# 1. Sisteme și experimente --- ## 1.1 Mecanica cuantică e diferită Mecanica cuantică studiază obiecte atât de mici încât nu le putem observa direct, cum ar fi de exemplu atomi, electroni etc. Comparativ cu fizica clasică în mecanica cuantică sunt două diferențe esențiale: --- * Starea cuantică a unui sistem fizic diferă conceptual de starea clasică: clasic stările sunt elementele unei mulțimi matematice iar cuantic stările sunt elementele unui spațiu vectorial. Diferă de asemenea logica care stă la bază, booleană clasic. * Clasic pot determina starea prin măsurători fără să o modific, cuantic măsurătorile schimbă starea sistemului --- ## 1.2 Spini și qubiți Noțiunea de spin este specifică particulelor elementare. Particulele au diverse propietăți pe lângă poziția lor în spațiu. De exemplu pot avea sau nu sarcină electrică, masă. Un electron nu e același lucru cu un quarc sau neutrino. --- Electronul are un grad de libertate suplimentar numit spin. Spinul poate fi naiv legat de rotația proprie a electronului și îl putem imagina ca pe o săgeată orientată intr-o direcție oarecare, rotația electronului făcându-se în jurul ei, într-un sens sau altul. De fapt spinul nu poate fi interpretat clasic și o să-l tratăm la modul abstract. Spinul cuantic va fi tratat la modul abstract și vom numi sistemul cuantic cu spin qubit. --- ## 1.3 Experimente cu qubiți Analizăm o monedă care poate avea două stări: H sau T - Head sau T - Tail. Moneda este un sistem clasic cu două stări numit bit. Vom atribui formal mărimea $\sigma$ care poate avea două valori: +1 și -1, corespunzător celor două stări. Starea H va avea $$\sigma=+1$$ iar starea T va avea $$\sigma=-1$$ Sistemul este fie în starea $\sigma=+1$ fie în starea $\sigma-1$. Evoluția unui sistem cu două stări ne spune cum se schimbă starea sistemului de la un moment la altul. Cel mai simplu caz, nu se întâmplă nimic, starea nu se schimbă de la momentul n la momentul n+1: $$\sigma(n+1)=\sigma(n)$$. Vom ține cont acum de influența aparatului de măsură notat cu A, care interacționează cu sistemul cu două stări ale spinului și înregistrează valoarea spinului $\sigma$. Aparatul de măsură va fi o cutie neagră cu o fereastră care afișează rezultatul măsurătorii. Aparatul de măsură va fi inscripționat cu o săgeată "Up" care ne preciza direcția în spațiu a aparatului, direcție care poate influența rezultatul măsurării. Vom începe cu aparatul orientat pe direcția axei z, fără să știm valoarea spinului $\sigma$ și măsurăm valoarea spinului. Înainte ca aparatul să interacționeze cu sistemul studiat va afișa un semn de întrebare iar după măsurare fereastra aparatului va afișa fie +1 fie -1.  Ne uităm la aparat și stabilim valoarea spinului $\sigma$. După această etapă să resetăm aparatul și să efectuăm o nouă măsurare fără să modificăm spinul între timp. În mod normal ar trebui să obținem aceeași valoare măsurată ca prima dată. Dacă prima dată obținem $\sigma=+1$ și următoarea valoare măsurată va fi tot $\sigma=+1$. La fel și dacă inițial $\sigma=-1$. Măsurători efectuate ulterior în aceleași condiții de oricâte ori vor da același rezultat cât timp sistemul nu se schimbă. Acest fapt este bun pentru că se confirmă rezultatul experimental. Vom considera că prima interacțiune a aparatului de măsură cu sistemul măsurat prepară sistemul într-una din cele două stări iar măsurări ulterioare confirmă această stare. Să preparăm spinul prin măsurare cu aparatul A și să întoarcem aparatul cu susul în jos și să măsurăm iar. Constatăm că dacă inițial $\sigma=+1$ după ce întorc aparatul cu susul în jos spinul este $\sigma=-1$. Similar dacă inițial $\sigma=-1$ după răsturnarea aparatulu $\sigma=+1$ . Acest fapt sugerează că spinul are direcție în spațiu cam ca un vector și aparatul măsoară componenta vectorului spin pe direcția aparatulului. Dacă suntem convinși că spinul este un vector îl descriem corespunzător cu cele trei componente: $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$. Când aparatul e orientat Up pe axa z măsoară componenta $\sigma_z$ a spinului. Până acum nu au fost diferențe între fizica clasică și cea cuantică. Diferențele apar dacă după ce măsor spinul pe axa z îl măsor după aceea pe altă direcție de exemplu la $90^0$ pe axa x. Dacă spinul este un vector și prima măsurare prepară starea de spin $\sigma_z=+1$ adică spinul pe axa z atunci măsurarea pe axa x ar trebui să dea 0: $\sigma_x=0$. Dar rezultatul experimental este diferit: se obține doar +1 sau numai -1, aleatoriu. Dacă repet măsurătorile de mai multe ori urmând aceeași procedură-întâi pe z cu $\sigma=+1$ apoi pe x rotind aparatul de măsură, se obțin pentru $\sigma_x$ doar valorile $\pm 1$ cu aceeași probabilitate: $50\%$ și care au media statistică zero, cam ca în cazul clasic. În loc de rezultatul clasic, $\sigma_x=0$ obțin că media măsurărilor repetate este 0. Dacă rotim aparatul de măsură, A, pe o direcție arbitrară specificată de vectorul unitate $\hat n$ și facem mai multe serii de măsurători, întâi pe axa z apoi pe direcția $\hat n$ obțin ca valori măsurate fie +1 fie -1 dar media statistică a seriei de măsurări este $\cos\theta$ unde $\theta$ este unghiul dintre vectorul unitate, $\hat n$ și axa z. Media corespunde componentei clasice a spinului pe direcția $\hat n$. Situația este mai generală. Pot măsura spinul întâi pe direcția vectorului unitate $\hat m$ apoi pe direcția vectorului unitate $\hat n$. Măsurările au doar valorile +1 și -1 dar media unor serii de măsurări pe cele două direcții, în ordinea precizată și în aceleași condiții este $\cos \theta$ unde $\theta$ este unghiul dintre $\hat m$ și $\hat n$; $\cos \theta=\hat m\cdot\hat n$. În mecanica cuantică media statistică a unei mărimi Q este notată $\langle Q\rangle$ cu notația lui Dirac. Dacă începem cu aparatul de măsură A orientat pe direcția lui $\hat m$ și confirmăm că $\sigma=+1$ după care măsurăm cu A pe direcția lui $\hat n$ atunci:$$\langle\sigma\rangle=\hat m\cdot\hat n$$ Am constatat că sistemele cuantice nu sunt deterministe, adică rezultatele măsurătorilor sunt aleatorii dar dacă efectuăm măsurări repetate media statistică a rezultatelor obținute corespunde până la un punct fizicii clasice ## 1.4 Experimentele nu sunt niciodată nonperturbatoare Orice experiment implică un sistem exterior - un aparat de măsură - care trebuie să interacționeze cu sistemul studiat pentru a putea face măsurători.