---
# System prepended metadata

title: Zadanie 9

---

# Zadanie 9
![](https://i.imgur.com/xPrbhHR.png)
![](https://i.imgur.com/WdaVu1j.png)

Niech $G = <\{a\}>$, $U \leq G$ i $b = a^k$ będzie elementem z $U$ z najmniejszym dodatnim wykładnikiem $k$. 

Niech $a^x$ będzie dowolnym elementem z $U$, możemy go przdstawić w formie 
$x = q \cdot k + r$, $0 \leq r < k$.

Wtedy $a^x \cdot b^{-q} = a^r \in U$. Ponieważ $k$ jest najmniejszym dodatnim wykładnikiem w $U$, a $0 \leq r < k$ to $r = 0$. Zatem $x = q \cdot k$ czyli $a^x$ jest potęgą $b$. Zatem $U=<\{b\}>$