# Groupes de difféomorphismes
## $\mathrm{Diff}^{(r)}(M)$
Soit $M$ une variété compacte de dimension $d$, et $\mathrm{Diff}^{(r)}(M)$ son groupe de $\mathcal{C}^r$-difféomorphismes.

Dans la cas compact, la topologie faible et forte sur $\mathrm{Diff}^{(r)}(M)$ coïncident. Elle est métrisable.

Pour $r \geq 1$, $\mathrm{Diff}^{(r)}(M)$ est localement homéomorphique à l'espace des champs de vecteurs de classe $\mathcal{C}^r$.

## $\mathrm{Diff}^{(r)}_0(M)$

On note $\mathrm{Diff}^{(r)}_0(M)$ la composante connexe de l'identité.

En général, quand $M$ est orientable, $\mathrm{Diff}^{(\infty)}_0(M)$ a le type d'homotopie d'un CW complexe dénombrable.

En dimension $d \leq 2$, $\mathrm{Diff}^{(\infty)}_0(M)$ a le type d'homotopie d'un CW complexe fini.

Pour $d \geq 7$, $\mathrm{Diff}^{(\infty)}_0(\mathbb{S}^d)$ n'a pas le type d'homotopie d'un CW complexe fini.

**Question:** Et pour $\mathrm{Homeo}(M)$?

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0040938372900213
https://mathoverflow.net/questions/126829/is-the-space-of-diffeomorphisms-homotopy-equivalent-to-a-cw-complex/126854#126854
file:///home/raph/Downloads/1214428816.pdf

$\mathrm{Homeo}_0(M)$ est un groupe parfait: $\mathrm{Homeo}_0(M) = [\mathrm{Homeo}_0(M),\mathrm{Homeo}_0(M)]$.

Mieux: c'est un groupe simple. $\mathrm{Diff}^{(r)}_0(M)$ aussi.

Cours: https://math.berkeley.edu/~kpmann/algdiff.pdf

## $\mathrm{Diff}^{(r)}_{\mathbb{R}}(M)$

On note $\mathrm{Diff}^{(r)}_{\mathbb{R}}(M)$ les difféomorphismes inclus dans un sous-groupe à un paramètre, i.e., les $\phi$ tels que ils existe un morphisme de groupe $\mathbb{R} \rightarrow \mathrm{Diff}^{(r)}(M)$ le contenant dans son image.

Il ne forme pas un sous-groupe de $\mathrm{Diff}^{(r)}_0(M)$...
En effet, sinon il serait normal, donc serait $\mathrm{Diff}^{(r)}_0(M)$ tout entier, or on montre que ce n'est pas le cas.
https://math.stackexchange.com/questions/1691399/does-the-set-of-diffeomorphisms-which-are-induced-by-flows-form-a-group?rq=1
Ou sinon, dans le cas $\mathcal{C}^1$ on montre que la composition de deux flots au temps $1$ n'est pas forcément un flot au temps $1$.
https://mathoverflow.net/questions/18753/does-the-baker-campbell-hausdorff-formula-hold-for-vector-fields-on-a-compact

Mais il engendre $\mathrm{Diff}^{(r)}_0(M)$ tout entier: chaque difféomorphisme est un produit fini d'éléments de $\mathrm{Diff}^{(r)}_{\mathbb{R}}(M)$.
En effet, le sous-groupe engendré est normal.

https://mathoverflow.net/questions/153484/flows-of-vector-fields-and-diffeomorphisms-isotopic-to-the-identity

## $\mathrm{Diff}^{(r)}_{\mathbb{S}^1}(M)$

On note $\mathrm{Diff}^{(r)}_{\mathbb{S}^1}(M)$ les difféomorphismes inclus dans un sous-groupe circulaire, i.e., les $\phi$ tels que ils existe un morphisme de groupe $\mathbb{S}^1 \rightarrow \mathrm{Diff}^{(r)}(M)$ le contenant dans son image.

Comme précédemment, il ne forme pas un sous-groupe de $\mathrm{Diff}^{(r)}_0(M)$... Mais il engendre $\mathrm{Diff}^{(r)}_{0}(M)$.

**Remarque:** le difféomorphisme $\mathbb{S}^1\rightarrow\mathbb{S}^1$ définit par $\phi(x) = x + \frac{\pi}{n} + \epsilon \sin^2(nx)\epsilon$ n'est pas dans $\mathrm{Diff}^{(\infty)}_{\mathbb{S}^1}(M)$ ni $\mathrm{Diff}^{(\infty)}_{\mathbb{R}}(M)$.
https://mathoverflow.net/questions/153484/flows-of-vector-fields-and-diffeomorphisms-isotopic-to-the-identity

**Actions de $\mathbb{S}^1$:** Une action de $\mathbb{S}^1$ sur $M$ est, de manière équivalente, un morphisme $f\colon\mathbb{S}^1 \rightarrow \mathrm{Diff}^{(r)}_{\mathbb{S}^1}(M)$.
Deux actions $f,f'$ sont conjuguées s'il existe un difféomorphisme $\phi$ préservant l'orientation tel que $f' = \phi \circ f \circ \phi^{-1}$.
Supposons que $\phi$ soit dans $\mathrm{Diff}^{(r)}_{0}(M)$. Alors, en choisissant un chemin $\phi_t\colon \mathrm{id} \leadsto \phi$, on obtient une chemin d'actions $f_t = \phi_t\circ f \circ \phi_t^{-1}$ qui connecte $f \leadsto f'$.
Autrement dit, on se demande si les chemins $f$ et $f'$ sont homotopes dans $\mathrm{Diff}^{(r)}_{\mathbb{S}^1}(M)$.

**Question:** L'espace $\mathrm{Diff}^{(r)}_{\mathbb{S}^1}(M)$ est-il différent de $\mathrm{Diff}^{(r)}_{0}(M)$?
Par exemple, a-t-il le type d'homotopie d'un CW complexe fini ?

## Exemples de petite dimension

On a une homotopie équivalence $O(3) \rightarrow \mathrm{Diff}^{(\infty)}(\mathbb{S}^2)$
[Smale, Diffeomorphisms of the 2-sphere, https://www.jstor.org/stable/pdf/2033664.pdf].

De même pour $O(4) \rightarrow \mathrm{Diff}^{(\infty)}(\mathbb{S}^3)$.
[Hatcher, https://www.jstor.org/stable/pdf/2033664.pdf]
https://math.mit.edu/~araminta/SmaleConjecture.pdf

En général, on a $\mathrm{Diff}^{(\infty)}(\mathbb{S}^d) \simeq O(d+1) \times \mathrm{Diff}_{\partial}(D^d)$, où $\mathrm{Diff}_{\partial}(D^d)$ est le groupe des difféomorphismes du disque qui fixent le bord.
https://people.math.harvard.edu/~kupers/teaching/272x/book.pdf

$\mathrm{Diff}_{\partial}(D^d)$ est trivial pour $n \leq 3$, et non-trivial pour $n \geq 7$. On ne sait pas pour $4 \leq n \leq 6$.
http://garden.irmacs.sfu.ca/op/what_is_the_homotopy_type_of_the_group_of_diffeomorphisms_of_the_4_sphere