# 1.2節　理論の要約

私たちの貢献は、3つの分野に分類されます。新しい理論モデル、新しい統計手法、そして新しいレンダリングアルゴリズムです。これらの各分野の概要を説明した後、結果について詳しく説明します。
この論文の最初の部分では、双方向の光輸送アルゴリズムの理論について調べます。我々は単純で数学的に正確な光輸送モデルを開発し、そして光輸送問題の構造を有用な方法で明らかにした。特に、我々は、シーンモデルの物理的妥当性についての異なる仮定の下で、異なる双方向での解法技術（例えば光と重要性に基づくもの）間の関係を研究した。これらの新しい光輸送の定式化は、新しい洞察とレンダリング技術を直接もたらしました。
統計的方法はモンテカルロアルゴリズムのもう一つの重要な要素です。光輸送アルゴリズムを研究する過程において、我々は分散減少のための新しい汎用目的の方法を開発した。これらの手法は他の文脈でも役立つものと考えているため、これらの手法を分離して抽象的な設定で提示しました。
最後に、私たちの主な貢献は、ロバストな光輸送アルゴリズムの開発でした。これらのアルゴリズムの主な利点は、複雑な照明を効率的に処理できることです。モンテカルロの性質上、複雑な散乱モデルや表面形状もサポートしています。これらのプロパティを組み合わせることで、間接照明が難しい場合でも、妥当な予測可能な時間で、さまざまな現実的なシーンをレンダリングできます。

## 1.2.1 コンピューターグラフィックスでの双方向光輸送理論

* **一般的な線形演算子定式化(linear operator formulation)**
我々は線形演算子に基づく簡単な光輸送モデルを提示し、Arvo [1995]の研究を拡張します。この新しい定式化は、光の輸送、重要度の輸送、および粒子追跡を統一し、それらの間の関係を簡潔に要約します。私たちはシーンモデルの物理的妥当性については何も仮定していません。それは私たちのフレームワークに以前のアプローチより豊かな構造を与えます。

* **非対称散乱の新しい例**
特定の材料、特に双方向散乱分布関数（BSDF）が対称的ではないものは、光輸送アルゴリズムで特別に扱われなければなりません。これまでに認識されていなかった、この2つの一般的な例について説明します。具体的には、光が屈折するときはいつでも、またシェーディング法線が使用されるときはいつでも、非対称的な散乱が起こることを示します。これらの状況を正しく処理するために必要な変換を双方向アルゴリズムで導出します。また、これらの新しい変換を使用しないと、かなりのエラーや画像のアーティファクトが発生する可能性があることも示します。

* **一般材料に対する相反原理**
物理的に有効な材料からの光の反射が対称BSDFによって記述されることはよく知られています。我々は、この条件の一般化を導出し、これは任意の材料（すなわち、透過と反射）に当てはまる。私たちは、熱力学の法則、特にキルヒホッフの法則と詳細な均衡の原理を使って、この新しい相反原理を確立します。また、相反原理の歴史的起源、その正当化に関わる微妙な点、およびそれらが有効である条件についても説明します。

* **自己随伴演算子定式化**
この新しい相反原理を利用して、我々は線形演算子がすべての物理的に有効なシーンに対して自己随伴（対称）である最初の光輸送定式化を提案する。これにより、双方向光伝送アルゴリズムの理論と実装の両方が簡素化されることを示します。

* **経路積分定式化**
通常、光輸送問題は積分方程式または線形演算子によって表現されます。代わりに、我々はそれを経路空間上の積分問題として定式化する方法を示す。この観点により、多重重要度サンプリング、またはMetropolisサンプリングアルゴリズムなどの新しい解法を適用できます。

* **不偏モンテカルロ法の固有の限界**
我々は、ある種の輸送経路が標準的なサンプリング技術では生成できないことを示す。これは、不遍モンテカルロアルゴリズム（パストレースなど）によって生成された画像に特定の照明効果がない可能性があることを意味します。我々はこれが起こる条件を分析し、そしてこれらのパスサンプリングアルゴリズムを完全にするための方法を提案する。

## 1.2.2 汎用的なモンテカルロ法

* **多重重要度サンプリング**
本発明者らは、ロバストである、すなわち、そのクラスの被積分関数に対してその分散が低い推定量を構築するための新しい技法を説明する。これは、積分を評価するために複数のサンプリング技法を使用するという考えに基づいています。各技法は、本来なら分散が大きくなる可能性がある被積分関数の何らかの特徴をサンプリングするように設計されています。私たちの重要な結果は、サンプルをどのように組み合わせるかということです。私たちは、他の公平な方法と比較して、明らかに最適に近い組み合わせ戦略を提示します。これにより、分散レイトレーシング、マルチパスラジオシティアルゴリズム、双方向パストレーシングなど、グラフィックにおけるさまざまな問題に役立つ低分散推定量が得られます。

* **効率最適化ロシアルーレット**
ロシアンルーレットはサンプリングの平均コストを削減しますが、分散を大きくする手法です。得られた推定器の効率を最大にするために、ある特性を他の特性とトレードオフする新しい最適化を提案します。これは、小さな貢献しかしない多くのサンプルがあることが多い可視性テストのコンテキストで特に役立ちます。

## 1.2.3 ロバスト光輸送アルゴリズム

* **双方向パストレース**
我々は経路に対して異なるサンプリング技術の一群を使用し、次にそれらを多重重要度サンプリングを使用して組み合わせるという考えに基づく新しい光輸送アルゴリズムを提案する。各経路は、２つの独立して生成されたサブ経路を接続することによって生成され、一方は光源から始まり、他方は眼から始まる。光とアイのサブパスの長さを変えることで、さまざまなサンプリングテクニックの一群が得られます。我々は、各手法が異なる種類の経路を効率的にサンプリングできること、そしてこれらの経路が最終画像における異なる照明効果の原因であることを示す。多重重要度サンプリングを使用してこれらの技法すべてからのサンプルを組み合わせることによって、広範囲の異なる照明効果を効率的に処理することができる。
光またはアイのサブパスが最大で1つの頂点を持つという重要な特別な場合を含め、双方向推定量の完全なセットについて説明します。また、理想的な鏡面反射面、任意のパス長、および効率的な可視性テストを処理するための拡張についても説明します。

* **メトロポリス光輸送**
計算物理学におけるMetropolisサンプリング法に触発された光輸送問題への新しいモンテカルロアプローチを提案する。画像をレンダリングするために、我々は単一の現在の経路をランダムに突然変異させることによって一連の光輸送経路を生成する（例えば突然変異は経路に新しい頂点を追加するかもしれない）。各突然変異は慎重に選択された確率で受け入れられるか拒絶されて、確実にパスがそれらが所望の最終画像に与える貢献に従ってサンプリングされるようにする。このようにして、画像平面上のこれらの経路の位置を単に記録することによって不偏画像を形成することができるように、輸送経路の空間上にランダムウォークを構築する。
このアルゴリズムは不偏であり、一般的な幾何学的モデルおよび散乱モデルを扱い、ほとんどメモリを使用せず、そして以前の不偏アプローチよりも桁違いに効率的であり得る。それは、通常困難と考えられている問題に対して特にうまく機能します。明るい間接光、小さな幾何学的な穴、または光沢のある表面を含むもの。さらに、比較的単純な照明のシーンでも、以前の不偏アルゴリズムと競合します。
Metropolisアプローチの主な利点は、現在のパスに小さな変更を加える突然変異を優先することによってパススペースがローカルに探索されることです。これにはいくつかの結果があります。まず、サンプルあたりの平均コストが小さいことです（通常は1〜2本の光線のみ）。第二に、いったん重要な経路が見つかると、近くの経路も探されるので、多くのサンプルにわたってそのような経路を見つけるための費用を償却する。第三に、突然変異セットは容易に拡張されます。他のものを変更しながら経路の特定の特性（例えば、どの光源が使用されているか）を保持する突然変異を構築することによって、シーン内の様々な種類のコヒーレンスを利用することができる。このように特殊な変異を設計することで、困難な照明問題を効率的に処理することが可能です。私たちの知る限りでは、これはあらゆる種類の問題を輸送するためのMetropolisアルゴリズムの最初のアプリケーションです。