# 2024 台大電資 數學筆試考題
> by 復興實中 呂宗叡 趙崧瑜 施彥綸

> 共16題 1～12題一題6分 13～16題一題7分 皆為填充題 考100分鐘
### 題目
1. $(m^2+1)x^2-4mx+2=0$ 有兩正根 $a,b$ ，且已知 $2ab=a-3b$ ，求 $m$

2. $x,y$ 為實數，求 $2x^2+y^2+(2x+y-3)^2$ 的最小值

3. 已知函數 $f(x)$ 在其定義域裡皆可微分，且對定義域裡的任意 $x,y$ ，滿足$|f(y)-f(x)|\leq|y-x|$ ，求 $|f^\prime(x)|$ 的最大值

4. 從$1～40$ 取兩相異數 $a,b$ 構成分數使得 $\frac{b}{a}<1$ ，求所有可能分數總合

5. 丟三個公正骰子，求其中位數為 $3$ 的機率

6. 有 $a,b,c$ 三非零複數使得 $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}$ ，求 $\frac{a-b+c}{a+b-c}$ 的所有可能值

7. 已知 $log_ac+log_bc=0$ ，求 $abc+2ab-c$

8. 求 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$ 的最大值

9. 一電視台舉辦call-in節目，問問題給觀眾回答，且會給第四個答對的觀眾獎品。已知每個觀眾答對的機率為 $80\%$ ，且每個觀眾答對的機率互相獨立，則電視台需打 $7$ 通電話以上$(含)$才能送出獎品的機率為多少？

10. 有一函數 $y=x^2$，其上有點 $A(-\frac{1}{2},\frac{1}{4})$ ，點 $B(\frac{3}{2},\frac{9}{4})$ 與一點 $P$ 介於 $A、B$ 之間。今過 $B$ 作 $\overline{AP}$ 之垂線交 $\overline{AP}$ 於 $Q$ ，求 $\overline{AP}·\overline{PQ}$ 最大值

11. 已知一電阻在平面上形狀為
$$f(x)=\begin{cases}
\sqrt{r^2-x^2}&\text{-r$\leq$x<$\frac{2}{3}r$}\\
\frac{\sqrt{5}r}{3}&\text{$\frac{2}{3}r\leq$x<$\frac{11}{3}r$}\\
\sqrt{r^2-(x-\frac{13}{3}r)^2}&\text{$\frac{11}{3}r\leq$x<$\frac{16}{3}r$}
\end{cases}$$
且其立體形狀為該圖形繞$x$軸的旋轉體，求電阻體積

12. 對於空間座標中 $P(x,y,z)$ 定義 $f(P):(x-1)^2-(y-2)^2+(z-3)^2$ ，令 $f^\prime_x(P)$為$f(P)$對$x$微分，$f^\prime_y(P)$為$f(P)$對$y$微分，$f^\prime_z(P)$為$f(P)$對$z$微分，並令$T(P)=xf^\prime_x(P_k)+yf^\prime_y(P_k)+zf^\prime_z(P_k)+\frac{1}{2}[(x-P_{kx})^2+(y-P_{ky})^2+(z-P_{kz})^2]$，其中 $|x|\leq1，|y|\leq1，|z|\leq1$。
今令$P_1=(1,2,3)$，並令$P_{k+1}$ 為使 $T(P_k)$ 有最小值的 $(x,y,z)$ ，求 $P_3$

13. 有一病毒，若施打疫苗仍有 $5\%$ 機率得病，今有 $60\%$ 的人施打疫苗，且有施打疫苗仍得病的人佔總得病人數的 $15\%$ ，則沒打疫苗情況下得病的機率為？

14. 已知 $x^2-2sinαsinβx+1$ 有實根，求 $sin^2α+cos^2β$

15. 有一 $f(x)$ 為二次函數，且 $f(1)=5，f(2)=11，f(3)=19，f(4)=29，f(5)=41$。已知 $\sqrt{f(1)+\sqrt{f(2)+\sqrt{f(3)+\sqrt{f(4)+...}}}}$ 收斂，求其值

16. 對座標平面上一點 $P(x,y)$，定義 $P_1=|x|+|y|，P_∞=max\{|x|,|y|\}$。今有一二階方陣 $A$ ，且$A$的所有元素介於$-1$到$1$之間，求 $\frac{|AP_∞|}{|P_1|}$ 的最大值

### 參考答案 (不確定對不對)
1. $3$
2. $\frac{9}{4}$
3. $1$
4. $390$
5. $\frac{13}{54}$
6. $1$、$(\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}參考自Dcard)$
7. $2$
8. $\sqrt{2}$
9. $\frac{309}{3125}$
10. $\frac{27}{16}$
11. $\frac{335}{81}\pi r^3$
12. $(1,-1,1)$
13. $\frac{17}{40}$
14. $1$
15. $3$
16. $1$