E$, называются _эквивалентными_ ($||\cdot||_1 \sim ||\cdot||_2$), если
$$
\exists{C_1, C_2 > 0} \;
\forall{x \in E} \;
C_1 ||x||_2 \le ||x||_1 \le C_2 ||x||_2.
$$

__Утв:__ Пусть $E$ --- линейное пространство, $\dim E < \infty$. Тогда все нормы на $E$ эквивалентны.

### Теорема Рисса о проекции (4.3).
Пусть $H$ --- гильбертово пространство, $M \subset H$ --- подпространство. Тогда $H = M \oplus M^\perp$, причём $M^\perp = \{y \mid \forall x \in M \; \langle x, y \rangle = 0\}$ --- подпространство.

### Сепарабельные гильбертовы пространства (4.4, 4.5).

__Опр:__ Система векторов ${\{ e_n \}}_{n = 1}^\infty \subset E$ называется _(счётным) базисом_
в нормированном пространстве $E$, если
$$
\forall{x \in E} \;
\exists!{ {\{ \alpha_n \}}_{n = 1}^\infty }: \;
\sum_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n = x,
$$
где сумма ряда понимается как предел последовательности частичных сумм
$$ S_N = \sum_{n = 1}^N \alpha_n e_n $$
по норме.

__Теорема:__ В гильбертовом пространстве
существование базиса эквивалентно сепарабельности.

__Теорема:__ Все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны.

## V. Линейные ограниченные операторы в банаховом пространстве.

В данном параграфе $E$, $E_1$ и $E_2$ ---
линейные нормированные пространства над
полем $F$.

__Опр:__ Оператор $A : E_1 \to E_2$ называется _линейным_,
если
$$
\forall{x_1, x_2 \in E_1} \;
\forall{\alpha_1, \alpha_2 \in F} \;
A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) =
\alpha_1 A(x_1) + \alpha_2 A(x_2).
$$

### Связь непрерывности и ограниченности линейного оператора (5.1).

Пусть $A : E_1 \to E_2$ --- линейный оператор. Тогда $A$ непрерывен $\iff$ $A$ ограничен.

### Топологии и сходимости в пространстве операторов $L(E1, E2$). Норма оператора. Полнота нормированного пространства $L(E1, E2$) (5.2).

Обозначим через $\mathcal{L}{E_1}[E_2]$ множество линейных ограниченных операторов $E_1 \to E_2$.
Тогда это линейное пространство, если определить
$$
(\alpha_1 A_1 + \alpha_2 A_2) x :=
\alpha_1 A_1 x + \alpha_2 A_2 x,
$$
и норма оператора --- норма в этом пространстве. Кроме того, если $E_2$ --- банахово, то $\mathcal{L}(E_1, E_2)$ --- тоже банахово.

__Опр:__ _Нормой_ линейного оператора $A : E_1 \to E_2$ называется
$$
||A|| := \inf \{
M \mid \forall{x \in E_1} ||Ax|| \le M ||x||
\}.
$$

__Лемма:__ $$||A|| = \sup_{||x|| < 1} ||Ax|| = \sup_{||x|| = 1} ||Ax|| =
\sup_{x \ne 0} \frac{||Ax||}{||x||}.$$

### Задача о продолжении непрерывного отображения. Продолжение линейного ограниченного операторана замыкание области определения (5.3).

Пусть $E_2$ --- банахово пространство, $D(A)$ --- всюду плотное линейное многообразие в $E_1$, $A \in \mathcal{L}(D(A), E_2)$. Тогда
$$
\exists !{\widetilde{A} \in \mathcal{L}(E_1, E_2)}: \;
{\widetilde{A} \bigr|}_{D(A)} = A,
$$
и при этом $||\widetilde{A}|| = ||A||$.

### Теорема Банаха–Штейнгауза (5.4).

Пусть $E_1$ --- банахово пространство, $\{ A_n \} \subset \mathcal{L}(E_1, E_2)$. Тогда
$$
\forall{x} \; \sup_n ||A_n x || < \infty
\implies
\sup_n ||A_n|| < \infty.
$$

### Полнота пространства $L(E1, E2)$ относительно поточечной сходимости (5.5, 5.6).

__Теорема:__ Пусть $E_1$, $E_2$ --- банаховы пространства, $\{ A_n \} \subset \mathcal{L}(E_1, E_2)$.
Тогда если для любого $x \in E_1$ последовательность $\{ A_n x \}$ фундаментальна, то существует $A \in \mathcal{L}(E_1, E_2)$ такой, что $\forall{x \in E_1} \; A_n x \to A x$.

__Теорема:__ Пусть $E_1$, $E_2$ --- банаховы пространства, $\{ A_n \} \subset \mathcal{L}(E_1, E_2)$, $A \in \mathcal{L}(E_1, E_2)$.
Тогда последовательность $\{ A_n \}$ сходится к $A$ поточечно $\iff$ $\{ ||A_n|| \}$ ограниченно и $\forall{x \in S} \; A_n x \to A x$, где $S$ --- полное в $E_1$ множество.

## VI. Обратный оператор. Обратимость.

Пусть на линейных пространствах $E_1$, $E_2$ задан линейный оператор $A : E_1 \to E_2$. Тогда оператор $B : \operatorname{Im} A \to E_1$ называется
* _правым обратным_ к $A$, если $AB = I_{\operatorname{Im} A}$;
* _левым обратным_ к $A$, если $BA = I_{E_1}$;
* _обратным_ к $A$, если он является одновременно правым и левым обратным к $A$ (обозначается как $A^{-1}$).

### Обратимость линейного, ограниченного снизу $(||Ax|| \geqslant k||x||)$ оператора (6.1).

Пусть $E_1$, $E_2$ --- нормированные пространства, $A \in \mathcal{L}(E_1, E_2)$. Тогда
$$
\exists A^{-1} \in \mathcal{L}(\operatorname{Im} A, E_1) \iff
\exists{m > 0}: \; \forall{x \in E_1} ||Ax|| \ge m ||x||.
$$

### Обратимость возмущённого оператора $A + \Delta A$ (6.2, 6.3).

__Теорема:__ Пусть $E$ --- банахово пространство, $A \in \mathcal{L}(E)$ и $||A|| < 1$.
Тогда $\exists (I + A)^{-1} \in \mathcal{L}(E)$.

__Теорема:__ Пусть $E_1$ --- банахово пространство, $E_2$ --- нормированное пространство и $A \in \mathcal{L}(E_1, E_2)$ имеет обратный оператор $A^{-1} \in \mathcal{L}(E_2, E_1)$. Тогда для любого оператора $\Delta \in \mathcal{L}(E_1, E_2)$ такого, что $||\Delta|| < ||A^{-1}||^{-1}$,
$$
\exists {(A + \Delta)}^{-1} \in \mathcal{L}(E_2, E_1).
$$

### Формулировка теоремы Банаха об обратном операторе (6.4). Резольвентное множество оператора, спектр оператора и его компоненты.

Пусть $E_1$, $E_2$ --- банаховы пространства, $A \in \mathcal{L}(E_1, E_2)$ --- биекция. Тогда $A^{-1} \in \mathcal{L}(E_2, E_1).$

__Опр:__
* Точка $\lambda \in \mathbb{C}$ называется _регулярной_ точкой оператора $A$, если
$\exists (A - \lambda I)^{-1} \in \mathcal{L}(E)$;
* Множество всех регулярных точек оператора $A$ называют _резольвентным множеством_ и обозначают как $\rho(A)$.
* Совокупность всех $\lambda \in \mathbb{C}$, не являющихся регулярными, называют *спектром* оператора $A$ и обозначают с помощью $\sigma(A)$.
## VII. Аналитические свойства резольвенты.

### Операторнозначные функции комплексного переменного. Аналитичность резольвенты. Спектральный радиус (7.1).

__Опр:__ _Спектральным радиусом_ оператора $A$ называется
$$
r(A) := \sup_{\lambda \in \sigma(A)} |\lambda|.
$$

__Опр:__ _Резольвентой_ оператора $A$ называется отображение $\lambda \to A_\lambda^{-1}$, заданное на $\rho(A)$; обозначение: $R_\lambda$.

__Теорема:__ Пусть $E$ --- комплексное банахово пространство, $A \in \mathcal{L}(E)$. Тогда $\sigma(A)$ --- непустое замкнутое множество и
$$
r(A) =
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{||A^n||}.
$$

## VIII. Сопряжённое пространство. Теорема Рисса–Фреше. Теорема Хана--Банаха.

Пусть $E$ --- линейное нормированное пространство над полем $F$, где $F = \mathbb{R}$ или $F = \mathbb{C}$.
_Сопряжённым пространством_ назовём
$$E^* := \mathcal{L}(E, F).$$

### Функционалы в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса--Фреше (8.1).

Пусть $H$ --- гильбертово пространство, $f \in H^*$. Тогда
$$\exists !{x \in H}: \; \forall{h \in H} \; f(h) = \langle h, x \rangle.$$

### Теорема Хана–Банаха (8.2), её следствия.

Пусть $E$ --- линейное нормированное пространство, $M \subset E$ --- линейное многообразие, $f \in M^*$. Тогда у $f$ существует продолжение на $E$, сохраняющее норму, т. е.
$$
\exists{\widetilde{f} \in E^*}
\widetilde{f} \bigr|_M = f, \:
||\widetilde{f}|| = ||f||.
$$

__Следствия:__ Пусть $E$ --- линейное нормированное пространство.
1. $M \subset E$ --- линейное многообразие, $E \ne M$, $x_0 \notin \overline{M}$. Тогда $\exists f \in E^*$ такой, что $M \subset \operatorname{Ker} f$, $f(x_0) = 1$ и $||f|| = \frac{1}{\rho(x_0, M)}$.
2. Для произвольного $x \ne 0$ существует $f \in E^*$ такой, что $||f|| = 1$ и $f(x) = ||x||$.
3. Если $\forall{f \in E^*}\; f(x) = f(y)$, то $x = y$.
4. $\forall{x \in E}\; ||x|| = \sup_{||f|| = 1} |f(x)|$.

## IX. Слабая сходимость в банаховом пространстве.

Пусть $E$ --- линейное нормированное пространство, $\{ x_n \} \subset E$. Тогда $\{ x_n \}$ слабо сходится к $x \in E$, если $\forall{f \in E^*} f(x_n) \to f(x).$

### Изометричность вложения $E$ в $E^{**}$. Критерий слабой сходимости последовательности (9.1).

Пусть $E$ --- линейное нормированное пространство, рассмотрим отображение $\pi : E \to E^{**}$, переводящее $x \in E$ в функционал $F_x : f \mapsto f(x)$. Тогда по следствию (4) из теоремы Хана-Банаха
$$
||F_x|| = \sup_{||f|| = 1} |F_x(f)| =
\sup_{||f|| = 1} |f(x)| = ||x||.
$$

Заметим: не всегда $\pi E = E^{**}$; если же это равенство выполнено,
то $E$ называется _рефлексивным_. Например, для $p, q > 1$, $\frac1p + \frac1q = 1$, $(l_p)^* = l_q$.

#### Критерий слобой сходимости
Пусть $E$ - линейное нормированное пространство, тогда:
$x_n \xrightarrow{w} x \Leftrightarrow \{x_n\}$ -- ограничена и $f(x_n) \to f(x) \forall f \in S$ где $S$ -- всюду плотно в $E^*$.

### Слабая сходимость и ограниченные операторы (9.2).
Пусть $E_1$, $E_2$ "--- линейное нормированное пространство, $A \in \mathcal{L}(E_1, E_2)$, $\{ x_n \} \subset E_1$, $x \in E_1$ и $x_n \xrightarrow{w} x$. Тогда $A x_n \xrightarrow{w} Ax$.

## X. Сопряжённый оператор.

Пусть задано два линейных нормированных пространства
$E_1$ и $E_2$. Пусть также зафиксирован оператор $A \in \mathcal{L}(E_1, E_2)$, тогда существует естественный способ определить отображение $A^* : E_2^* \to E_1^*$:
$$
g \mapsto g \circ A.
$$
Композиция сохраняет линейность и непрерывность, а потому определение корректно. Более того, очевидно, что данный оператор линеен.

__Опр:__ $A^*$ называется _сопряжённым_ к $A$ оператором.

### Норма сопряжённого оператора (11.1).
Пусть $E_1$, $E_2$ "--- линейное нормированное пространство, $A \in \mathcal{L}(E_1, E_2).$ Тогда $A^* \in \mathcal{L}(E_2^*, E_1^*)$ и $||A^*|| = ||A||$.

### Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Равенство $(\text{Ker} A^*)^{\perp} = \overline{\text{Im} A}$ (11.2).
Пусть $H$ --- гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H)$. Тогда $(\text{Ker} A^*)^{\perp} = \overline{\text{Im}A}.$

## XI. Самосопряжённые операторы.

**Опр:** Пусть $H$ "--- гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H)$. $A$ называется *самосопряжённым*, если $A^* = A$.

В данном параграфе мы будем рассматривать комплексные гильбертовы пространства.

### Свойства квадратичной формы $(Ax, x)$ и собственных значений самосопряжённого оператора $A$ (12.1).
Пусть $H(\mathbb{C})$ --- гильбертово пространство, $A$ --- самосопряжённый оператор на $H$. Тогда
1. $\forall{x \in H} \;\langle Ax, x\rangle \in \mathbb{R}$,
2. если $\lambda$ --- собственное значение $A$, то $\lambda \in \mathbb{R}$,
3. если $\lambda_1 \ne \lambda_2$ --- собственные значения $A$, а $e_1$ и $e_2$ --- соответствующие им
собственные вектора, то $\langle e_1, e_2\rangle = 0$.

### Разложение гильбертова пространства $H = \text{Ker}(A -\lambda I) \oplus \overline{Im(A - \lambda I)}$ , где $A$ — самосопряжённый оператор (12.2).
Пусть $A$ --- самосопряжённый оператор и $\lambda \in \mathbb{C}$. Тогда $\overline{\operatorname{Im} A_\lambda} \oplus
\operatorname{Ker} A_{\lambda} = H$.

### Критерий принадлежности числа спектру (12.3). Вещественность спектра самосопряжённого оператора(12.4).
**Теор.** Пусть $H$ --- комплексное гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}({H})$ --- самосопряжённый оператор. Тогда
1. $\lambda \in \rho(A) \Leftrightarrow \exists{m > 0} \;\;\forall{x \in H} ||A_\lambda x|| \geqslant m ||x||$,
2. $\lambda \in \sigma(A) \Leftrightarrow \exists{ {\{ x_n \}}_{n=1}^\infty }\;\;
\forall{n} ||x_n|| = 1, \: \:
||A_\lambda x_n|| \to 0$.

**Теор.** Пусть $H$ --- комплексное гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H)$ --- самосопряжённый оператор. Тогда $\sigma(A) \subset \mathbb{R}$ и если $\lambda \notin \mathbb{R}$, то $||R_\lambda(A)|| \leqslant \frac{1}{|\operatorname{Im} \lambda|}$.

### Теорема о спектре самосопряжённого оператора (12.5): $\sigma(A) \subseteq [m_-,m_+], r(A) = ||A||$.
Пусть $H$ --- комплексное гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H)$ --- самосопряжённый оператор. Тогда $\sigma(A) \subset [m_{-}, m_{+}]$, где
$$
m_{-} = \inf_{||x||=1} \langle Ax, x\rangle, \qquad
m_{+} = \sup_{||x||=1} \langle Ax, x\rangle;
$$
причём, $m_{-}, m_{+} \in \sigma(A)$. Кроме того,
$$
r(A) = ||A|| = \max \{ |m_{-}|, |m_{+}| \}.
$$

## XII. Компактные операторы.
**Опр:** Оператор $A \in \mathcal{L}(E_1, E_2)$ называется *компактным*, если для любого ограниченного множества $X \subset E_1$ его образ $A X$ предкомпактен. Множество компактных операторов, действующих из $E_1$ в $E_2$, будем обозначать как $K(E_1, E_2)$ или, если $E_1 = E_2 = E$, $K(E)$.

### Свойства компактных операторов (13.1).
Пусть $E_1$ и $E_2$ --- линейные нормированные пространства, причём $E_2$ --- банахово, $\{ A_n \}_{n=1}^\infty \subset K(E_1, E_2)$ и $A_n \to A$. Тогда $A$ также компактен.

### Свойства собственных значений компактного оператора (13.2,13.3).
**Теор.** Пусть $E(\mathbb{C})$ --- линейное нормированное пространство, $A \in K(E)$. Тогда $\forall{\lambda \ne 0} \dim \operatorname{Ker} A_\lambda < \infty$ (т. е. собственное пространство, соответствующее $\lambda$, конечномерно).

**Теор.** Пусть $E(\mathbb{C})$ --- банахово пространство, $A \in K(E)$. Тогда для любого $\delta > 0$ вне круга $\{ |\lambda| \le \delta \}$ может быть только конечное число собственных значений оператора $A$.

### Теорема Фредгольма для компактных самосопряжённых операторов (13.4).
Пусть $H$ --- комплексное гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}({H})$ --- компактный самосопряжённый оператор, $\lambda \in \mathbb{C}$, $\lambda \ne 0$. Тогда либо $\lambda$ --- не собственное значение $A$, и уравнение
$$
A x = \lambda x + y
$$
имеет решение относительно $x$, определённое для любого $y \in H$ и непрерывно зависящее от него, либо $\lambda$ --- собственное значение $A$ и это уравнение разрешимо (не единственным) образом в точности для тех $y$, которые ортогональны всем собственным векторам для $\lambda$.

### Спектр компактного самосопряжённого оператора. Теорема Гильберта--Шмидта (13.5).
Пусть $H$ --- сепарабельное комплексное гильбертово пространство, $\dim H = \infty$, и
$A \in \mathcal{L}(H)$ --- компактный самосопряжённый оператор. Тогда в $H$ существует ортонормированный базис из собственных векторов оператора $A$.

## XIII. Элементы нелинейного анализа.

### Производная Фреше, производная Гато. Формула конечных приращений (14.1)

__Опр:__ Пусть $E_1$, $E_2$ --- нормированные вещественные пространства, $D$ --- область в $E_1$, $F: D \to E_2$.
$F$ _дифференцируема по Фреше_ (сильно дифференцируема) в точке $x_0 \in D$, если
$$
\exists{A \in \mathcal{L}(E_1, E_2)}: \;
\lim_{h \to 0} \frac{||F(x_0 + h) - F(x_0) - Ah||}{||h||} = 0.
$$
Тогда $A$ называется _производной Фреше_ (сильной производной) функции $F$ в точке $x_0$ и обозначается как $F'(x_0)$.
Для конкретного $h \in E_1$ $Ah$ называется _дифференциалом Фреше_ (сильным дифференциалом) и обозначается как $dF(x_0, h)$.

__Опр:__ Пусть $E_1$, $E_2$ --- нормированные вещественные пространства,
$D$ --- область в $E_1$, $F: D \to E_2$.
_Дифференциалом Гато_ (слабым дифференциалом)
называется
$$
DF(x_0, h) = \frac{d}{dt} F(x_0 + t h) \bigr|_{t=0} =
\lim_{t \to 0} \frac{F(x_0 + th) - F(x_0)}{t}.
$$
Если $DF(x_0, \cdot) \in \mathcal{L}(E_1, E_2)$, то $F$ _дифференцируема по Гато_ в точке $x_0$ и оператор $DF(x_0, \cdot)$ называется _производной Гато_ (слабой производной) функции $F$ в точке $x_0$.

__Теорема:__ Пусть $E_1$, $E_2$ --- вещественные нормированные пространства, $D \subset E_1$ --- выпуклая область и $F : D \to E_2$ дифференцируема на $D$ (по Фреше).
Тогда для произвольных $x_0, x_1 \in D$
$$
||F(x_1) - F(x_0)|| \leqslant \sup_{\xi \in (x_0, x_1)} ||F'(\xi)|| \cdot ||x_1 - x_0||,
$$
где $(x_0, x_1) = \{ x_0 + t (x_1 - x_0) \mid t \in (0, 1) \}.$