# 论为什么单利和复利在给定年化利率下面基本没有区别

假定年利率为 `t (0 < t < 1)`, 然后如果把一年的时间等分成 `n` 份, $n \in Z^{+}$,那么使用
复利计算的年利率为

$$
(1 + \frac{t}{n})^n
$$

当 $n \to\infty$ 时, 上式等价于 $e^t$, 与 $n$ 无关

证明方式:

换元, 令 $\frac{1}{u} = \frac{t}{n}$, 那么 $n = tu$, 上式变为

$$
\lim_{u \to \infty}(1+\frac{1}{u})^{tu} = e^t
$$

在 $0 < t < 1$ 的情况下, 从 $e^x$ 的[麦克劳林级数](https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0#%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%92%8C%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%B9%E6%95%B0) 可以看出来 $e^t \approx 1+t$