Assignment 1
===

###### tags: `情報通信工学`

> 工学部 電子情報工学科
> 3年 秀島 宇音 (03-190445)

$$
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vec}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\function}[1]{\,\mathrm{#1}\,}
\newcommand{\div}{\function{div}}
\newcommand{\rot}{\function{rot}}
\newcommand{\grad}{\function{grad}}
\newcommand{\diag}{\function{diag}}
\newcommand{\rank}{\function{rank}}
\newcommand{\Res}{\function{Res}}
\newcommand{\argmin}[1]{\underset{ #1 }{\arg\!\min}}
\newcommand{\argmax}[1]{\underset{ #1 }{\arg\!\max}}
\newcommand{\laplace}[2][]{\mathscr{L}^{ #1 }\left[ #2 \right]}
\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}
\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\norm}[1]{\left\| #1 \right\|}
\newcommand{\subs}[1]{\left. #1 \right|}
\newcommand{\diff}[2][]{
\frac{\d #1}{\d #2}
}
\newcommand{\pdiff}[2][]{
\frac{\partial #1}{\partial #2}
}
\newcommand{\align}[1]{
\begin{align*}
#1
\end{align*}
}
\newcommand{array}[2][c]{
\begin{array}{#1}
#2
\end{array}
}
\newcommand{\matrix}[2][c]{
\left[
\array[#1]{#2}
\right]
}
$$

## 1. SN比と通信効率


${C \over W} = \log_2(1 + \mathrm{SNR})$より、
* $\mathrm{SNR} \to 0$で${C \over W} \to 0$
* $\mathrm{SNR} = 1$で${C \over W} = 1$
* $\mathrm{SNR} \gg 1$で${C \over W} \simeq \log_2 \mathrm{SNR} = {1 \over 10 \log_{10} 2} \left[ \mathrm{SNR} \right]_{\mathrm{dB}} \simeq 0.332 \left[ \mathrm{SNR} \right]_{\mathrm{dB}}$

上のグラフは確かにこれらを示している。

## 2. デジタル伝送のノイズ―通信効率 特性

$$
\align{
{C \over W} &= \log_2 \left( 1 + {E_b \over N_0} {C \over W} \right) \\
2^{C \over W} &= 1 + {E_b \over N_0} {C \over W} \\
2^{C \over W} - 1 &= {E_b \over N_0} {C \over W} \\
{E_b \over N_0} &= {2^{C \over W} - 1 \over {C \over W}} \\
}
$$

よって、

$$
\align{
\lim_{{C \over W} \to 0} {E_b \over N_0} &= \subs{\diff{x} 2^x}_{x = 0} = \ln 2 \\
&= 10 \log_{10} (\ln 2) \ \mathrm{dB} \simeq -1.59 \ \mathrm{dB}
}
$$

また、グラフは次のようになる。


## 3. 正弦波信号の直交

> 問題の文章がよく分からなかったのですが、次のように解釈しました。

$f > 0, f \neq 2$で最小の、$\displaystyle \int_0^1 \cos(4\pi t) \cos(2\pi ft) \d t = 0$となる$f$を求める。

$$
\align{
&\int_0^1 \cos(4\pi t) \cos(2\pi ft) \d t \\
=& {1 \over 2} \int_0^1 \left( \cos(4\pi t + 2\pi ft) + \cos(4\pi t - 2\pi ft) \right) \d t \\
=& {1 \over 2} \int_0^1 \left( \cos 2\pi(2 + f)t + \cos 2\pi(2 - f)t \right) \d t \\
=& {1 \over 2} \matrix{
{1 \over 2\pi(2 + f)} \sin 2\pi(2 + f)t
+ {1 \over 2\pi(2 - f)} \sin 2\pi(2 - f)t
}_0^1 \qquad (\because f \neq \pm 2) \\
=& {1 \over 4\pi(2 + f)} \sin 2\pi(2 + f)
+ {1 \over 4\pi(2 - f)} \sin 2\pi(2 - f) \\
=& {\sin 2\pi f \over 4\pi} \left( {1 \over 2 + f} - {1 \over 2 - f} \right) \\
=& {\sin 2\pi f \over 4\pi} {-2f \over (2 + f)(2 - f)}
}
$$

より、

$$
\align{
& \int_0^1 \cos(4\pi t) \cos(2\pi ft) \d t = 0 \\
\Leftrightarrow&\ \sin 2\pi f = 0 \lor f = 0
}
$$

これを満たす$f > 0, f \neq 2$で最小の$f$は

$$
f = {1 \over 2}
$$