# Zadanie 5


Niech $\phi$ będzie izomorfizmem.

Pokażmy, że $x^n = e \implies (\phi(x))^n = e$

Podstawa indukcji $n=0$

$x^0 = e = (\phi(x))^0$

Krok indukcyjny $n+1$
Założenie: $x^{n+1} = e$

$(\phi(x))^{n+1} = (\phi(x))^n \cdot \phi(x) = \phi(x^n) \cdot \phi(x) = \phi(x^{n+1}) = \phi(e) = e$

:::info
$\phi$ jest izomorfizmem zatem jest też homomorfizmem a więc zachodzi: $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$
:::

Teraz zbadam rząd każdego elementu w grupie obrotów kwadratu oraz $(Z_4, +_4)$

$r(0^\circ) = 1$
$r(90^\circ) = 4$
$r(180^\circ) = 2$
$r(270^\circ) = 4$

$r(0) = 1$
$r(1) = 4$
$r(2) = 2$
$r(3) = 4$

Ponieważ izomorfizm jest bijekcją to musi być różnowartościwy, a więc mamy 2 możliwości:

$f(x)= x * 90^\circ$
$x = 0 \implies 0^\circ$
$x = 1 \implies 90^\circ$
$x = 2 \implies 180^\circ$
$x = 3 \implies 270^\circ$

$f(a) + f(b) = a * 90^\circ + b * 90^\circ = (a+b) * 90^\circ = f(a+b)$

$g(x)= 360^\circ - x * 90^\circ$
$x = 0 \implies 0^\circ$
$x = 1 \implies 270^\circ$
$x = 2 \implies 180^\circ$
$x = 3 \implies 90^\circ$

$g(a) + g(b) = 360^\circ - a * 90^\circ + 360^\circ - b * 90^\circ = 720^\circ - (a+b) * 90^\circ = 360^\circ - (a+b) * 90^\circ = g(a + b)$