# Zadanie 2


$det(A-\lambda \ Id) = det((A - \lambda \ Id)^{T}) = det(A^{T} - \lambda \ Id)$

Ponieważ $A$ i $A^{T}$ mają ten sam wielomian charakterystyczny to mają też te same wartości własne.

Załóżmy, że $\lambda$ jest wartością własną $A$ (zatem jest też wartością własną $A^{T}$), oraz że $v = (v_1,v_2,...,v_n)$ jest wektorem własnym $A^{T}$ dla wartości własnej $\lambda$. Zatem $\lambda v = A^{T}v$.

j-ta składowa wektora $\lambda v$ jest równa:

$\lambda v_j = \sum_{i=1}^n a_{ij} v_i$

Weźmy $v_j$ taki, że dla każdego $i$, $|v_j| \geq |v_i|$

$|\lambda| \cdot |v_j| = |\lambda \cdot v_j| = \displaystyle\left\lvert \sum_{i=1}^n a_{ij} v_i \right\rvert \leq \sum_{i=1}^n |a_{ij} \cdot v_i| = \sum_{i=1}^n a_{ij} \cdot |v_i| \leq \sum_{i=1}^n a_{ij} \cdot |v_j| = 1 \cdot |v_j|$

otrzymujemy

$|\lambda| \cdot |v_j| \leq 1 \cdot |v_j|$
$|\lambda| \leq 1$